清华概率统计(第五章 二维随机变量及其分布)课件

1、第五章 二维随机变量及其分布2022/10/31皖西学院 数理系第一节 二维随机变量及其分布函数2022/10/32皖西学院 数理系一、二维随机变量如在研究儿童的发育时，涉及到身高和体重两方面的问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素. 与一维随机变量的研究类似，我们也把随机变量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连续型的随机变量.2022/10/33皖西学院 数理系二、二维随机变量的分布函数注：联合分布函数表示两个事件同时发生的概率.2022/10/34皖西学院 数理系三、二维联合分布函数的性质单调性:有界性:右连续性:非负性:注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.202

2、2/10/35皖西学院 数理系例1反例：函数 不满足非负性，故不能作为二维随机变量的分布函数. *2022/10/37皖西学院 数理系例2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为解：由分布函数的性质可以得到2022/10/38皖西学院 数理系一、二维离散随机变量对于二维随机变量(X,Y)，如果X和Y都是离散型随机变量，则称(X,Y) 是二维离散型随机变量。 2022/10/310皖西学院 数理系二、二维随机变量(X,Y)的联合分布列联合分布列的基本性质非负性：正则性：2022/10/311皖西学院 数理系例1 一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2.从袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取

3、一球.记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.分析：与求一维分布列一样，确定取值，计算概率.乘法公式.2022/10/312皖西学院 数理系例1* 一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2.从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球.记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.2022/10/314皖西学院 数理系例2 从1，2，3，4中取一数记为X，再从1，X中取一数记为Y，求（X,Y）的联合分布列及P(X=Y).2022/10/315皖西学院 数理系2022/10/317皖西学院 数理系第三节 二维连续型随机变量2022/10/318皖西学院 数理系一、定义定义：如果存在二元非负可积函

4、数 p(x,y)，使得二维随机变量（X,Y）的分布函数 F(x,y)满足则称（X,Y）为二维连续随机变量， p(x,y)称为（X,Y）的联合密度函数.注：在F(x,y)偏导存在的点处有：二、基本性质非负性：正则性：2022/10/319皖西学院 数理系即密度函数在指定平面区域G上的二重积分.三、概率计算补充说明：类似地，可以定义更高维的连续随机变量及其联合密度函数.并且，密度函数与分布函数有着相似的关系；其概率计算也与二维随机变量类似.2022/10/320皖西学院 数理系11G1G22022/10/321皖西学院 数理系四. 常用二维分布2022/10/322皖西学院 数理系例2 设二维随机

5、变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，求(X,Y)的联合密度函数.解：区域G如图所示，故(X,Y)的联合密度函数为2022/10/324皖西学院 数理系第四节 边缘分布2022/10/325皖西学院 数理系2022/10/327皖西学院 数理系补充说明1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.2、类似可定义三维随机变量（X,Y,Z）的边缘分布函数. 3、由联合分布还可以反映X和Y的关系，这也是研究多维分布的原因所在.4、对联合分布与边缘分布关系的研究，同样分离散和连续型两种随机变量.2022/10/328皖西学院 数理系二、边缘分布列对二维离散型随机变量(X,Y)，联合

6、分布列为则(X,Y)关于X的边缘分布列为(X,Y)关于Y的边缘分布列为注:(X,Y)的联合分布列与边缘分布列的关系，通常可以用下面的表格来反映.2022/10/329皖西学院 数理系各行概率相加各列概率相加2022/10/330皖西学院 数理系例2 设（X,Y）的联合分布列如下，求其边缘分布列.2022/10/331皖西学院 数理系三、边缘密度函数2022/10/332皖西学院 数理系一般地 ，2022/10/333皖西学院 数理系2022/10/334皖西学院 数理系2022/10/335皖西学院 数理系2022/10/336皖西学院 数理系2022/10/337皖西学院 数理系*例5 设随

7、机变量(X,Y)的概率密度是求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度.解：(1)2022/10/338皖西学院 数理系例5 设随机变量(X,Y)的概率密度是求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度.解（2）2022/10/339皖西学院 数理系例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度.解（2）2022/10/340皖西学院 数理系第五节 随机变量的独立性 随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念.2022/10/341皖西学院 数理系一、独立性的定义2022/10/342皖西学院 数理系补充说明

8、同样可以定义多个随机变量的独立性.即满足联合分布函数等于各个边缘分布函数的乘积. 定义中的条件是独立性的充要条件，对各种类型的随机变量都能成立. 对于离散型和连续型的随机变量来说，还可以分别利用概率分布列和密度函数来反映随机变量的独立性.2022/10/343皖西学院 数理系二、离散型随机变量的独立性2022/10/344皖西学院 数理系例1 一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2.从 袋中任取一球，不或放回袋中，再从袋中任取一球, 记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字,则2022/10/345皖西学院 数理系2022/10/346皖西学院 数理系例2 设（X,Y）的边缘分布如下，且2

9、022/10/347皖西学院 数理系显然不独立.注：联合分布列中有0一定不独立！2022/10/348皖西学院 数理系三、连续型随机变量的独立性n个连续型随机变量相互独立的充要条件是：简单判别方法：2022/10/349皖西学院 数理系例3 设（X,Y）的联合密度函数为问X、Y是否独立？0112022/10/350皖西学院 数理系例4 从（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率：两数之和小于1.2； 两数之积小于1/4.解：记这两个数分别为X、Y，则X、Y独立，且都服从（0，1）上的均匀分布.从而（X,Y）的联合密度函数为 所求的概率，即是在指定的区域内计算联合密度函数的二重积分.2022/10/351皖西学院 数理系例4 从（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率：两数之和小于1.