“泛函分析”课程学习指南

1、PAGE PAGE 3“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert空间的几何特征。算子理论中主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach定理，这是本门课程的核心内容。算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。为了让学生更

2、好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。绪论1. 知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景 2. 重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。3. 学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。第一章 距离空间1. 知识要点距离空间的定义； 收敛性； 开集； 闭集； 连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2. 重点难点一些具体的距离空间（如： ）的完备性，可分性及收敛的具体含义。3. 学习要求(1) 掌握距离空间的定义及

3、例；(2) 掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3) 清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4) 掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。第二章 赋范空间1. 知识要点赋范空间和Banach空间的定义；范数与距离的关系；Riesz引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2. 重点难点(1) 范数与距离的关系；(2) Riesz引理的内容与应用。3. 学习要求(1) 掌握赋范空间的定义和典型例子；(2) 能够证明一些具体空间是赋范空间及它的完备性；(3) 准确掌握Riesz引理的背景，内容和应用；(4) 掌握有限维空间的几何特征；(5) 了

4、解赋范空间中的级数和商空间的含义。第三章 内积空间1. 知识要点内积空间的定义；内积与范数的关系；Hilbert空间；正交与正交补集；严格凸；最佳逼近定理；正交分解定理；Fourier级数及其收敛性；Bessel 不等式；正交基；正交列的完备性；可分的Hilbert 空间2. 重点难点(1) 正交分解定理的内容及应用；(2) 正交列的完备性。3. 学习要求(1) 准确掌握内积空间的定义及典型例子；(2) 掌握正交补集的概念，并能求出具体空间下某些集合的正交补集；(3) 准确掌握正交分解定理，并会利用正交分解定理解决问题；(4) 掌握Fourier级数的收敛性；(5) 准确掌握正交列的完备性的四

5、个充要条件。第四章 有界线性算子1. 知识要点有界线性算子和有界线性泛函的定义；有界线性算子空间；有界线性算子按算子的范数收敛；强收敛；有界线性算子空间的完备性；Baire纲定理；一致有界原则；开映射定理；逆算子定理；闭算子的定义；闭图像定理2. 重点难点(1) 计算具体有界线性算子的范数；(2) 一致有界原则的内容及应用；(3) 开映射定理的内容及应用；(4) 闭算子和有界（连续）算子的联系和区别；(5) 闭图像定理的内容。3. 学习要求(1) 掌握有界线性算子和有界线性泛函的定义；(2) 能够计算具体的有界线性算子的范数；(3) 准确了解线性算子按范数收敛和强收敛的联系和区别；(4) 准确

6、把握Baire纲定理的内容；(5) 准确掌握一致有界原则，并能熟练应用；(6) 准确掌握开映射定理的内容，清楚定理证明的思想；(7) 掌握逆算子定理的内容，并能用开映射定理证明逆算子定理；(8) 掌握闭算子的定义及其充要条件；(9) 掌握闭图像定理的内容，清楚定理证明的思路。第五章 共轭空间和共轭算子1. 知识要点Hahn-Bacach定理；共轭空间；Riesz表示定理；Hilbert空间的共轭空间；Hilbert空间的共轭算子；有界自共轭算子的定义；自共轭算子的性质；Banach空间的共轭算子；自反性；弱收敛2. 重点难点(1) 用Riesz表示定理推导Hilbert空间的共轭空间；(2)

7、计算具体算子的共轭算子。3. 学习要求(1) 会应用Hahn-Banach定理及其推论；(2) 准确掌握Riesz表示定理的内容；(3) 准确掌握Hilbert空间的共轭空间是它本身；(4) 能够计算具体有界线性算子的共轭算子；(5) 熟练掌握自共轭算子的性质；(6) 了解Banach空间的共轭算子，自反性和弱收敛的定义。第六章 线性算子的谱理论1. 知识要点线性算子谱点和正则点的定义；特征值和特征元素；闭线性算子的正则点；有界线性算子的谱集的性质；有界线性算子的谱半径；有界自共轭线性算子谱集的性质；紧线性算子的定义和例；紧线性算子谱集的性质；Fredholm抉择定理2. 重点难点(1) 自共轭线性算子谱集的性质及谱分布；(2) 紧线性算子的特征值，剩余谱和连续谱的性质。3. 学习要求(1) 掌握线性算子谱点