高等数学第六版下期知识点超详细

1、第八章向量与剖析几何向量代数两点间的距离公式：AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作a或aaxiayjazk(ax,ay,az)ABaxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模记作aaax2ay2az2和差单位向量方向余弦点乘（数量积）叉乘（向量积）cabcabcaba0a，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，则方向余弦分别为cos，cos，cosababcos，为向量a与b的夹角cabsin为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直cabaxbx,ayb

2、y,az(ax,ay,az)eaa2a2a2xyzcosax，cosay，cosaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21abaxbxaybyazbzijkabaxayazbxbybz定理与公式bzaza垂直平行交角余弦投影abab0abaxbxaybyazbz0a/bab0a/baxayazbxbybz两向量夹角余弦axbxaybyazbzabcoscosax2ay2az2bx2by2bz2ab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzabprjbabxbybzprjbaacos(ab)222b-2-/10曲面、空间曲线与其方程1、曲面与其方程:F(x,y,z)=

3、0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线尔后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线联合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常有的曲面与其方程并会作2、旋转曲面：yoz面上曲线C:f(y,z)0，绕y轴旋转一周：f(y,x2z2)0绕z轴旋转一周：f(x2y2,z)01、柱面：F(x,y)x2、二次曲面:椭圆锥面：ax2y2旋转椭球面：a2a2x2y2双叶双曲面：a2b2x2双曲抛物面（马鞍面）：a2x2y2双曲柱面：a2b2空间曲线与其方程:F(x,y,z)F(x,y)0表示母线平行于z轴，准线为z02y2z2椭球面：x2

4、y22222babz21单叶双曲面：x2y2c2a2b2z21椭圆抛物面：x2y2c2a2b2y2z椭圆柱面：x2y2b2a2b21抛物柱面：x2ayxx(t)00的柱面z21c2z21c2z1一般方程：参数方程：yy(t)G(x,y,z)0zz(t)xacostF(x,y,z)如螺旋线：yasint空间曲线在坐标面上的投影G(x,y,z)zbtH(x,y)0线在面xoy上的投影z00，消去z，获得曲0-3-/10曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁平面方程与直线方程平面直线法向量nA,B,C点M0(x0,y0,z0)方向向量Tm,n,p点M0(x0,y0,z0)方程名称方程形

5、式与特点方程名称方程形式与特点一般式AxByCzD0一般式A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20点法式A(xx0)B(yy0)C(zz0)0点向式xx0yy0zz0mnpxx1yy1zz1xx0mt三点式x2x1y2y1z2z10参数式yy0ntx3x1y3y1z3z1zz0pt截距式xyz两点式xx0yy0zz01x1x0y1y0z1z0abc面面垂直A1A2B1B2C1C20线线垂直m1m2n1n2p1p20面面平行A1B1C1线线平行m1n1p1A2B2C2m2n2p2线面垂直ABC线面平行AmBnCp0mnp点面距离面面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0AxByCz

6、D10AxByCzD20Ax0By0Cz0DdD1D2dA2B2C2B2C2A2面面夹角线线夹角线面夹角n1A1,B1,C1n2A2,B2,C2s1m1,n1,p1s2m2,n2,p2sm,n,pnA,B,C|A1A2B1B2C1C2|cosm1m2n1n2p1p2sinAmBnCpcosB12C12A22B22C22A2B2C2m2n2p2A12m12n12p12m22n22p22第九章多元函数微分法与其应用（一）基本见解距离，邻域，点，外点，界线点，聚点，开集，闭集，连通集，地区，闭地区，有界集，无界集。1、多元函数：zf(x,y)，图形：2、极限：limf(x,y)A(x,y)(x0,y

7、0)3、连续：limf(x,y)f(x0,y0)(x,y)(x0,y0)4、偏导数：fx(x0,y0)limf(x0 x,y0)f(x0,y0)xx0-4-/10f(x0,y0y)f(x0,y0)fy(x0,y0)limyy05、方导游数：6、梯度：zffflcoscosxyf(x,y)，则gradf(x0,y0)其中,为l的方向角。fx(x0,y0)ify(x0,y0)j。7、全微分：设zf(x,y)，则dzzdxzdyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等见解之间的关系：12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件42定义3函数连续2、闭地区上连续函数的性质（有界性

8、定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法例zvy若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则zzuzvzzuzvxuxvx，yuyvy3）隐函数求导：两边求偏导，尔后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数zf(x,y)的极值fx0解方程组fy0求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令Afxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，若ACB20，A0，函数有极小值，若ACB20，A0，函数有极大值；-5-/10若ACB20，函数没有极值；若ACB20，不定。2）条件极值：求函数zf(x,y)在条件(x,y

9、)0下的极值令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函数Lx0解方程组Ly0(x,y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx(t)曲线:yy(t)，则上一点M(x,y,z)（对应参数为t0）处的000zz(t)xx0yy0zz0切线方程为：x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程为：x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)02）曲面的切平面与法线曲面:F(x,y,z)0，则上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 xx0yy0zz0法线方程为：Fx(

10、x,y,z)Fy(x0,y,z)F(x0,y,z)00000z00 x(t)，切“线”方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)y(t)，切向量空z(t)，T(t0),(t0),(t0)法平“面”方程：间(t)(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0曲线切“线”方程：xx0yy0zz0：1(x0)(x0)y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0-6-/10F(x,y,z)0空间曲面：zf(x,y)法向量(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)n(fx(x0,y0),f

11、y(x0,y0),1)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第十章重积分重积分积分种类计算方法典型例题（1）利用直角坐标系X型f(x,y)dxdyb2(x)f(x,y)dydx1(x)DaP141例1、例3Y型

12、f(x,y)dxdyd2(y)f(x,y)dxdy1(y)Dc二重积分（2）利用极坐标系Ifx,ydD使用原则(1)积分地区的界线曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；平面薄片的质(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),为实数)量质量=面密度面积P147例5f(cos,sin)ddD2(),sin)ddf(cos1()02023）利用积分地区的对称性与被积函数的奇偶性当D对于y轴对称时，（对于x轴对称时，有近似结论）P141例2应用该性质更方便-7-/100f(x,y)对于即f(x,y)I2f(x,y)dxdyf(x,y)对于x是奇函数，(x,y)x是偶函数，1即f(x,y

13、)f(x,y)D1是D的右半部分计算步骤与注意事项1画出积分地区2选择坐标系标准：域界线应尽量多为坐标轴，被积函数对于坐标变量易分别3确定积分序次原则：积分地区别块少，累次积分好算为妙4确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5计算要简易注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分If(x,y,z)dv投影法(1)利用直角坐标截面法投影f(x,y,z)dVby2(x)z2(x,y)dxdyf(x,y,z)dzay1(x)z1(x,y)xrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标变换成极坐标合用围:1积分地区表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体P159例1P160例2有

14、先一后二和先二后一之分P161例32变量易分别.如f(x22)f(x22)被积函数用柱面坐标表示时yzf(x,y,z)dVbdr2()cos,sin,z)ddzf(空间立体物的ar1()质量xcosrsincos（3）利用球面坐标ysinrsinsin质量=密度zrcos面积dvr2sindrddP16510-(1)合用围:积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.12变量易分别.如，f(x2y2z2)被积函数用球面坐标表示时222(,)sincos,sinsin,cos)2sindIdd1(f(11,)（4）利用积分地区的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分-8-/1

15、0积分种类第一类曲线积分If(x,y)dsL曲形构件的质量质量=线密度弧长曲线积分与曲面积分计算方法典型例题参数法（转变为定积分）（1）L:y(x)If(t),(t)2(t)2(t)dt（x(t)(t2f(x,y(x)1y2(x)dx）L:)IP189-例1by(t)aP1903平面第二类曲线积分IPdxQdyL变力沿曲线所做的功（3）rr()(xr()cos)L:r()sinyIf(r()cos,r()sin)r2()r2()d1）参数法（转变为定积分）x(t)L:(t单一地从到)y(t)PdxQdyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL2）利用格林公式（转变为二重积分）条件：L

16、关闭，分段圆滑，有向（左手法例围成平面地区D）P，Q拥有一阶连续偏导数结论：PdxQdy(QP)dxdyLxyD知足条件直策应用应用：有瑕点，挖洞不是关闭曲线，增添辅助线（3）利用路径没关定理（特别路径法）等价条件：QPPdxQdy0 xyLQdy与路径没关，与起点、终点相关LPdxPdxQdy拥有原函数u(x,y)（特别路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL1）参数法（转变为定积分）P196-例1、例2、例3、例4P205例4P214-5(1)(4)P211-例5、例6、例7空间第二类曲线积分IPdxQdyRdzL变力沿曲线所做的功Pd

17、xQdyRdzP(t),(t),(t)(t)Q(t),(t),(t)(t)R(t),(t),(t)(t)dtP240-例12）利用斯托克斯公式（转变第二类曲面积分）条件：L关闭，分段圆滑，有向P，Q，R拥有一阶连续偏导数结论：-9-/10第一类曲面积分If(x,y,z)dv曲面薄片的质量质量=面密度面积第二类曲面积分PdxQdyRdzL(RQ)dydz(PR)dzdx(Qp)dxdyyzzxxy知足条件直策应用应用：不是关闭曲线，增添辅助线投影法zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)1zx2zy2dxdyDxy近似的还有投影到yoz面和zox面的公式（1）投

18、影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos0P217-例1、例2P226-例2QdxdyQ(x,y,z(x,y)dxdy3DyzIPdydzQdzdxRdxdy：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法例取定的侧条件：关闭，分片圆滑，是所围空间闭地区的外侧流体流向曲面一侧的流P，Q，R拥有一阶连续偏导数量

19、结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyz知足条件直策应用应用：不是关闭曲面，增添辅助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS变换投影法：dydz(z)dxdydzdx(z)dxdyxy所有种类的积分：1定义：四步法切割、代替、求和、取极限；2性质：对积分的围拥有可加性，拥有线性性；3对坐标的积分，积分地区对称与被积函数的奇偶性。P231-例1、例2P228-例3-10-/10第十二章级数一般项级数常交叉数级数项级数正项级数收敛性无幂和穷级函级数数数展成幂级数T2傅T2l立叶级数周期延拓若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛1两个收敛级数的和差仍收敛2用收敛定义，limsn存在注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性3若级数收敛