天智新思维公考培训数学运算题型篇

1、2013天智新思维公务员考试网络培训讲义 PAGE PAGE 18天智新思维公考培训行政职业能力基础课程作者：天字1号（徐克猛）二零一三年三月十七日 写于无锡第二章 数学运算基础题型一、等差、等比数列及其应用这部分内容比较繁多。我们主要围绕近几年常考的几种类型做相关专题分析。在分析专题之前有必要强调一点。任何所谓秒杀方法都是建立在你对基础知识的了解上。因此希望读者不要舍本逐末，急功近利，特别是在这个环节的知识学习当中，更加应该做到把基本知识或公式灵活多变的应用。 1.等差数列等差数列是一个连续两个项之间差值恒定的一组序列。通常描述一个等差数列有四个变量：首项、末项、公差、项数。假设一个等差数列

2、为=,，公差为d，平均数为A，他们之间关系为： eq oac(,1).； 可以扩展到；还可以扩展到； eq oac(,2).； 可以扩展到 eq oac(,3).； eq oac(,4).，可以扩展到 eq oac(,5).当项数n为奇数的时候，平均数A=中间项，也就是说数列和=中间项项数。另外，等差数列中连续自然数在考试当中应用也相当广泛。通常稍微难一点的题目会利用自然数序列或者等差序列来求解极限问题。 下面就来学习一下关于等差数列的具体应用。 例题99：是一个等差数列，则这个数列前13项之和是多少？ A32 B.36 C.156 D.182 解答：参考答案C。题干中给出的关于等差数列的2组

3、关系，在上述总结时就提到了等差数列的差值相对性，因此根据11和4的差值与3和10的差值是相同的，即：，所以解得=12， 因为是数列的中间项即答案是1312156。 例题100：电视台要播放一部30集电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视剧最多可以播（） A7天 B8天 C9天 D10天 解答：参考答案A。 要求播放天数最多，则就必须要求每天播放尽可能的少，那么就从1开始，且各不相同，那么就是从1开始的连续自然数，因此， 即n=7时和为28，则最多为7天。注：从1开始的连续自然数其求和公式中n和n+1在n趋向无限大时，两者是基本相等的，因此对于n的判断估算，可以利用和的2倍开方。

4、 如此题中n的估算就可以是：30260开方，小于8，代入尝试即7。 例题101：小华在练习自然数求和，从1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数。在这种情况下，他将所数的全部数求平均，结果为7.4，请问他重复的那个数是： A2 B.6 C.8 D.10解答：参考答案B。根据=7.4（平均数），基本能反映出我们的数列的最大项应该在7.4215左右。其次我们知道平均数项数数列之和。 数列之和为整数，则要求我们的项数必须是含5的整数且接近15 那么就确定为15。如果没有多算1项，那么就是14项，114之和为105，和多算1个数的和相比157.4111，少了6个。即我们多算了1个。当然思考的时侯我们完

5、全可以利用平均数做对比，如知道是14项，那么其理论平均数就是7.5 为何实际只有7.4。则说明多算的哪项小于且接近于平均值。故而选B。 例题102：学校用从A到Z的顺序给班级编号，再按照班级号码在后面加01、02、03的顺序给学生编号，已知从AK每个班级是按照15的数量依次递增1人，之后依次递减2人，那么第256名同学的编号是多少? A.M12 B.N11 C.N10 D.M13 解答：参考答案B。AK是11个班级。A班级有学生15人，则K班的人数15（11-1）125人。总人数是 (15+5)11=220，则K，L，M，N我们看L班是25-2=23人。排完L班级还剩下256-220=36人。

6、即排M班的人数是36-23=13人，即答案为M13。2.等比数列 关于等差就有等比数列，通常等比数列的考察在公务员考试当中没有等差数列来的复杂。我们只需了解且会应用等比数列的几个固定公式即可。等比数列中涉及到的量有：首项、末项、项数n、公比q与项数和这5个。他们之间的关系如下： eq oac(,1) eq oac(,2) 例题103：先分多次用等量清水去冲洗一件衣服，每次均可冲洗掉上次所残留污垢的四分之三，则至少需要多少次才可使得最终残留的污垢不超过初始污垢的1%？ A.3 B.4 C.5 D.6 解答：参考答案B。每次可以冲洗掉，剩下上一次的，这就是公比，最初是1，要得结果小于1% 即满足这

7、样一个不等式表达式：；即当n4时即小于1%。 例题104：一个细胞1小时分裂3个，9个小时可以把一个容器装满。请问要使分裂的细胞能装到容器的九分之一，需要多少小时？ A5小时 B6小时 C7 小时 D8小时解答：参考答案C。这个就是一个级数问题，一个细胞每小时分裂3个，分裂下来的做为种子在下一个小时继续也参与分裂, 故而这道题就是一个关于公比为3的等比数列， 起始项为1，末项为1，也就是整个容器的容量，则容器容量的即，需要7小时。3.连续自然数的应用探讨关于连续自然数这样一种最简单的等差数列形式，在国家公务员考试中是非常常见的一种类型。具体的应用特性通过一组试题来介绍。 例题105：现有21朵

8、鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（ ）朵鲜花。 A7 B8 C9 D10解答：参考答案A。要问最多的人至少分得多少花，则就是说我要让其他人在满足条件的情况下尽可能分得多一些。那么要得其他人分得花尽可能多，那么就要跟最大值接近。因此其他所有的值都跟最大值靠近。但因为条件必须要求各不相同 所以这就构成了连续自然数。215=41，因此这样一个数列就是2，3，4，5，6 ，有余数1，这个余数要分给某一个人必须保证相加之后的结果不会出现重复。因此余数只能分给最大值。即6+17，答案就是7了。注：不管最后余数是多少。如果要求最大值至少是多少。其数列最大值只增加1。原因

9、是：余数可以平均分配。将前n个人分别增加1。如：2，3，4，5，6 这样一个连续自然数，现在余数是3，分配余数的方法为2，3，4+1，5+1，6+1，答案依然是7。 例题106：五人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同。则体重最轻的人，最重可能重（ ）。 A80斤 B82斤 C84斤 D86斤 解答：参考答案B。 此题和上面一题基本相似，只不过这里问的是最轻的人最重是多少。相当于问最小值最大是多少。那么我们同样也就是尽量给其他人分配少一点，这样剩余就最多。因此所有的其他数值均向最小值靠拢。即构成连续自然数。4235=843，因此该自然数序列为82，83，84，85，86. 对

10、于余数3，我们在上面分析中已经强调过只能给最大值分配，而对最小值是无影响的，所以答案就是82. 注：不管最后余数是多少。如果要求最少值最多是多少，其余数可以不管。 例题107：100个人参加7个活动，每人只能参加一个活动，并且每个活动的参加人数都不一样，那么参加人数第四多的活动最多有多少人? A.22 B.21 C.24 D.23解答：参考答案A。此题和上述题目基本类似。要得第四多活动参考人数最多，则其他活动参加的人数尽可能少。参考例题106，提问基本相同，通常只有当最小值才会问最大是多少，最大值会问最少是多少。可以把第四多活动置于一个最小值情境下（如只讨论前四名的时候）。后面3名尽可能少就为

11、1，2，3人，前四名之和为10012394人。这样基本构成和例题106一样的类型了。 944=23.5，中间2项是23和24， 这组序列是22，23，24，25 .没有余数。则第四名最多是22。到这里我们差不多看出一些特点了。这类问题通常结合了项的值必须是整数且均不相同的要求，另外对于2种提问方式：最小值最多是多少，最大值最小是多少。我们要能够就具体题目“搭建”适合提问的环境。例题108：某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分? A.88 B.89 C.90 D.91解答：

12、参考答案B。题目跟我们想象中的一样：得分是整数且各不相同这些条件都满足。看提问“排名第十的人最低考了多少分”，也就是说根据我们上述总结。我们要把第十名置于一个最大值来看，才能求解它的最小值。那么前19名的得分就要尽可能大。即从100分92分。而题目也交代有一个不及格，不及格的也要尽可能多即为59分。这样剩下来的第10第19名就是一个连续自然数序列。满足我们理想的讨论模式。总分是20881760. 去掉前19名成绩和:969=864. 这样我们可以求出1019名的成绩和为176086459837. 根据上述题型解答方式83710=83.5 余数是2，因此自然数序列最大值是84+488. 因此答案

13、就是88+189。当然我们也可以围绕平均数做修正。假设第十名是88分即平均分。那么前九名与第1119名这2组相互围绕平均数比较，每组多出9288+13分，总共多出3927分。而不及格的人59分比平均数少了29分，还差2分，这个时候第1-9名和第20名已经是最大化的数值，不能增加了，因此只能给连续自然数增加。故而相当于2是一个余数，答案就是88+1=89。专题训练1. 要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积火小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵? A.7 B.8 C.10 D.112. 将25台笔记本电脑奖励给不同的单位，每个单位奖励的

14、电脑数量均不等，最多可以奖励几个单位？ A.5 B.6 C.7 D.83. 有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数之和的多18，则这五个偶数之和是（ ） A.210 B.180 C.150 D.1004. 10个连续偶数的和是以1开始的十个连续奇数和的2.5倍，其中最大的偶数是（ ） A.34 B.38 C.40 D.425. 有10个连续奇数，第一个数等于第十个数的比值为，则第1个数是（ ） A.5 B.11 C.13 D.156. 有一堆粗细均匀的圆木最上面有6根，每向下一层增长一根；共堆了25层。这堆圆木共有（ ）根 A.175 B.200 C.375 D.4507. 部队组织

15、新兵到野外进行拉练，行程每天增加2千米。已知去时用了4天，回来时用了3天。目的地距离营地（ ）千米 A.54 B.72 C.84 D.928. 某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了6张，这6天的日期加来起数字是141，他翻的第一页是几号？ A.18 B.21 C.23 D.249. 已知公差为2的正整数等差数列为an，则该数列满足不等式的所有项的和为 A.12320 B.12430 C.12432 D.1254310. 1992是24个连续偶数的和，这24个连续偶数中最小的一个是（ ） A.58 B.60 C.82 D.10611. 一根竹笋从发芽到长大，如果每天长一倍，经过10天长到4

16、0公分，那么长到2.5米时，要经过多少天？ A.6 B.8 C.4 D.12二、植树、方阵问题1、植树问题 所谓植树问题就是要理清间隔数量与端点之间的关系。例如一条马路上植树。长度是200米，每10米栽1棵树，那么所表现出来的就是有2001020个间隔，但是其构成20个间隔需要21个端点，也就是相当于栽树21棵。而环形植树，则有一个首尾端点重合的问题，也就是说环形植树比直线植树少了一个端点。那么其端点数目与间隔数目相等。 植树问题是数学运用题中的典型问题。主要有两种基本类型：无封闭问题和有封闭问题。主要有以下几种重要关系： （1）若题目中要求两端都栽树，那么棵树比段数多1。 （2）若题目中要求

17、在路的一端栽树，那么棵树与段数相等。 （3）若题目中要求路的两端都不栽树，那么棵树=段数-1。 （4）植树问题中不同方式的植树结果差值是不考虑1的。因为2种方式都要1，故而可以相互抵消。植树问题的2大形式， 线性植树 和环形植树 线性排列 环形排列 例题111：两棵柳树相隔165米，中间原本没有任何树，现在这两棵树中间等距种植32棵桃树，第1棵桃树到第20棵桃树间的距离是 A90 B95 C100 D前面答案都不对解答：参考答案为B。植树问题，中间植树，去掉头尾，植树32棵，间段为33段。每棵树的间距=165（32+1）=5米，第1到第20棵有19个间段，所以距离是195=95米。 例题112

18、：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156m、186m、234m，树与树之间距离为6m，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？ A. 93棵 B. 95棵 C. 96棵 D. 99棵 解答：参考答案C。本题考查的是在封闭的路线上植树问题。环形封闭植树问题其植树的数目是跟着端点走的。而端点跟间隔数目相等。因此，棵数路线周长株距。即(156186234)696棵。例题113：在一条公路的两遍植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种一棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？ A.700 B.800 C.900 D.600解答：参考答案C。每隔3米和每隔2

19、.5米这两种间距标准的公倍数是15，即每15米按照3米的比按照2.5米的少1棵，总共是少了115+5120棵，说明有120个15米（是2边总长度），即公路长6015=900米。2、“方阵”问题 方阵也是可以理解为一个等差数列形式，我们先来对方阵有一个形象认识。 实 心 空 心点线面的关系： 点就是人，线就是边长，面就是总人数之和。实心方阵可以理解为一个正方形，面积代表着他的人数。另外，方阵其实就是一个等差数列，每一层就是一项，每一层边长之差为2. 周长之差为8，这里周长即为项，方阵的公差为8。那么所有关于等差知识即可用于方阵，但我们也需要对方阵一些常识性的问题做了解。假设一个实心方阵的边长为a

20、，周长L，总人数为S，则满足下列表达形式： eq oac(,1) ； eq oac(,2) 如果是一个空心方阵，假设最外层边长是a，最里面一层的边长是b，总人数是S，则满足以下表达式： eq oac(,3) 方阵核心计算注意点： (1). 方阵总人数=最外层每边人数的平方（面积） (2). 方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数4)1 (3). 方阵外层人数比相邻的内层人数多8人。 (4). 去掉m行、n列的方阵，人数减少边长(m+n)-mn。增加m行，n列人数也是增加这么多。(5). 方阵的延伸：立方体有6个面，6个面就是我们讨论的方阵。这也是方阵的延续。计算一个立方体的元素数量 则就是考虑

21、由面转为体，从面积转为体积。方体人数边长边长边长（体积）方体具有的特点也就是立方体具有的特点。 例题109：学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方针共有学生多少人？ A256人 B250人 C225人 D196人解答：参考答案A。此题就可以根据方阵的基本特征来判断：方阵人数是一个平方数，锁定AC，其次，最外层是60，说明边长是一个偶数，则平方数也是偶数即选A。具体来看根据最外层60，可以计算出边长=604+116， 即人数1616256. 例题110：有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是 A296人 B308人 C324人 D

22、348人解答：参考答案B。此题可以利用其方阵的本质等差性质来判断。即要求总人数即根据等差数列和=中间项项数。即证明答案是44的倍数。直接用11来判断。具体做68-44=24,是24/8=3个公差，即中间层是第1+34层。则总共是7层。则答案就是447308人。专题训练 一果农想将一块平整的正方形土地分割为四块小土地，并将果树均匀整齐地种在土地的所有边界上，且在每块土地的四个角上都种上一棵果树，该果农未经细算就购买了60颗果树，如果仍按上述想法种植，那他至少多买了（）果树。 A.0 B.3 C.6 D.15 2.有若干人，排成一个空心的四层方阵。现在调整阵型，把最外边一层每边人数减少16人，层数

23、由原来的四层变成八层，则共有（）人？ A.160 B.1296 C.640 D.19363.某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人，第二次比第一次每排每列增加3人，结果缺少29人，仪仗队总人数是多少？（ ） A.400 B.450 C.500 D.6004.某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分一给好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少?（ ） A. 602 B. 623 C. 627 D. 6315.一个四边形广场，它的四边长分别是60米、72米、84米和96米，现在要在四边上植树，四角需种树，而且每两棵树

24、的间隔相等，那么至少要种多少棵树？ A. 22 B. 25 C. 26 D. 30 6.人上楼，边走边数台阶。从一楼走到四楼，共走了54级台阶。如果每层楼之间的台阶数相同，他一直要走到八楼，问他从一楼到八楼一共要走多少级台阶？（ ） A126 B120 C114 D1087.广场上的大钟6时敲6下，15秒敲完，12时敲响12下，需要用多长时间? A.30秒 B.33秒 C.36秒 D.39秒8.在某淡水湖四周筑成周长为8040米的大堤，堤上每隔8米栽柳树一棵，然后在相邻两棵树之间每隔2米栽桃树一棵，应准备桃树多少棵？（ ） A.1005 B.3015 C.1010 D.30209. 李大爷在马

25、路边散步，路边均匀的栽着一行树，李大爷从第一棵数走到底15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树是共用了30分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走? A.第32棵 B.第32棵 C.第32棵 D.第32棵10. 道路两旁种树，5米间隔种树正好种完，但剩下20颗树，4米间隔种时，最后段3米间隔，正好种完，问道路长度（） A.195 B.205 C.375 D.39511. 用红、黄两色鲜花组成的实心方阵（所有花盆大小完全相同），最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花多少盆？ A. 48盆 B. 60

26、盆 C. 72盆 D. 84盆 三、利润问题利润问题中常见的术语有成本、利润、定价、售价、利润率和折扣率。其中“利润”这个概念有着两种不同的理解： (1). 利润：是指企业一定时期内经营的成果，对于一般商家而言，利润就是商品的销售价减去商品的买进价（通常在数学运算中指成本）。(2). 毛利：是指销售额减去生产成本所得（生产成本不包含额外的开销，如商品的交通运输费，店铺费、人员工资开销等） 下面我们通过假设几个量来了解他们之间的关系，假设成本为C，利润为L，定价为D，售价为S，利润率为P，折扣为Z，则有以下几种关系：(1). (2). (3). 利润率是指利润与成本的百分比。有一下几个注意点：利

27、润率是相对于成本而言，而不是销售价格。而销售价格则为成本加上利润。在利润问题当中，这样的计算表达式是极为重要的，利润成本利润率，这符合我们在上述“比例法”专题讲到的基本乘法关系通式，所以也可运用比例法解题或十字交叉法解题。利润通常就是关于这四个量之间的转换求解关系，我们在解答此类题目的时候要学会用代入法，用参照单位思想假设一个比较偏于运算的数值代入运算。 例题81：某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则他在这次买卖中 A.不赔不赚 B.赚9元 C.赔18元 D.赚18元解答：参考答案C。售价均为135，盈利25%，

28、是相对成本而言，说明成本是小于135元的，亏损25%，说明成本是高于135的，因此这两个25%相对于成本而言，显然是亏损的多，即答案为C。 具体来看，盈利25%，售价：成本=(1+25%)：1=5：4, 盈利的部分占售价的, 而亏损25%，售价：成本=(1-25%)：1=3：4，亏损的部分占售价的, 即有135(-)=18元。 例题82：某商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价，结果只销售了商品总量的30%，为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元，问商店是按定价打几折销售的？ A.九折 B.七五折 C.六折 D.四八折解答：参考

29、答案C。 用特值代入，假设数量为10个，每个单价1000，前面3个盈利2503750，最后亏损1000，也就是说后面7个亏损1000+7501750，平均每个商品亏损17507=250元，即后面7个商品的售价为1000-250=750, 则打折情况为7501250=0.6。 例题83：一件商品按定价的八折出售，可以获得相当于进价 20%的利润，如果以原价出售，可以获得相当于进价百分之际的利润？ A. 20% B. 30 % C. 40% D. 50%解答：参考答案D。这个题目当中，没有具体的进价，没有具体的销售价，故而可以假设特殊值参照，令进价为1，那么相当于进价的20的利润就是0.2， 说明

30、8折之后的售价是1.2，则原来定价是1.20.8=1.5.，即（1.51）1=50%. 例题84：受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点，问原材料的价格上涨了多少？A. B. C. D. 解答：参考答案D。假设总成本之前为15，则上涨1，现在总成本是16；假设原材料之前是a，之后是a+1， 所占比重提高了2.5个百分点，即可得到：，我们只需把选项9，10，11，12代入进去试试就可以知道答案为A。 例题85：有一本畅销书，今年每册书的成本比去年增加了10，因此每册书的利润下降了20，但是今年的销量比去年增加了70。则今年销售该畅销书的总利

31、润比去年增加了？ A.36 B25 C20 D15解答：参考答案A。或者直接利用差值来看，设利润为10，令去年有10本书，则总利润为1010=100，利润下降20%，现在的利润是10（1-20%）=8，而现在利润多出78=56，则总利润增加了(56-20)100=36%.专题训练(1). 某商店进了一批笔记本，按 30%的利润定价.当售出这批笔记本的 80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是A.12% B.18% C.20% D.17%(2). 有一种商品，甲店进货价(成本)比乙店进货价便宜 10%.甲店按 20%的利润来定价，乙店按 15%

32、的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是( )元? A.110 B.200 C.144 D.160(3). 开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10%，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40%，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少? A.89% B.88% C.72% D.87.5%(4). 一批商品，按期望获得 50%的利润来定价.结果只销掉 70%的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82%，问：打了( )折扣? A.6 B.7 C.8 D.9(5). 某商品按定价出售，每个

33、可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是( )元? A.100 B.200 C.300 D.220(6). 张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元，张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4%，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是( ) A.66 B.72 C.76 D.82(7). 某商品的正常售价为80元，进价为40元，由于积压严重，打算打折处理，但要求利润率不低于10，最多能降到（

34、）折 A.5 B.5.5 C.6 D.7(8). 某商品原价100元，3月价格下降了10，4月价格又开始上涨，5月价格上涨到了108.9元，4、5两个月该商品的价格平均每月上涨了（ ）个百分点 A.5 B.10 C.11 D.15(9). 某家具店购进100套桌椅，每套进价200元，按期望获利50%定价出售，卖掉60套桌椅后，店主为了提前收回资金，打折出售余下的桌椅，售完全部桌椅后，实际利润比期望利润低了18%，余下的桌椅是打几折出售的？ A.七五折 B.八二折 C.八五折 D.九五折(10). 商店销售某种商品，在售出总进货数的一半后将剩余的打八折出售，销售掉剩余的一半后在现价基础上打五折出

35、售，全部售出后计算毛利润为采购成本的60。问如果不打折出售所有的商品，毛利润为采购成本的多少？ A.45 B.60 C.90 D.100三、浓度问题浓度问题就是指溶液的浓度变化问题。对于此类问题，我们首先要了解以下几点核心内容： 溶质、溶剂、溶液的质量比等于S：R：(S+R)，S为溶质如酒精、硫酸等，R为溶剂如水之类，S+R为溶液即溶质和溶剂总称。 溶解度=100% 溶液浓度=100%在解决溶液问题时，紧扣住溶质、溶剂、溶液三个量之间的关系，采取的方法有特值代入求解、十字交叉法和比例法。特别是十字交叉法，题目通常会告诉我们溶液浓度，这就要求我们根据上述条件可求出关于分母溶液质量的比例关系。下面

36、我们通过几个真题来进一步理解关于溶液问题的解答方法。例题86：在浓度为40%的酒精中加入4千克水，浓度变为30%，再加入M千克纯酒精，浓度变为50%，则M为多少千克？ A8 B12 C4.6 D6.4解答：参考答案D。传统方程：假设最初溶液是x千克，则有（x+4）30%=x40%，解出x=12，溶质质量=1240%=4.8千克，根据第二组条件，(M+4.8)/(16+M)=50%, 即解出答案M=（16-4.8）-4.8=6.4千克。比例法：最初溶质：溶液=2：5，后来加入4千克水变为3：10，但是溶质不变，即2：5=6：15，3：10=6：20，可知溶液增加了5个比例点对应4千克，即每个比例

37、点是4/5=0.8千克。后来是溶剂不变，溶剂：溶液=14：20，变成1：2=14：28，说明溶液增加了8个比例点，也就是M值=0.88=6.4千克。十字交叉法：这道题目可以看作是2个十字交叉问题去理解：第一部分是40%的酒精和加入4千克水之间的十字交叉，第二部分是40%酒精和4千克水混合后的溶液与M千克纯酒精的十字交叉。第一次：浓度是40的酒精溶液 30030 30浓度为0的4千克水 403010则最初质量之比 ？：430：103：1 说明最初40的溶液是3412千克。那么加入4千克水之后就是16千克。也就是说16千克的浓度为30的溶液和浓度为100的M千克纯酒精混合为50的溶液。第二次:浓度

38、30的溶液 1005050 50浓度100的纯酒精 503020则构建等式关系 16：M50：205：2 解得M6.4 例题87：甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲、乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？ A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%解答：参考答案B。 此题其实很简单，虽然甲乙两杯的溶液质量和浓度均不相同，但是为了从各自部分取出相同质量的溶液交换，使其交换后配成的溶液浓度两者相等，相当于我们把甲乙两种溶液直接全部混合后，再按照甲40

39、0克，乙600克分开。 因此整体混合的浓度计算方式： 注意：在浓度问题上涉及到这样一个专业知识问题，也就是饱和溶液，所谓饱和溶液也就是指在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得的溶液叫做这种溶质的饱和溶液。下面不妨思考这样一个问题：附加思考：在某种状态下，将若干溶质放入到120克溶剂中，刚好构成浓度为20%的饱和溶液，如果再加入这样的溶质15克和35克的溶剂进行混合，则混合后的溶液浓度是多少？A.20% B.22.5% C.25% D.27.5%（三）习题训练(1). 甲容器中有浓度为4的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750克盐水，放入甲

40、容器中混合成浓度为8的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？ A.9.78 B.10.14 C.9.33 D.11.27(2). 现有浓度为20%的糖水300克，要把它变为浓度为40%的糖水，需要加糖多少克？ A80 B.90 C.100 D.120(3). 甲乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为4%，乙桶有糖水40千克，含糖率为20%，两桶互相交换多少千克才能使两桶水的含糖率相等.（） .21k B.22k C.23k D.24k(4).有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少克? A480 B.

41、490 C.500 D.520(5). 现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3，若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5，则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为多少？ A.3，6 B.3，4 C.2，6 D.4，6(6).某容器中装有盐水，老师让小强再倒入5的盐水800克，以配成20的盐水。但小强却错误地倒入了800克水。老师发现后说，不要紧，你再将第三种盐水400克倒入容器，就可得到20的盐水了。那么第三种盐水的浓度是多少? A.20% B.30% C.40% D.50%(7). 从装

42、有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒人10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为 A. 7% B. 7.12% C.7.22% D.7.29%(8). 把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的溶液50升。已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍，浓度为30%的溶液的用量是多少升？ （ ） A. 18 B. 8 C. 10 D. 20(9). 取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克，再加水200克，可混合成浓度为50的硫酸；而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克，再加上纯硫酸200克，可混合成浓

43、度为80的硫酸。那么，甲、乙两种硫酸的浓度各是多少？（ ）A.75，60 B.68，63 C.71，73 D.59，65(10). 甲、乙、丙三个容器中盛有未知浓度的盐水，若各取等重量的盐水混合后，浓度为10%，若从甲和乙按重量比2:3取出混合后浓度为7%，若从乙和丙按重量比3:2取出混合后各浓度将为9%，则乙种盐水的浓度是 A. 5% B. 6% C. 8% D. 10%四、年龄问题年龄问题通常考察多人年龄的和、差、倍、比关系，年龄通常有这样几种特性：(1).无论时间如何向前或向后推移，其年龄差是恒定不变的。(2).年龄和关系随着时间向前或是向后推移n年，年龄和的变化为人数n。注意，有一个条

44、件即必须所有人必须是出生的。如哥哥9岁，弟弟5岁，哥哥弟弟年龄和为14岁，3年前年龄和为14328岁，如果是6年前，因为弟弟还没出生则只能是963岁。(3).年龄之间的倍数关系，随着时间向后推移，倍数关系缩小，向前推移，倍数关系扩大。如：哥哥15岁，弟弟10岁，哥哥是弟弟的1.5倍，往后推移5年，则他们的年龄倍数关系小于1.5倍，往前推移5年，则他们的年龄倍数关系大于1.5倍（具体的分析参见资料分析环节的运算技巧部分）。在解决年龄问题的时候，通常我们采用的步骤：首先考虑根据选项用年龄值的特殊数理关系求解，其次可以用代入法把可能选项代入尝试求解，最后考虑用最传统的方程求解方法。下面通过几道例题来

45、全面了解年龄问题的基本特性和解答技巧。 例题158：甲乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8岁；当乙像甲现在这么大时，甲29岁。问今年甲的年龄为多少岁？A22岁 B34岁 C36岁 D43岁解答：参考答案A。方法1：已知甲的年龄比乙大，那么假设乙为a岁，那么a-8就是年龄差，那么甲的年龄就是a+（a-8）=2a-8，同理29-（2a-8）=37-2a也是年龄差，故而有a-8=37-2a，a=15岁，甲就是22岁。方法2：我们可以将这个年龄通过画年龄的“路程”来转换求解方式。建立一个年龄轴： 因为年龄的变化是相同的，可以看作甲乙的年龄“速度”(随着年份变化年龄的增减)是相等的。当甲从他现

46、在的年龄位置跑到乙时，乙跑到了8这个位置上，那就说明8乙的年龄距离乙甲的年龄距离；同理，当乙到达甲的位置的时候，甲到达29这个年龄位置，因此乙甲的年龄距离甲35的年龄距离。 即看出829 被甲乙两个位置平分成3份。即每份年龄差距是（298）37. 可见甲的年龄就是29722岁。方法3：逻辑判断方法：甲的年龄肯定是小于29岁的，因为甲若干年之后才29岁，所以只能选A。 例题159：爸爸、哥哥、妹妹现在年龄和是64岁，当爸爸年龄是哥哥3倍时，妹妹是9岁；当哥哥年龄是妹妹2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁？ A.34 B.39 C.40 D.42解答：参考答案C。此题有一个数理关系的共性特征

47、，即哥哥是妹妹年龄2倍的时候，即哥哥和妹妹年龄是3的倍数，假设妹妹年龄是a，则那时候，哥哥妹妹年龄和为3a，而年龄随时间推移，年龄和变化值也是3的倍数，假设距离现在是n年，则年龄和变化3n，可以建立等式为 3a+34+3n=64 (n是变化的年数，取值为整数，负数表示向后推移，正数表示向前推移) 因此得到3a+3n=30,即a+n10，变化n年，说明妹妹今年就是10岁，根据第一组条件可知，妹妹9岁时是上一年，即设哥哥年龄为x，有4x+9643 因此x13，则爸爸今年的年龄为133+140岁。 例题160：办公室有甲、乙、丙、丁4位同志，甲比乙大5岁，丙比丁大2岁。丁三年前参加工作，当时22岁。

48、四人现在的年龄和为127岁。那么乙现在的年龄是？ A. 25岁 B. 27岁 C. 35岁 D. 40岁解答：参考答案C。根据已知条件可知，丁现在是22+3=25岁，丙是25+2=27岁，则甲乙年龄和为127-25-27=75岁，有因为甲乙年龄差为5岁，故而乙是（75-5）2=35岁。 例题161：爸爸在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”问：哥哥现在多少岁？（ ） A.24 B.25 C.34 D.36 解答：参考答案B。假设哥哥是a岁，那么等到弟弟到达哥哥年龄的时候，弟弟就是a岁，哥哥就是a+n岁，爸爸就是50+n岁。既有a+

49、（a+n）=50+n，一目了然a=502=25岁。 例题162：亲与儿子的年龄和是66岁，父亲的年龄比儿子年龄的3倍少10岁，那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍？（ ） A.10 B.11 C.12 D.13 解答：参考答案C。数字特性角度来看，年龄和66，若干年前父亲是儿子的5倍，即若干年前父亲和儿子年龄和也是6的倍数，即变化的年份是2n 也应该是6的倍数，即n起码是3的倍数。故而选C。具体解答，父亲是儿子年龄3倍少10岁，即儿子现在年龄是(66+10)(3+1)19，父亲是47，父亲和儿子年龄差恒定为28，则父亲年龄是儿子5倍时，年龄差是儿子的4倍，即儿子是284=7岁，即经过了19712

50、年。专题训练1. 刘女士今年48岁，她说：我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大2岁。问姐姐今年多少岁? A.23 B.24 C.25 D.不确定2. 在一个家庭里，现在所有的家庭成员年龄加在一起是73岁，家庭成员有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前家里所有人的年龄总和是58岁，现在儿子多少岁？ A.3 B.4 C.5 D.63. 小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。今年父亲多少岁？ . 33 . 34 . 3 . 34. 父亲与两个儿子

51、的年龄和为岁，年后父亲的年龄等于两个儿子的年龄之和，请问父亲现在多少岁？ .24 .36 . 48 .605. 全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问现在父亲、母亲的年龄是多少？ A.32，29 B. 34，31 C. 35，32 D. 36，336. 上世纪战争年代，有一位红军老兵的年龄的平方刚好是他当年的年份，请问这位红军老兵的年龄是多大？ A.41 B.42 C.43 D.44五、时钟与日期1.时钟与日期问题基础知识介绍 时间问题通常包括时钟问题、日历，日期问题等等，是目前公务员考试中经常出现的数学问题。解决时钟问题时，要特别注

52、意时针和分针的转速。整个钟面一共360度，被均匀地分成了12份，每份30度。分针的转速是12大格/小时，或者为36060=6度/分钟；时针的转速是1大格/小时，或者为3060=0.5度/分钟。 更多的时候我们都是把时间看作是时针分针或者秒针之间的行程问题。他们之间相差的角度或者格数就是距离差；他们共同走过的角度也可以看他的路程之和，如两针所走角度之和是相对固定的情况下。关于日历日期，要注意到其基本原理多长时间为一周期不断循环。一个星期以7天为周期，一年有52个星期多1天（平年）或2天（闰年）， 一个月要注意区分大小月的天数和2月的天数。1，3，5，7，8，10，12是大月，2月根据情况来定：闰

53、年2月是29天，平年2月是28天，闰年有366天，能被4整除的非整百数（如2008年）与能被400整除的整百数（如2000年）都是闰年。同时我们为了提高运算速度，需要了解平年是7的倍数加1天（3657N+1），闰年是7的倍数加2天（7N+2）。例题163：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是（ ） A11点整 B11点5分 C11点10分 D11点15分解答：参考答案C。钟表比标准时间每小时慢3分钟，即1个标准小时钟表与标准时间的比例为57:60，从4：30到10：50，钟表走了6小时20分钟合计380分钟，钟表的5

54、7分钟相当于标准时间的1小时。380分钟含有38057=个标准时间，即6小时40分钟，因此答案11点10分。 例题164：有一只怪钟，每昼夜设计成10 小时，每小时100 分钟，当这只怪钟显示5 点时，实际上是中午12 点，当这只怪钟显示8 点50 分时，实际上是什么时间（ ） A.17点50分 B.18点10分 C.20点04分 D.20点24分解答：参考答案D。根据每昼夜设计成10小时。我们可得知标准时间和怪钟的比例关系24：10=2.4：1，也就是说1小时怪钟时间相当于2.4小时标准时间，现在经过了3小时50分钟，因为怪钟进制是100分钟进制，所以3小时50分钟相当于3.5小时。故而实际

55、时间经过了2.43.58.4小时。即8小时24分钟。 例题165：某时刻钟表时针在10点到11点之间，这个时刻再过6分钟后的分针和这个时刻3分钟前的时钟正好方向相反且在一直线上，那么钟表这个时刻为（ ） A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分解答：参考答案A。这个题目最好的方法就是时间上估算，10点11点在钟表上直线对应的区域在4点5点之间，6分钟之前应该在20-625-6即1419分钟之间，如果是19分钟则6分钟之后是25分钟，即时针对应11，显然是不对的。故而选A。具体利用时间知识：假设这个时刻是10点x分钟，x分钟参照12刻度对应的角度是6x，那么6分钟之

56、后即6(x+6)的角度。而时针3分钟前和12点的夹角是300+0.5(x-3).它们相差180度。 即6(x+6)+180=0.5(x-3)+300. 解得x=15分钟。 例题166：小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针与分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（） A.51 B.47 C.45 D.43解答：参考答案A。这个题目有一个隐藏的恒定信息，时针和分钟颠倒位置，实则就是分针走的距离+时针走的距离构成整数圈。因此可以利用路程和相对固定来求解。整数圈是多少圈呢？主要取决于分针走了多少。题目告诉我们这个会议是1小时多。也就是说明分针走了1圈

57、多，路程和应该是2圈。因此可以得到总距离3602720度，速度和6+0.56.5度。即时间为分钟，约1小时51分钟。 例题167：2003年7月1日是星期二，那么2005年7月1日是（ ） A星期三 B星期四 C星期五 D星期六解答：参考答案C。日期问题要计算的是星期几，这必然与周期星期的周期相关，题干给出的2年中有一年是闰年，平年的是7n+1，闰年是7n+2，因此实际上2年是经过了7的周期多出1+23天，即答案是从星期二向后推3天，为星期五。例题168：小王发现今天办公室日历好几天没有翻了，他撕掉了过期的6页，发现这6页的日期号码之和为90. 则今天几号？ A.4号 B.6号 C.18号 D

58、.19号解答：参考答案A。被撕掉的日历是一组连续日历，一般情况下是连续自然数，那么我们可以利用和/项数中间数。这个题目的项数是偶数，中间数应该是带0.5小数，但906=15是整数，故而说明这不是一组连续的自然数。因此这是关于月尾+月初的连续日历，从90来看我们需要三个月末日期，否则不够，则今天就是4号。例如：27，28，29，1，2，3。2. 时钟问题中的参照思想为什么在时钟问题上要学会利用参照思想呢，这具有两方面的意义：其一，题目本身具有两种不同标准的时间比较时，我们需要根据提问中涉及到的时间来选择参照时间，也就是说谁是谁的参照要搞清楚。例如我们下面这个例题： 例题169：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此