参考 图像变换课件

1、图像变换引言 傅立叶变换及其性质 快速傅立叶变换简介正交变换其他变换 引言图像变换的意义便于对图像进行分析通过对图像进行傅立叶变换，分析不同目标结构的频谱成分进行目标特征提取，图像匹配和图像识别便于对图像进行处理在频率域中的一些简单操作可以代替空间域中的复杂操作，从而简化处理过程，提高运算效率引言图像变换的意义剔除多个波段图像数据之间的相关性，减小存储容量，提高各种大数据量图像传输的效率。图像变换是数字图像处理基础理论的重要组成部分，是图像复原、图像增强、图像编码、图像匹配和图像识别的重要数学基础。引言图像变换是图像处理过程中的一个过渡手段，要求任何形式的图像变换均可逆。经典的图像变换方法有：

2、傅立叶变换余弦变换沃尔什变换哈达玛变换K-L变换用傅里叶变换将鸟笼滤掉 傅立叶变换及其性质 将图像灰度值形成的空间域与其频率域联系起来，起到了一种桥梁的作用。（空间域和频率域来回切换）对频谱图像中的各种频率成分进行有针对性的分析和处理，可实现图像的滤波处理。傅立叶变换及其性质 一维连续傅立叶变换一维傅立叶变换性质一维离散傅立叶变换二维傅立叶变换二维傅立叶变换的性质 一维连续傅立叶变换一维傅立叶逆变换定义为： 正、反傅立叶变换的唯一区别是幂的符号 正变换一维连续傅立叶变换傅立叶积分定理指出： 也就是说变换是可逆的，即 一维连续傅立叶变换函数f(x)和函数F(u)被称作一个傅立叶变换对，用符号表示

3、：对于任一个函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是唯一的，反之亦然。一维连续傅立叶变换在复平面极坐标系中可表示为:其中：(f(x)振幅谱或傅立叶谱 )(f(x)的相位谱 )一维傅立叶变换性质傅立叶变换建立了原函数f(x)与频谱函数F(u)之间的基本关系。它具备一些基本性质。 位移性共轭性线性叠加性对称性比例性面积性 微分性 积分性 一维傅立叶变换性质位移性证明如下令 则有 以及 一维傅立叶变换性质共轭性 若则共轭性证明如下：一维傅立叶变换性质在频谱面上对称点的值是共轭的。在计算实函数的频谱函数时，只要计算出频谱函数的一半，则可利用对称共轭性，导出另一半 。对于实函数来说，它的频谱函数的共轭函数的

4、傅立叶变换就是实函数本身。利用这种共轭性，在实际运算中可以调用同一傅立叶变换程序进行逆变换运算。 一维傅立叶变换性质线性叠加性 即两个函数的傅立叶变换或逆变换等于它们各自变换之和。 若则一维傅立叶变换性质对称性 即傅立叶变换的奇偶性与原函数的奇偶性相同。 则，且若，且一维傅立叶变换性质比例性（又称定标性） 若原函数伸展a倍，则傅立叶变换函数坐标收缩a倍，振幅也变换1/|a|倍。 若有常数a，且有则一维离散傅立叶变换将连续函数f(x)用N个互相间隔为x的采样方法进行离散化，可形成一个离散序列：并规定： 且取x = 0，1，2，N-1，上述序列可表示为： 一维离散傅立叶变换经采样后离散序列的离散傅

5、立叶变换对为：式中u =0,1,2,N-1,是与x相对应的 二维傅立叶变换NN数字图像二维离散傅立叶变换表示为： 逆变换为：离散傅立叶变换函数f(x,y)的傅立叶变换是f(x,y)积分的函数，因此计算每一个傅立叶变换值，原函数f(x,y)的每一个点都需要参予。二维傅立叶变换F(u,v)表示图像函数f(x,y)的频谱。其中u,v表示图像平面的x方向和y方向的空间频率。空间频率的值域叫做图像的频率域。图像傅立叶变换对，建立了图像空间位置函数与空间频谱函数之间转换关系。利用这种关系，可以对图像进行频谱分析和处理。 二维傅立叶变换变换平移后，低频集中在中心位置，高频分散离散傅立叶变换的显示经过变换以后

6、，中心部分为低频成分，四周为高频成分二维傅立叶变换性质二维傅立叶变换除具备一维傅立叶变换的线性迭加性、对称性、比例性、位移性、共轭性等性质外，还具备：可分性 旋转性 二维傅立叶变换性质可分性 若有 则有 二维函数的傅立叶变换（或逆变换），可以通过相应的两次一维傅立叶变换（或逆变换）来实现。 快速傅立叶变换离散傅立叶变换公式为： 具有可分性和周期性快速傅立叶变换将上式用矩阵表示为： 每一频率分量，需N次复数乘和（N-1）次加运算。N点需N2次复数乘和N(N-1）次复数法。1965年，库利-图基提出了快速DFT(FFT)算法。 FFT 基本思想 充分利用复指数正交函数系的可分性和周期性，把原始的N

7、点序列，依次分解成一系列短序列，然后求出这些短序列的DFT，以此来减少乘法运算。 二维傅立叶变换算法 利用可分性，二维DFT变换可以先让x保持不变，对y实行N点FFT变换，得到F(x,v)；然后对F(x,v)转置，进行M点的FFT变换，再转置，从而得到F(u,v)。二维DFT可以调用一维FFT子程序完成。 交叉图形及其FFT幅值谱图像 圆形及其FFT幅值谱图像矩形旋转图像及其FFT变换幅值谱图像矩形及其FFT幅值谱图像不同图形及其FFT变换幅值谱图像对比正交变换为什么要对图像进行正交变换？图像中所包含的数据，相关性很强，直接处理难度和冗余度都很大。必须通过采取必要的手段来消除相关性，使各像元的

8、数据间或各个波段的数据间相对独立。正交变换运算比较简单，数学描述容易，可进行正变换和逆变换。正交变换傅立叶变换的实质-把代表图像的图像函数展开成具有不同空间频率的正、余弦函数的线性组合，或者说用正、余弦正交函数系来描述图像函数。除傅立叶变换是正交变换外，还有很多种正交变换方法，如Walsh变换、Hadamard变换和K-L变换等正交变换。沃尔什和哈达玛变换 图像变换的基函数形式除正弦型函数外，还有一些其他波形。沃尔什和哈达玛变换，其基函数就是基于方波的。沃尔什和哈达玛变换的实质都是基于沃尔什函数的，只是同一种方波的变形。将它们结合起来称为沃尔什哈达玛变换。 沃尔什和哈达玛变换 若用矩阵形式，可

9、表示为： 正变换 逆变换 沃尔什哈达玛正反变换的公式形式是相同的，采用一个程序就可以完成。当输入图像矩阵时，就得到正变换结果，而当输入变换结果时就得到反变换结果。 沃尔什和哈达玛变换 对称的、可分离的正交变换，它的核矩阵中只有1和1元素。在图像处理中，矩阵的阶数N一般取为N=2n，其中n是整数。22核矩阵为： 沃尔什和哈达玛变换 对于N2的情况，其核矩阵可以通过块矩阵的形式递推产生： 沃尔什和哈达玛变换 对于N8，其核矩阵为： 沃尔什和哈达玛变换 通过重新安排各行的次序来使得列率按行号递增，与傅立叶变换核的频率递增类似。当N8时，有序的变换核矩阵为： 沃尔什和哈达玛变换 对于均匀分布 的数字图

10、像 由于图像是44矩阵，则n2，N4，变换核矩阵为： 沃尔什和哈达玛变换 二维沃尔什哈达玛变换为： 具有能量集中的性质，原始图像数据越是均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上。应用二维沃尔什哈达玛变换可以压缩图像信息。 沃尔什和哈达玛变换 将一个函数变换成取值为+1或-1的基本函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号时要比傅立叶变换有利。在图像传输、通信技术和数据压缩中获得了广泛的使用。此变换是实数变换，对一个给定的问题，这种变换所要求的计算机存储量比傅立叶变换要少，运算速度也快。 离散K-L变换 离散K-L变换-霍特林变换（Hotelling）、特征向量变换或主成分变换。K-L变换以图像统计性质为基础。 主要特征：通过选择代表图像特征的主分