点差法在解析几何中的运用 专题讲义-高三数学一轮复习

1、点差法在解析几何中的运用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。理论依据若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？答题模版第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，第二步：两式相减得，第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可

2、得典例分析题型一：点差法求离心率例1.已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为_.例2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）求证：为定值；自主练习1.椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为_题型二：求中点弦直线斜率例3.设椭圆过点，离心率为（1）求C的方程；（2）求过点且以M点为中点的弦的方程自主练习2.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程

3、题型三：求曲线的标准方程例4已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程自主练习3.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在 上，求抛物线的方程.题型四：隐藏的中点弦问题例5在中，是、的等差中项，且，（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围自主练习5已知椭圆过点，且与椭圆有相同的焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围综合练习1双曲线的一个焦点为，中心为原点，过的直线与C交于，两点，若的中点为，则此双曲线的渐近线方程为_2双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l

4、与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为_.3.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由4.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半（1）求椭圆的方程；（2）经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程点差法在解析几何中的运用解析圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦

5、的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。理论依据若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？答题模版第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，第二步：两式相减得，第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得典例分析题型一：点差法求离心率例1.已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为_.【答案】【详解】设，则，两式相减得，所以.因为，所以.因为，所以，故.故答案为：例2.在平面直角

6、坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）求证：为定值；【答案】（1）；（2）证明见解析；【详解】由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；（2）设点、，则线段的中点坐标为，.由题意可得，由于点、都在椭圆上，则，两式作差得，（定值）；自主练习1.椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为_【答案】【详解】设直线与椭圆交于，则.因为AB中点,则.又，相减得：.所以所以所以，所以，即离心率.故答案为：.题型二：求中点弦直线斜率例3.设椭圆过点，离心率为（1）

7、求C的方程；（2）求过点且以M点为中点的弦的方程【答案】（1）；（2）.【详解】（1）将代入C的方程得，=4，又 得，即，C的方程为（2）设直线与C的交点为A，B，代入椭圆方程得，作差化简可得，即，又，则，以M点为中点的弦的方程: ,即：.自主练习2.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程【解答】解：设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，又、两点在椭圆上，则，两式相减得，于是，即，故所求直线的方程为，即题型三：求曲线的标准方程例4已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程【解答】解：椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，可得纵坐标为，可得中点设椭圆

8、标准方程为：设直线与椭圆相交于点，则，相减可得：，又，又，联立解得，椭圆的标准方程为：自主练习3.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.由得：，又点在圆上，解之得：或由得：直线与抛物线有两个不同的交点，0.m，或m0.故所求的抛物线方程为题型四：隐藏的中点弦问题例5在中，是、的等差中项，且，（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意，顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去，共线），且，顶点的轨迹的方程；（2）解：设关于直

9、线对称的点为，则的方程为，与椭圆方程联立，消去整理得：即由，得设，则，再设的中点为，则，又在上，得，在上，得，即则，得自主练习5已知椭圆过点，且与椭圆有相同的焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围【解答】解：（1）由椭圆，可得，可得焦点设椭圆的标准方程为，则，解得，椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为：，线段的中点，联立，化为：，化为：，解得，代入可得实数的取值范围是综合练习1双曲线的一个焦点为，中心为原点，过的直线与C交于，两点，若的中点为，则此双曲线的渐近线方程为_【答案】【详解】由题意，可设双曲线方程为，因为过的直线与C交于，两点，的中点为，所

10、以，又，两式作差可得，即，则，即，又，所以，因此，则，所以此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.2双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为_.【答案】【详解】设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，即，设点，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：3.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由【解答】解：设过点的直线方程为或（1）当存在时有得 （1）当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有，又方程（1）的两个不同的根是两交点、的横坐标又为线段的中点即，使但使，因此当时，方程（1）无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在（2）当时，直线经过点但不满足条件，综上，符合条件的直线不存在4.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半（1）求椭圆的方程；（2）经过点作