自考试卷及答案解析浙江微分几何试题及答案解析2021年10月

1、浙江省2018年10月高等教育自学考试微分几何试题课程代码：10022本试卷分A、B卷，使用1988年版本教材的考生请做A卷，使用2018年版本教材的 考生请做B卷；若A、B两卷都做的，以B卷记分。A卷一、判断题（判断下列各题，正确的在题后括号内打“/”，错的打“X”。每小题2分，共12分） TOC o 1-5 h z 在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。（）圆的曲率、挠率特征是：k=常数，t=0。（） 在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。（）高斯曲率K = LN-M2与第二基本形式有关，不是内蕴量。（）EG - F2曲面上的直线一定是测地线。（） 曲面上连接两点的最短线一定是测地线。（

2、）二、填空题（每小题3分，共18分） 向量函数具有固定长的充要条件是。 曲线r=r（t）的挠率是。 曲面上曲纹坐标的微分方程是。 曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件。 直纹曲面的高斯曲率满足。 球面上的测地线是。三、完成下列各题（每小题5分，共30分）求圆柱螺线x=cost,y=sint,z=t在（1, 0, 0）处的切线与法平面。求抛物线y=x2曲率。证明曲面上坐标曲线互相正交的充要条件是F=0。求悬链面r=coshu cosv, coshusinv,u的第一类基本量。利用欧拉公式证明在非脐点处，主曲率是曲面在这点处所有法曲率的最大值与最小值。用高斯-波涅公式证明球面上测地三角形内角和大于丸

3、。四、完成下列各题（每小题10分，共40分）证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。求抛物面2z=5x2+4xy+2y2在原点的第一、第二基本形式。求双曲面z=axy上的曲率线。证明正螺面r=vcosu,vsinu,au+b不是可展曲面。B卷一、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“/”，错的打“X”。每小题2分，共12分) TOC o 1-5 h z 挠率是空间曲线的副法向量对于弧长的旋转速度.() 若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.() 球面曲线的主法线必过球心.() 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.() 高斯曲率恒为零的曲面必

4、是可展曲面.() 曲面上的渐进网一定存在.()二、填空题(每小题3分，共18分) 向量函数了 (t)平行于固定平面的充要条件是.是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度. 以杜邦(Dupin)指标线为分类标准，曲面上的点分为椭圆点,双曲点,，平点. 直纹面了 (u,v)= a (u)+v K (u)的导线a= a (u)是腰曲线的充分必要条件是. 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值. 曲面的第三基本形式是它的 的第一基本形式.三、完成下列各题(每小题5分，共30分)求双曲螺线了 =acosht,asinht,at在t=0的密切平面方程.证明曲线？(t)=1+cost,sint,2sin- 是正则曲线.2证明曲线 了 (t)=cos3t,sin3t,cos2t是一般螺线.证明曲面K = 了 (u,v)在正常点处的第一基本量满足EG-F20.求曲面了 =ucosv,usinv,bu上曲线v=1+u,v=1-u和v=0所围成的曲面面积.证明直纹面了 =u,u2-2uv,2u3-3u2 v不是可展曲面.四、完成下列各题(每小题10分，共40分)求曲线了 (t)=tcost,tsint,2-|212 (tN0)的自然参数方程.证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心轨迹仍是曲率为常数的曲线.求曲面了 =u,