期权定价与避险

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业权证定价与避险策略研究权证定价与避险策略研究 上证联合研究计划课题报告 权证定价与避险策略研究 一、文献综述 如何为期权定价在金融领域已经有很长的历史了。早在1900年法国数学家Bachelier在其投机理论一文中提出用公平赌博的方法(Fair Game Approach),得出到期日看涨期权的预期价格公式,但他的工作并没有引起金融界的重视。在其后半个多世纪里,期权定价理论进展甚微。期权定价方面的新发展始于1960年,其中主要有Sprenkle的看涨期权价格模型、Sam

2、uelson的欧式看涨期权模型等,但是这些模型都是不完善的,如包含着某些无法准确估计的参数、定价公式依赖于特定投资者的偏好等。 1、B-S模型 现代期权定价理论的革命始于1973年,Fischer Black和Myron Scholes(1973)发表了期权定价和公司财务一文,在一系列严格的假设条件下,通过严密的数学推导和论证,提出了后来被称为Black-Scholes模型(下称BS模型)的期权定价模型,成为期权定价理论研究中的开创性成果。其中心思想是在已知股票价格未来分布的假设下,可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险,而期权的价格就等于动态复制所需的成本。这一定价模型现已

3、成为交易商们所普遍使用的一个定价工具,极大地推动了衍生产品市场的深入发展。 由于其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的简单,BS 模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实际环境不相吻合的假设,导致BS 模型价格与实际期权的市场价格经常有很大的差距,因此该模型价格只能作为参考价格。具体是由以下两个因素所造成的: 1、交易成本与交易的不连续性。BS模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的。发行商采用Delta值(即期权价格相对于标的股票价格每单位变动的变动,可由BS公式得出)避险策略,必须连续地微小地调整期权与股票的头寸,以消除市场价格风险。而实务中,由于交易成本的存在,采取这样的动态

4、连续避险操作会导致过高的累积交易成本,因而只能采取间断性避险。虽然间断性避险降低了交易成本,却增大了避险误差,使得投资组合不能保持无风险状态。 2、股价分布与波动率。BS模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同,根据模型得到的避险头寸值也就并不准确,这也造成动态复制的成本偏离期权价格。 针对BS模型的这些与实际不符的假设条件,很多学者进行了修正与推广,主要地可分为两类:(1)不完美市场,包括引入交易成本及非连续避险；(2)股价收益率及波动率分布过程,采用与BS模型不同的假设。另外,也存在其它一些修正,如针对BS模型中利率固定的假设,引入随机利率模型等。 2、不完美市场 Leland(1985)

5、 开创性地提出对BS模型采用一种修正的波动率,来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是:在连续时间的BS模型框架下,假设在给定的时间间隔进行避险调整,通过在波动率中加入包含交易成本的因素,使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本,从而对BS公式做出修正,使之仍可应用于避险操作。 Leland模型虽然比BS模型有所改进,但其策略并不是最优策略。有研究表明,这种避险策略并不能精确地避险。Whalley 和Wilmott(1997)通过对最优化系统的渐进分析,提出了一个相对容易实行的避险算法。他们提出一个决策规则,在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行避险头寸调整,从而解决巨幅累积交易成本的问题。其

6、基本思想是,投资者的Delta避险策略由市场的运动决定,如果Delta与实际持有的资产数量的差大于投资者指定的避险带,则资产组合就需要重新调整到Delta。期权价值还是由期望收益率等于无风险利率决定。 3、股价收益率及波动率分布 虽然BS模型被广泛应用于权证的定价,但对标的股价的实证研究表明,BS模型并不能很好的刻划股价波动率的以下几方面的特征:(1)波动率微笑(Volatility Smile)。按照BS模型的假设,隐含波动率应该与执行价无关且是常数,而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。(2)肥尾(Fat Tails)分布,即资产收益率分布在极端情况的概率大于相应的正

7、态分布的概率,呈现肥尾分布。(3)群聚(Clustering Effect)现象,即波动率一个时期高而另一个时期低,且在不同时期间的变换是不可预测的。(4)均值回复(Mean Reversion),即波动率围绕一个常数值震荡,意味着波动率倾向于回到长期均值的水平。(5)杠杆作用(Leverage Effect),即波动率与股价运动之间存在负相关关系。(6)其他经验特征,如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、分红效应、溢出效应、信息到达效应等。 因此,对于经典的BS模型假定标的资产价格服从几何布朗运动、波动率为常数这些假设,学者们提出了多种修正、推广建模方法。 Merton(1976)提出股价路

8、径应是一个跳跃扩散过程。如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话,就属于可分散风险,可分散风险不应该获得期望收益。利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动,用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃,并且假设跳跃幅度服从正态分布,通过求解随机方程可得出期权定价公式。 对于BS模型中波动率为常数的修正,大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类:(1)确定性波动率模型:这类模型是将波动率作为标的股票价格水平的函数,主要包括方差弹性为常数的CEV模型(The Constant Elasticity of Variance Model)及IDV模型(Impli

9、ed Deterministic Volatility Model)；(2)随机波动率模型:它们假设波动率服从一个随机过程。这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。 二、模型描述 由于目前我国内地尚不存在权证市场,各种定价模型的定价效率尚无法进行检验；一些定价模型,比如确定性/随机波动率模型的参数亦无法估计,所以我们将重点研究在间断避险及存在交易成本情况下,各种避险策略的避险效果问题。下面对相关模型作出描述。 1、股价过程假设 在BS 模型中,假设股价服从几何布朗运动,也就是说有一个固定的期望报酬率及一个固定的方差,同时还对市场做了如下假设: (1) 无风险利率已知且在合约期限内为

10、常数,投资者可以无风险利率自由借贷。 (2) 股票不分发股利也不做任何其它形式的利润分配。 (3) 期权为欧式的,即只能在到期时履约。 (4) 买卖股票与期权时无交易成本。 (5) 对卖空没有任何限制。 (6) 交易时间及价格变动是连续的。 2、B-S定价公式 根据伊藤定理,期权及股票的报酬都受相同的不确定性的影响,因此,若以股票及期权构造一投资组合,包含Delta单位标的股票的多头及一单位期权的空头,则报酬的不确定性将被消除。在一个极短的时间内,该组合的价值变化独立于股价的变化。因为当股价变动时,如果避险是连续进行,期权的价值变化恰好将股价的变动抵消,消除了随机项,使得该投资组合在建立头寸的

11、瞬间是无风险的。 值得注意的是,这样的投资组合并不是永远无风险,它只有在很小的时间间隔内才无风险。当股价随着时间而改变时,需要连续地调整组合中期权及股票的比例,也就是要连续避险,才能形成无风险的避险组合。 在无套利的假设下,该投资组合的收益率应该等于无风险利率,再加上欧式看涨期权的边界条件,即可推导出欧式看涨期权的定价公式: 由定价公式可知,期权价值是由5个变量所决定,包括标的股价(S),履约价(K),无风险利率(r),剩余期限(T-t)及标的股报酬率标准差()。这5个变量的变动会影响期权价值的变动。模型中的五个变量,除标的股标准差即波动率外,均可以从市场上直接获得(见表1)。 3、避险策略

12、从BS公式的推导过程中可得出发行商所采用的避险策略。首先,发行商出售认购权证获得资金C元；然后借入资金 元；利用这部分资金买入N(d1)(delta值,即避险比率)份标的股票,并随着时间及delta值的变化,连续调整所持有的标的股票份数。这种根据delta值的变化随时调整避险仓位的策略,是一种动态避险策略,称为delta避险策略或delta中性策略。 4、存在交易成本的间断避险策略 明显地,在实务环境下,无交易成本及连续避险是不可能的,在进行权证避险时,需要对此作出修正。 Leland模型 Leland(1985)给的存在交易成本条件下的避险策略,是在BS公式的基础上,通过调整波动率进行的。他

13、将波动率加上一个与交易成本及避险间隔相关的调整项,将调整后的波动率代入BS模型可以得到调整后的避险比率。 Delta区间避险策略 Delta区间避险策略,是指当Delta超出预定范围时才调整标的股票的避险头寸,有两种调整方法:一是按照一个理想的Delta值进行避险；其次是进行一个最小的避险交易以使Delta值保持在预定的范围之内。定义H为理想Delta值的偏离,D是实际持有的标的股票头寸,即H=D-Delta。当H超过预设值时,重新调整避险头寸使得H0。 效用最大化策略 效用最大化策略试图寻求一种全局最优的避险策略。其做法是,首先为避险操作定义一个效用函数,然后最大化该效用函数的期望值。Wha

14、lley和Wilmott通过对最优化系统的渐进分析,给出了一个相对容易实行的避险算法,即给出了避险头寸的的避险带(Delta-Bt,Delta+Bt)并给出了避险带宽度为2Bt的计算公式。相应的避险策略是:当现有避险头寸小于本期BS的Delta值减Bt时,需要将避险头寸调整到Delta-Bt,当现有避险头寸大于本期BS的Delta值加Bt时,需要将避险头寸调整到Delta+Bt,若现有避险头寸在这两个值之间,就保持原有头寸不变。其中,Bt的值与投资者风险厌恶系数有关。 三、模拟分析 在BS 模型中,除了波动率以外的资料均可由市场中取得,因此我们只需要估计波动率。一般使用的波动率为历史波动率及隐

15、含波动率。历史波动率的计算较为简单,但有两项缺点:(1)没有考虑将投资者对标的股票未来波动率的预期；(2)估计期间长短的选取,若期间太短可能会面临估计错误的风险,若太长又可能与未来波动率的相关性不高。由于我国市场上还不存在认购权证或场外期权,故无法采用隐含波动率。本文采用三个月的历史波动率,作为三个月期限认购权证波动率的估计,以避免使用历史波动率的缺点。以下说明应如何估计历史波动率。 1、波动率的估计 在实证上要估计股价的波动率,通常是取固定间隔时间的股价资料进行估计(如:每日、每周、每月等等)。 定义:n+1:股票价格样本区间；Si:第i个时间间隔的股票价格；:时间间隔的长度(以年计算)。令

16、ui=lnSi/(Si-1), i=0,1,2,.,n 要估计股价的波动率,也就是估计i的标准差 其中u是ui的算术平均。ui的标准差相当于的估计值,因此可以用 作为波动率的估计值。 利用上述方法,我们估计上证50ETF的波动率(2005年2月23日至2005年5月13日,共计53个交易日数据)为0.1853。 2、方法描述 为比较各种避险策略的效果,我们以上证50ETF为标的的认购权证为例,本文以下所用到的参数如下: 标的现价:S0=0.762；执行价格:K=0.762；期望收益率:=4.5%(漂移率(即期望收益率)取为无风险利率)；波动率:0.1853；期限:T-t=0.25(T-t为权证

17、的存续期限,以年计算。0.25即表示三个月期限)；无风险利率:r=4.5%(这是根据目前发行商的融资成本得出的一个经验估计值)；单边交易费率:k = 0.15%。 因为我国市场上尚不存在认购权证,因此,我们采用Monte Carlo模拟的方法,对各种避险策略进行检验。步骤如下: (1)生成服从几何布朗运动的股价路径: (2)检验避险头寸是否需要进行调整,并将头寸调整产生的交易成本及最新避险头寸进行记录,计算头寸调整总成本的现值。 (3)到期时,支付行权收益。 各种避险策略的总损益,等于避险误差与交易成本之和,即避险头寸市值的现值、交易成本现值(负值)、行权支付(负值)及权利金收入之和。各种避险

18、策略的权利金收入均等于BS公式计算的价值。本文采用95%的VaR值作为衡量各种策略避险效果的标准。 3、模拟结果 我们通过Monte Carlo模拟的方法对几种避险策略进行了检验:(1) 固定时点的B-S模型,95%的可能性最大亏损不超过0.01291；(2) 固定时点的Leland模型,95%的可能性最大亏损不超过0.01198；(3) Delta区间避险,95%的可能性最大亏损不超过0.01281；(4) Whalley-Wilmott避险带策略,95%的可能性最大亏损不超过0.0107(见表2)。 在我们的例子中,以95%的VaR作为衡量标准,避险效果最好的是Whalley-Wilmot

19、t避险带策略,对应的最优风险厌恶系数等于2086,产生的初始避险带是BS Delta值上下浮动0.02。如果避险头寸小于BS Delta-0.02,需要将其调整为BS Delta-0.02；如果避险头寸大于BS Delta0.02,则将其调整为BS Delta0.02；如果避险头寸介于BS Delta-0.02与BS Delta0.02之间,则不需调整。 本研究报告结论 本文提供了一个权证定价理论的回顾及介绍。期权定价理论的经典模型是BS公式。由于计算比较简单,B-S模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实务不吻合的假设,诸如完美市场假设、股价变动过程呈现对数正态分配、股价波动率(

20、Volatility)固定不变及利率水平不变等等。 对这些假设条件的放松或改进,产生了许多的定价模型。比如对利率水平不便的放松,产生随机利率下的期权定价模型；对于波动率为常数假设的放松,产生确定性波动率模型(Deterministic Volatility Model)、随机波动率模型(Stochastic Volatility Model, SV Model)等；对于股价对数正态分布假设的改进,产生跳跃扩散过程、GARCH过程及Levy过程等分布下的期权定价模型；对于完美市场假设(连续交易及零交易成本)的放松,产生Leland模型、Wilmott模型等。 由于我国内地市场目前尚不存在权证市场

21、,定价模型的定价效率尚无法进行检验。我们采用Monte Carlo模拟的方法,研究了在间断避险及存在交易成本情况下,各种避险策略的避险效果问题。检验的避险策略包括固定时点的BS模型、固定时点的Leland模型、Delta区间避险及Whalley-Wilmott避险带策略。结果发现Whalley-Wilmott避险带策略要优于其它避险策略。 我们对各种避险策略效果的检验过程中,采用的衡量标准是VaR值。值得说明的是,不同的衡量标准可能会产生不同的结论。由于采用Monte Carlo模拟的方法,在检验过程中也没有考虑随机波动率、买卖价差及股价的跳跃等问题。另外,检验过程也没有考虑我国市场的一些特殊

22、情况,比如卖空及涨跌幅限制等。这些都是后续研究应注意的问题。 权证定价内在机制及理论演化过程 权证是一种衍生证券,给予持有人这样一个权利:在约定的时间,按照约定的价格,买入或卖出约定数量的标的资产。持有人执行此权利的约定价格,称为履约价格或执行价格；此权利可被执行的最后日期称为到期日。美式权证可以在到期日前的任意交易日执行,而欧式权证仅能在到期日执行。 权证分为公司权证(Company Warrant)及衍生权证(Derivative Warrant)两类。衍生权证通常由券商等金融机构发行,主要目的是理财及避险,行权后并不增加标的公司的股本。本文所指权证均属此类。因理论上美式权证与欧式权证定价

23、的一致性,本文将以欧式股票认购权证为例讨论权证的定价与避险。本质上,认购权证是一种看涨期权,故可用看涨期权的定价模型及避险策略来进行相应分析。 权证的定价问题可作如下直观表述。一位上证50ETF认购权证的持有者,在到期日有权利但非义务,以事先约定的履约价格购买一份上证50ETF。如果届时履约价格低于上证50ETF的市场价格,即权证处于价内,投资者将在到期日行使权利买进上证50ETF。因此,权证的定价模型首先要回答的问题是:如何评估标的股票,如上证50ETF,在到期日的价格水平? 如果能够找到合适的途径来刻划标的股票的动态过程,接下来的问题就是,如何利用标的股票的动态过程推算出权证现时的价值? 在期权定价理论中,复制(Re