大物 第二章 一维运动

1、运动的描述：一维运动第二章 两个直径相同的小球，一个是另一个质量的两倍，两个小球同时从二楼的阳台落下，到达地面的时间为：轻小球落地所需时间是重小球的两倍；轻小球落地所需时间长，但相对重小球所需时间没到两倍的关系；重小球落地所需时间是轻小球的两倍；重小球落地所需时间长，但相对轻小球所需时间没到两倍的关系；两个小球几乎是同时着地开篇问题为什么要选用参考系？车厢内的人：竖直下落地面上的人：抛物运动-运动的描述是相对的选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其观察结果会有不同。例如：匀速运动车厢内某人竖直下抛一小球，观察小球的运动状态孰是孰非？2-1 参考系和位移参考系 （1）参考系不同，对同一物体运动

2、的描述不同 （2）参考系的选择是任意的，视问题的性质和研 究的方便而定。一般选地面为参考系。被选作参考的物体称为参考系（参照系）。2-1 参考系和位移 坐标系（数学抽象）：定量描述空间中物体的位置和运动状态直角坐标系自然坐标系极坐标系球坐标系柱坐标系描述质点位置变化的大小和方向。从初位置指向末位置的有向线段。位移2-1 参考系和位移解：在右图中，蓝色的箭头表示了位移矢量，大小是40m，方向向右（东）。一个人向东走了70m，然后向西30m。总路程是100m（路径用黑色的虚线来表示），他的位移是多少？质点理想化的模型，被认为是一个大小和形状可忽略的数学点。末位矢初位矢位矢增量位移矢量位移：从初位置

3、指向末位置的有向线段2-1 参考系和位移考虑某段时间内物体的运动。假设在初始时刻t1，物体在位置x1，如图所示。t2时刻，物体到达x2处，从t1到t2时间内，物体的位移x2-x1，方向如图中箭头所示，表示为2-1 参考系和位移这里的符号（希腊字母delta）意思是“改变”。需要注意的是要用终值减去初值。假设1:x1=10.0m, x2=30.0m，那么位移是20.0m，方向为x轴正方向。2-1 参考系和位移假设2: 一个向左运动的人如右图，开始时处在x1=30.0m，向左走到x2=10.0m处。在这种情况下，她的位移是显然，这个人位移的方向与假设相反。2-2平均速度平均速度：描述质点运动快慢和

4、方向的物理量平均速率：一维运动s为质点在t时间内所经历的路程平均速度与平均速率的联系：（1）矢量和标量（2）运动方向不变的直线运动中，平均速度在数值上与平均速率相等。举例：当质点运动一个圆周时，例2-1 跑步运动员的平均速度。跑步运动员所处的位置是时间的函数，并始终沿着坐标系的x轴运动，在3.00s的时间内，运动员由初始的x1=50.0m运动到了x2=30.5m的位置，如图所示。求：跑步运动员的平均速度是多少？解题思路 我们要找的平均速度，是位移和经历的时间的比值。 解题方法 位移是经历的时间间隔是 平均速度是位移和平均速度都是负的，告诉我们运动员是沿着x轴负方向运动，如图中箭头方向所示。因此

5、运动员的平均速度大小是6.50m/s，方向向左。例2-2 自行车运动员的骑行距离 运动员沿笔直的道路骑行自行车，其平均速度为18km/h。她在2.5小时内将行进多远？解题思路 要想得到骑行的距离，我们要利用（2-2）式解题方法 由式（2-2）得 2-3 瞬时速度定义为一个无限短的时间间隔内的平均速度某质点做一维运动，其位置与时间的关系如上图所示。质点在t1时刻处于P1点 (t1,x1)，t2时刻处于P2点(t2,x2)， 的比值是直线P1P2的斜率。 也是 时间内的平均速度。因此，在任意时间内的平均速度等于在xt曲线图上连接两点的直线（或弦）的斜率。2-3 瞬时速度我们把图中的Pi点逐渐向着P

6、1移动。也就是我们让 时间间隔 趋于无限小，那么连接两点的斜率就会无限接近P1点切线的斜率。也就是说平均速度无限接近P1点切线的斜率。根据瞬时速度的定义，t1时刻的瞬时速度就等于曲线上P1点的切线的斜率。瞬时速度等于曲线在该点的切线的斜率。2-3 瞬时速度比较四个不同点的瞬时速度：p1、p2点的斜率为正值，故v0 .p3点斜率为零，故v=0.p4点的斜率为负值，故v0 .质点的位置与时间关系图例2-3 喷气飞机沿一直线路径运动（x轴）。如果可以把喷气机看成一个质点，它的位置与时间的函数关系为x=At2+B，参数A=2.10m/s2,B=2.80m，函数曲线如右下图所示。（a）求从t1=3.00

7、s到t2=5.00s时间间隔内喷气机的位移；（b）求这个时间间隔内的平均速度；（c）求t=5.00s时刻的瞬时速度值。解题思路 用t1和t2代到方程中得到x1和x2。平均速度可以通过方程（2-2）得到。对x方程对时间t求导数,可得到瞬时速度。解题方法 （a）在 位置（图中的P1点）是在 位置（图中的P2点）是因此位移（b）平均速度（c）在 的瞬时速率等于图中曲线上p2点切线的斜率。通过测量曲线中的斜率可以获得v2。但是，我们可以更精确地计算出v在任意时刻t的数值，使用公式喷气机的位置x是时间t的函数，我们将x对时间t求导，已知A=2.10 m/s2可得到瞬时速度2-4 加速度加速度说明了物体速

8、度改变的快慢程度。平均加速度对应的时间速度的增量因为速度是矢量，所以加速度也是矢量。同样，对于一维运动的加速度，我们只需要使用一个+、-来表示相对于选定的坐标轴方向如何即可。例2-4 平均加速度 一辆汽车沿着直路行进，在5.0s内从静止加速到90km/h。求汽车的平均加速度。解题思路 平均加速度是速度的改变量和时间5.0s的比值。汽车初速度v1=0，末速度90km/h=90103m/3600s=25m/s。解 由公式（2-5），平均加速度例2-5 速度和加速度 （a）如果一个物体的速度为零，是否意味着其加速度也为零？（b）如果物体加速度为零，是否意味着速度必然为零？举例说明。解答：（a）速度为

9、零， 并不一定意味着加速度为零。例如，当你把脚放在油门踏板上时，汽车速度开始为零，但加速度不为零，因为汽车的速度在变化。（试想如果汽车的速度没有改变，即没有加速度，汽车怎么可能开始前进？）（b）加速度为零，也不意味着速度为零。例如，当你以100km/h的恒定速度沿直线高速公路行驶，加速度为零：a = 0,v0。例 2-6 汽车减速 汽车正沿着笔直的高速公路向右行驶，我们选此方向为x轴的正方向。这时司机踩下刹车。如果由最初的速度v1=15.0m/s，5.0s后减速为v2=5.0m/s。问汽车的平均加速度是多少？解题思路 题目给出了初末速度和经历的时间，代入公式（2-5）求负号出现是因为末速度比初

10、速度小，因此加速度的方向向左（-x的方向）。如图中橙色箭头所示。解 公式（2-5），初始时刻t1=0,t2=5.0s。（注意我们选择t1=0并不会影响 的计算，因为公式2-5中只出现 ）那么平均加速度： v-t 图中P1P2两点连线的斜率瞬时加速度： t1时刻切线的斜率瞬时加速度瞬时加速度 定义为当时间间隔趋近于零时，平均加速度的极限值：例2-7 加速度给定的x（t） 一质点沿直线运动，位置-时间关系可表示为：计算（a）在t1=3.00s到t2=5.00s时间间隔内的平均加速度；（b）瞬时加速度的时间函数表达式。解题思路 要确定加速度，我们必须找到t1、t2时刻分别对应的速度： 。然后我们利用

11、公式（2-5）求出平均加速度，利用公式(2-6)求出瞬时加速度。解 （a）在任意时刻t的速度因此，当（b）用 ，在任意时刻的瞬时加速度（a）xt的关系图；(b) 根据计算，vt是个线性增长的关系；（c）at是条水平线，即a=常量。注意：速度是xt曲线的斜率，加速度是vt曲线的斜率。xtvtat2-5 匀加速运动运动过程中a=常量基本步骤仔细阅读，理解题意。确定研究对象，并确定研究的时间段。你可以选择t=0作为初始时刻。作图，并建立适当的坐标系。列出已知条件和要求的内容。在初始时刻和终止时刻间寻找定量关系。思考问题的物理原理。利用常识和已有经验，确定方法。考虑哪个公式(或定义)与给定的数据有关。

12、使用之前确保其有效范围。如果是一个求解数值的问题，那么请注意有效数字（在进行计算的过程中需要多保留1到2位有效数字，但是最后的答案一定要根据要求保留）仔细审视获结果是否合理，一种检查办法是根据数量级进行粗略估计。保持单位的统一。2-6解决运动问题例题2-8 汽车的加速度 如果汽车的加速度恒定，大小为2m/s2，当绿灯亮起后，停在路口的汽车通过宽为30m的十字路口需要多少时间？解：1.反复阅读，理解题意。2.明确研究对象是汽车。选定时间间隔：起始时间，t=0，即汽车从静止状态开始加速的时刻(v0=0)；t是汽车行驶30m宽的十字路口所需的时间。作图：以汽车前进的方向为x轴的正方向。我们选定汽车开

13、动时前保险杠所在的位置为x0=0. 从静止开始运动的意思是在t=0时，v=0；即v0=0.4.已知条件和待求的未知量5.这是一个匀加速直线运动。6. 我们要求时间，给定了加速度和距离；公式2-12b ( ),是最佳选择，因为未知量只有时间。设定v0=0，x0=0，利用公式2-12b我们就能解出t：所以计算：这就是我们的答案。注意单位和有效数字。我们可以检验解答的合理性，通过计算最后的速度v=at=(2.00m/s)(5.48s)=10.96 m/s, 然后算出距离，就是已知条件中的距离。9.检查单位，单位完全正确（秒）。例2-9 安全气囊 如果你想设计一个安全气囊系统，可以在汽车以100km/

14、h(60 mph)速度撞上一面墙的情况下保护驾驶者。假设汽车撞墙后的前进距离为1m。估算一下，气囊应以多快的速度充气才能有效的保护驾驶者。汽车的安全带又是如何保护驾驶者安全的？ 解题思路 我们假设加速度大致恒定，看成匀加速直线运动问题。公式2-12a和2-12b都包含了时间t，它们也都包含加速度a，所以我们必须先得到a。我们知道汽车撞墙后的前进距离x=1m，可以利用2-12c求得加速度a。我们以汽车100km/h的速度撞墙的那一刻为初始时刻，汽车发生碰撞前进1m之后的时间为最终时刻(v=0)。解： 我们将给定的初速度的单位换算成国际标准单位制单位：100km/h=100103m/3600s=2

15、8m/s.接下来我们根据2-12c求加速度这个巨大的加速度发生在由2-12a计算出的时间内，所以为了达到有效防护，充气的速度必须比这个时间还快。小知识：安全气囊有什么用？它将力量分散于整个胸部(避免方向盘刺穿驾驶者的胸部)，而安全带的作用是使人体相对于膨胀的气囊保持在一个固定的位置。22-7自由落体运动伽利略（1564-1642）意大利物理学家、数学家、天文学家。提出了自由落体定律，发明了摆针和温度计。是利用望远镜观测天体取得大量成果的第一位科学家，论证了哥白尼的“日心说”。是第一个把实验引进力学的科学家，是近代实验科学的奠基人之一，被誉为“近代力学之父”、“现代科学之父”。其工作为牛顿的理论

16、体系的建立奠定了基础。爱因斯坦认为伽利略的科学发现，“标志着物理学的真正的开端”。伽利略提出：在地球上在没有空气阻力下的确定地点，所有的物体以相同的加速度下落。这个加速度为地球表面的重力加速度。思考：一块石头和一根羽毛同时落下，谁先落地？(a) 在空气中(b) 在真空中自由落体为匀加速直线运动！对一个下落的苹果在相同时间间隔内连续拍照.苹果下落距离越来越大，说明是一个加速过程。例2-10 从比萨斜塔塔顶下落。假设一小球初速度为0，从55米高的比萨斜塔塔顶开始下落，那么经过t1=1s,t2=2s,t3=3s后，小球移动了多少距离？空气阻力忽略。解题思路 我们设y的正方向向下，所以加速度a=g=+

17、9.8m/s2. v0=0,设y0=0。要得出3个不同时间点y的位置。利用等式2-12b，用y代替式中的x，用已知量（t,a,v0）来求出未知量y。解 小球在t=0到t1=1s的时间内下落了4.9m。同理，在2s后，小球的位置为最后，在3s后小球的位置（见图）为例2-11 小球向上抛出 一人以15m/s的初速度向上抛出一小球。计算（a）小球能向上抛到多高？（b）小球经过多少时间可以回到手中？（忽略空气阻力）解题思路 我们选择向上为y的正方向，因为重力加速度的方向向下，所以a= -g = -9.80m/s2。随着小球上升，速度开始变慢，直到达到最高点（图中的B点）。这时它的瞬时速度为0，然后开始

18、加速下落。解 （a）我们首先考虑小球离开手以后到达到最高点的过程。当t=0时（图中的A点），y0=0，v0=15.0m/s, a=-g=-9.80m/s2。在最高点t时刻，v=0，a=-g=-9.80m/s2，我们要求y。利用等式2-12c，用y代替等式中的x：v2=v02+2ay。求出y即可：（b）计算小球重新回到手中的时间。把整个运动过程从A到B到C一起考虑，y代表小球的位置或者位移，而不是总的路程。那么小球在A点和C点时，y都为0。t是未知量方程有两个解t=0 和 t=3.06s。概念例题2-12 两个可能的错误理解。（1）加速度和速度的方向总是一致的；（2）向上抛的物体在最高点时加速度为0。解答 这两个观点都是错误的。（1）速度和加速度的方向不一定是一致的，例如上面例子中小球从抛出到最高点的过程。（2）小球在接近最高点时速度不断变慢，在最高点时瞬时速度为0，然后开始向下运动。但重力并没有停止作用，所以它的加速度还是a= -g= -9.80m/s2。 y与t的关系图v与t的关系图2-8变加速运动，积分计算（自学） 瞬时加速度对等式的两边同时积分根据已知条件，若a=常数类似的瞬时速度本章小结1. 运动学是描述物体是如何运动的学科。描述