线代试卷及答案

1、主考教师：线性代数教学组 卷）一、选择题（每小题 5 分，共 20 分）1 设 为n 阶方阵且 A 0，则 （）A（） 矩阵 必有两行（列）的元素对应成比例。A（） 矩阵 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。A（C） 矩阵 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。A（） 矩阵 中至少有一行（列）的元素全为零。A2 设 是mn矩阵， 是n 的秩为 B AC的秩为r ）ACAr1（） r r 。 （） r r 。 （C） r r 。 （） r与r 的关系依 而定。C11113设x ,x 是非齐次线性方程组 的两个不同解，则也是方程组 的解是（ Ax bAx b12x 2

2、x（） x x 。 （） x x 。 （C）。 （） 2x x 。2121212214若三阶矩阵 A的特征值为 2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵 A 的特征值为（）*（） 12, 8, 4（） 12, 8, 6（C） 8, 6, 3（） 6, 3, 2。 5 分，共 20 分）1 2 1 21设 0 1 t t ，且线性方程组 0的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参AAx10 1t数t等于。2设 = ，2，1) ， = ，3，4) ， = (3，4，3) 是 R R 的向量TTT33123= (1, 1, 1) 关于这组基的坐标为。T1 23将写成初等矩阵的乘积是。3 44. 若二次型

3、 f (x ,x ,x ) 2x x x 2x x ax x 是正定的，则 a 的取值范围212223123122 3是。1 60 分）1（8 分）假设矩阵 和 满足关系式A B 2 ，求矩阵 。其中 A BB4 2 3A 1 1 01 2 32 1 1 1 1 2 210 1,k,1 是矩阵A 1 2 1 的值。Tkx x x 0135 x x 3.（12）求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。24x x x 125x x x 0145410 分）设 为二阶方阵，有二个不同的特征值 , ，对应特征向量依次为 , ，A1212令 , 证明：, 线性无关。12515 分）求正交变换x ，把二

4、次型 f (x ,x ,x ) x x x 4x x 4x x222231231132 3化为标准形。 n65 分）齐次线性方程组Ax0，其中A a且a i n 1,2, , ,ijnj1证明：矩阵A第一行元素的代数余子式相等。25 ) Ar2x x。） r 6121 51 1( ,0, )2 2, 1., Tt1 0 1 0 1 21 0 1 1 1 0 , 或 3 1 0 2 0 13 1 0 1 0 2 2 a 2, 则a A2B (A2E)B A知8解 22 2 31 4 31(A2E) 1 1 0 1 5 31- 41 2 11 6 41 4 3 4 2 33 8 6 B(A2E)A

5、 1 5 3 1 1 0 2 9 6 . 211 6 4 1 2 32 9解 设 1 -1=A =A 212 1 1 1 3k 1 2 1 2 2 .k k即k 11 1 2 13k 2 1k k. 3k 1 1, ,12 4或 2.k k1 1 8 是k解 31 0 1 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 0 0 1 0 1 01 1 0 0 1 0 0 1 1 01 0 0 1 1 0 0 0 0 0Ax x x 0, x x x,114x x 0,54x x,5即2x x 0,42x x,43434因R(A) 32 1,0,0,0,1.TT12,1,1,1,1,0T将1211,2

6、1,1 113 1 1 1T1,0,0,0,1 1,1,1,1,0 , , , ,1TT故 44 4 4 42211 1 1 1, , , ,0 ,2 2 2 2T11123 1 1 1 2, , , ,2 7 2 7 2 7 2 7 7T22Ai , A则AAA3ii12121122k,kk kA 0, 11212即kk2k k1k k1011211222 11222, 12k k0012 1k k12 2110，-1221故 k =k=01241 0 2 0 1 2解 A。 1.2 2 1 1 02 0 12 3 1 3 0 A A E22 1 3, 1, 3. 6故 A1233）A12 0 2 1 0 1 111 TE A 0 2 2 0 1 1 , , = 1 12 T33312 2 40 0 0） A120 0 2 1 1 0 1 1T E A 0 0 2 0 0 1 ,0 = , =2 2T2222 0 0 02 2 2 3） A34 0 2 2 0 1 112 T A 0 4 2 0 2 1 , E= , =2 3T36661 0 0