2018年数学2考研真题和答案解析详解

1、.绝密启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二科目代码302考生注意事项1.答题前,考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下,粘贴在答题卡试卷条形码粘贴位置框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的,责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填书写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔

2、填涂。5.考试结束后,将答题卡和试题册按规定一并交回,不可带出考场。考生姓名：考生编号：2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1若函数在处连续,则 2设二阶可导函数满足且,则 3设数列收敛,则 当时,当时,当时,当时,4微分方程的特解可设为A BC D5设具有一阶偏导数,且对任意的,都有,则A B C D6甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10单位：m处,图中实线表示甲的速度曲线单位：,虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3

3、,计时开始后乙追上甲的时刻记为单位：s,则 A B C D7设为三阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则 AB C D8设矩阵,则 A BC D二、填空题：914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. 曲线的斜渐近线方程为_ 设函数由参数方程确定,则_ _ 设函数具有一阶连续偏导数,且,则1314设矩阵的一个特征向量为,则三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15本题满分10分求极限16本题满分10分设函数具有2阶连续偏导数,求,17本题满分10分求18本题满分10分已知函数由方程确定,求的极值19本题满分10分设函

4、数在区间上具有2阶导数,且,证明：方程在区间内至少存在一个实根；方程在区间内至少存在两个不同实根。20本题满分11分已知平面区域计算二重积分。21本题满分11分设是区间内的可导函数,且,点是曲线L: 上任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点,法线与x轴相交于点,若,求L上点的坐标满足的方程。22本题满分11分设3阶矩阵有3个不同的特征值,且。证明：若,求方程组的通解。23本题满分11分设二次型在正交变换下的标准型,求的值及一个正交矩阵.参考答案1.答案A解析在处连续选A.2.答案B解析为偶函数时满足题设条件,此时,排除C,D.取满足条件,则,选B.3.答案D解析特值法：A取,有,A错；取,排

5、除B,C.所以选D.4.答案A解析特征方程为：故特解为：选C.5.答案C解析是关于的单调递增函数,是关于的单调递减函数,所以有,故答案选D.6.答案B解析从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲,则,当时满足,故选C.7.答案 B解析,因此B正确。8.答案B解析由可知A的特征值为2,2,1,因为,A可相似对角化,即由可知B特征值为2,2,1.因为,B不可相似对角化,显然C可相似对角化,但B不相似于C.9.答案解析10.答案解析11.答案1解析12.答案解析故,因此,即,再由,可得13.答案.解析交换积分次序：14.答案-1解析设,由题设知,故故.15.答案解析,令,则有16.答案解析结论：

6、17.答案解析18.解析两边求导得： 1令得对1式两边关于x求导得 2将代入原题给的等式中,得,将代入2得将代入2得故为极大值点,；为极小值点,19.解析I二阶导数,解：1由于,根据极限的保号性得有,即进而又由于二阶可导,所以在上必连续那么在上连续,由根据零点定理得：至少存在一点,使,即得证II由1可知,令,则由罗尔定理,则,对在分别使用罗尔定理：且,使得,即在至少有两个不同实根。得证。20.解析21.解析设的切线为,令得,法线,令得。由得,即。令,则,按照齐次微分方程的解法不难解出,22.解析I证明：由可得,即线性相关,因此,即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为II由1,知,即的基础解系只有1个解向量,由可得,则的基础解系为,又,即,则的一个特解为,综上,的通解为23. 解析,其中由于经正交变换后,得到的标准形为,