2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

1、2010 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）x 0时，函数 f (x) xsinxg(x) axn 是等价无穷小，则常数 an 的值为()A. a 1 ,n 3B. a 1 , n 3C. a 1 , n4D. a 1 , n 463126x2 3x 4曲线y x2 5x 6的渐近线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条设 函 数 (x) 2 et costdt， 则 函数 (x)的 导 数 (x)等 于x2()2excos x22excos x22xexcosxD. excos x2下()列级数收敛的是n1

2、n n1n12n1n2 nn11 (1)nn n22nn1二次积分1dyyf (x,y)dx交换积分次序后得01()A. 1dxxf (x,y)dyB. 2 dxxf (x, y)dy0110C. 2 dxxf (x,y)dyD. 2 dx1f (x, y)dy11设1f (x) x3 3x，则x1在区间(0,1)内()A. 函数f (x)单调增加且其图形是凹的B. 函数f (x)单调增加且其图形是凸的C. 函数f (x)单调减少且其图形是凹的D. 函数 f (x)单调减少且其图形是凸二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）x 1xx 1)x 8.f(0)1，则x0f (x) f

3、(x) x9. 定积分 1x3 1dx 的值为1 x2 110. 设a (1,2,3), b (2,5, k ) ，若a 与b 垂直，则常数k x24x24y，则dzx1 y0n0nxn 的收敛域为三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）13、求极限lim(1 1)x0 xtanxx2dyd 2y14yy(xyex2x所确定，求,dxdx215、求不定积分x arctan xdx16、计算定积分 40 x 3dx2x 1 x 2 t17、求通过点(1,1,1) ，且与直线 y 3 2t 垂直，又与平面2x z 5 0 平行的直线的方 z 5 3t程。2z18z y2 f

4、 (xyex f 具有二阶连续偏导数，求1 y219、计算二重积分xdxdy，其中D是由曲线1 y2D，直线 y x 及 x 轴所围成的闭区域。20y ex y e2 x y py qy 0 的两个解，试确定常数 p, q 的值，并求微分方程 y py qy ex 的通解。四、证明题（每小题 9 分，共 18 分）21x 1 ex1 1 x2 122(x),x 0,22f(xx其中函数(xx0处具有二阶连续导数，且1,x 0,(0) 0,(0) 1f (xx 0 处连续且可导。五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23y x2 (x 0) y a2 (0 a 1)yx转一周所形成的旋转体

5、的体积记为V1(a，由抛物线y x2 (x 0) ，直线y a2 (0 a 1)与直线 x 1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V2(a) ，另V(a)V (a)(a) ，试求常数a 的值，使V (a) 取得最小值。1224、设函数f(x)满足方程f(x)f(x)2ex ，且f(0)2，记由曲线y与直线f (x)y 1,x t(t 0) yA(tlim A(t)t 2010 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、AC、B、D、D、C7、e 28、29、10、411、dx2dy12、213x tan x lim x tan x lim 1 sec2 x

6、 lim tan 2 x 1 .x0 x 2tanxx0 x3x03xx03x23dydydy2 exyd2 y9exy14、ex y );dxdxdx1 exydx2exy )315、原式1x2arctanxxarctan x C.122212x12x116、变量替换：令 t ，x ，dx tdt ，2原式 t 2 1 32 t dt 3 (t 2 5 ) dt (1 t 3 5 t) 3 281t1226213ijk17、n1 ，n2 (2, ，n n n 12123 (2, 7, 4)，x 1 y 1 z 12012742 z218x2 y 2 ( y 1ex ) ；xy 3y 2 2e

7、x 1 xy 3 f 211xy 2 ex f 1219、 D2 dyyy20 xdx 26220、特征方程的两个根为r1 1, r2 2 r r 2 0 ，从而 p 1, q 2 ； 1p(x) 1，可设Q(x) Ax ，即设特解为Y Axex ，Y Aex Axex Y 2Aex Axex p q 2 y py qy ex 得11(2A Ax A Ax 2 A)ex e x ，3A A ，通解为 y C ex31 C e2 x x2321、构造函数 f (x) ex1 1 xf (x) ex1 x f (x) ex1 1 0f (x) 在1221 上单调递增， f 0 f (x) 0 f

8、(x在 上单调递增， f 0 ，1f(x) 0，即ex1 1 x2 。122(x)(x)(0)22、lim f(x) limlim(0) 1 f(0)，连续性得证；x0 x0 xx0 x 0(x) 1f (x) f(0)x(x)x (x)11(x)(0)f (0) limlimlimlimlimx0 x x0 xx0 x2x02x2 x0 x 01lim (x) (0)，可导性得证。12 x0223、V(a) a (a2)(x2)2dx a5 ，410544V (a) 1 (x2)2 (a2)2dx (1 a4 a5 ，42a5518V (a) V1(a) V2(a) ( a4 a5 ，55V (a) (8a4 4a3 ，令V (a) 0 a 113，最小值为V()24f (x) edx (2exedxC)ex(e2C) exCe x ，f (0) C 1，f (x) ex e x ， f (x) ex e x ，f (x)e x exe2 x 1e2x 122y f(x)e1，exe2 x 1e2 x 1e2x 1A(t)t2)dx 2dx t