函数的周期性及对称性

1、.11/11函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数yf是周期函数,且2|a|是它的一个周期。ff fff1/f f1/f2、函数的对称性与周期性性质5若函数yf同时关于直线xa与xb轴对称,则函数f必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf同时关于点a,0与点b,0中心对称,则函数f必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf既关于点a,0中心对称,又关于直线xb轴对称,则函数f必为周期函数,且T4|ab|3.函数图象本身的对称性自身对称若,则具有周期性；若,则具有对称性：内同表示周期性,内反表示对称性。1、图象

2、关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称例题分析：1设是上的奇函数,当时,则等于 A0.5 B C1.5 D2、XX已知定义在上的奇函数满足,则的值为 A1 B0 C1 D23设是定义在上的奇函数,求4函数对于任意实数满足条件,若,则_5已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。1求的值；2证明是周期函数；3若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设f是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有ff当x0,2时,f2xx2

3、.求证：f是周期函数；当x2,4时,求f的解析式巩固练习：1函数f是周期为4的偶函数,当x0,2时,fx1,则不等式xf0在1,3上的解集为A BC D2设函数f是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有ff,已知当x0,1时,feq blcavs4alco1f1x,则：2是函数f的周期；函数f在上递减,在上递增；函数f的最大值是1,最小值是0；当x时,feq blcavs4alco1fx3.其中所有正确命题的序号是_3设定义在R上的奇函数yf,满足对任意tR,都有ff,且xeq blcrcavs4alco10,f时,fx2,则ffeq blcavs4alco1f的值等于Aeq f Beq fC

4、eq f Deq f4若偶函数yf为R上的周期为6的周期函数,且满足f,则f等于_5、1;23若设.6设f是上的奇函数,ff,当0 x1时,fx.求f的值；当4x4时,求f的图像与x轴所围成图形的面积7设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.8.设函数对任意实数满足,判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.1证明：；2求的解析式；3求在上的解析式.10.已知,1判断的奇偶性；2证明：11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。12XX

5、文已知定义域为的函数是奇函数。求的值；若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。复习题：已知数列,其前项和为,点在抛物线上；各项都为正数的等比数列满足.求数列,的通项公式；记,求数列的前项和2在中,角、所对的边分别是、,且其中为的面积求；若,的面积为3,求3某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下：12345频率020451若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,的值；ABCPH在1的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,等级系数为5的2件日用品记为,

6、现从,这5件日用品中任取两件假定每件日用品被取出的可能性相同,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率ABCPH4.如图,在三棱锥中,底面,为的中点,.求证：平面；求经过点的球的表面积。5.已知抛物线与轴交点为,动点在抛物线上滑动,且1求中点的轨迹方程；2点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明：为直角三角形6. 设函数.1求的极大值；2求证：3当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值；函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数yf是周期函数,且2|a|是它的一个周期。ff

7、 fff1/f f1/f2、函数的对称性与周期性性质5若函数yf同时关于直线xa与xb轴对称,则函数f必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf同时关于点a,0与点b,0中心对称,则函数f必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf既关于点a,0中心对称,又关于直线xb轴对称,则函数f必为周期函数,且T4|ab|3.函数图象本身的对称性自身对称若,则具有周期性；若,则具有对称性：内同表示周期性,内反表示对称性。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象

8、关于点对称例题分析：1设是上的奇函数,当时,则等于 A0.5 B C1.5 D2、XX已知定义在上的奇函数满足,则的值为 A1 B0 C1 D23设是定义在上的奇函数,求4函数对于任意实数满足条件,若,则_5已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。1求的值；2证明是周期函数；3若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。6.设f是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有ff当x0,2时,f2xx2.求证：f是周期函数；当x2,4时,求f的解析式解：证明：ff,ffff是周期为4的周期函数x2,4,x4,2,4x0,2,f22x26x8.又fff,fx26x8,即fx

9、26x8,x2,4巩固练习：1函数f是周期为4的偶函数,当x0,2时,fx1,则不等式xf0在1,3上的解集为A BC D解析：选Cf的图像如图当x时,由xf0得x；当x时,由xf0得x；当x时,由xf0得x故x2设函数f是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有ff,已知当x0,1时,feq blcavs4alco1f1x,则：2是函数f的周期；函数f在上递减,在上递增；函数f的最大值是1,最小值是0；当x时,feq blcavs4alco1fx3.其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：ff,则yf是以2为周期的周期函数,正确；当1x0时0 x1,ffeq blcavs4alco1f1x

10、,函数yf的图像如图所示：当3x4时,1x40,ffeq blcavs4alco1fx3,因此正确,不正确答案：3设定义在R上的奇函数yf,满足对任意tR,都有ff,且xeq blcrcavs4alco10,f时,fx2,则ffeq blcavs4alco1f的值等于Aeq f Beq fCeq f Deq f解析：选C由ff得fff,所以fff,所以f的周期为2.又fff0,所以ffeq blcavs4alco1fffeq blcavs4alco1f0eq blcavs4alco1f2eq f.4若偶函数yf为R上的周期为6的周期函数,且满足f,则f等于_解析：yf为偶函数,且f,fx2xa

11、,1a0.a1.ffff1.5、1;23若设.6设f是上的奇函数,ff,当0 x1时,fx.求f的值；当4x4时,求f的图像与x轴所围成图形的面积解：由ff得,ff2ff,所以f是以4为周期的周期函数,所以fff1.由f是奇函数与ff,得f2ff,即ff故知函数yf的图像关于直线x1对称又0 x1时,fx,且f的图像关于原点成中心对称,则1x0时,fx,则f的图像如图所示当4x4时,设f的图像与x轴围成的图形面积为S,则S4SOAB4eq blcavs4alco1f214.7设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.解：当,即,又是以2为周期的周期函数,于是当,即

12、时,8.设函数对任意实数满足,判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称,又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上,故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期,故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.1证明：；2求的解析式；3求在上的解析式.解：是以为周期的周期函数,且在上是奇函数,.当时,由题意可设,由得,.是奇函数,又知在上是一次函数,可设而,当时,从而时,故时,.当时,有,.当时,.10.已知,1判断的奇偶性；2证明：11、定义在上

13、的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。12XX文已知定义域为的函数是奇函数。求的值；若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。 10偶函数 奇函数 11偶函数 12、复习题：已知数列,其前项和为,点在抛物线上；各项都为正数的等比数列满足.求数列,的通项公式；记,求数列的前项和2在中,角、所对的边分别是、,且其中为的面积求；若,的面积为3,求3某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下：12345频率020451若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求

14、,的值；ABCPH在1的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,等级系数为5的2件日用品记为,现从,这5件日用品中任取两件假定每件日用品被取出的可能性相同,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率ABCPH4.如图,在三棱锥中,底面,为的中点,.求证：平面；求经过点的球的表面积。5.已知抛物线与轴交点为,动点在抛物线上滑动,且1求中点的轨迹方程；2点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明：为直角三角形6. 设函数.1求的极大值；2求证：3当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值；复习题答案：1、解：,当时,数列是首项为2,公差为3的等差数列,又

15、各项都为正数的等比数列满足,解得, 由题得-得12分2、解析：由已知得即6分 由知,12分3、.解：1由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 1分因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=0.153分等级系数为5的恰有2件,所以c=0.1 4分从而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 6分2从日用品,中任取两件,所有可能结果,共10种,9分设事件A表示从日用品,中任取两件,其等级系数相等,则A包含的基本事件为,共4个,11分故所求的概率P= =0.4 12分4、证明：因为 底面,底面,所以 , 又因为 , 所以 平面, 又因为 平面, 所以 . 因为 是中点, 所以 ,又因