2023-2023年全国高中数学联赛试题及答案

1、2023年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空共8小题，每题7分，共56分假设函数且，那么，故直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，那么点横坐标范围为设，那么圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得解得在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，那么和的公共

2、面积是函数由题意知使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为设显然单调递减，那么由的最大值，可得椭圆上任意两点，假设，那么乘积的最小值为设，由，在椭圆上，有 得于是当时，到达最小值假设方程仅有一个实根，那么的取值范围是或当且仅当对由求根公式得， 或()当时，由得所以，同为负根又由知所以原方程有一个解()当时，原方程有一个解()当时，由得所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上可得或为所求一个由假设干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，那么最后一行的数是可以用指数表示易知：()该数表共有100行；()每一行

3、构成一个等差数列，且公差依次为，()为所求 设第行的第一个数为，那么故某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，那么它候车时间的数学期望为精确到分27旅客候车的分布列为候车时间分1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题本小题总分值14分设直线其中，为整数与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，假设存在，指出这样的直线有多少条？假设不存在，请说明理由由消去化简整理得设，那么 4分由消去化简整理得设，那么 8分因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和得因是整数，所以的值为，

4、当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条14分本小题15分，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式用，表示；()假设，求的前项和方法一：()由韦达定理知，又，所以，整理得令，那么所以是公比为的等比数列数列的首项为：所以，即所以当时，变为整理得，所以，数列成公差为的等差数列，其首项为所以于是数列的通项公式为；5分当时，整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为10分()假设，那么，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以15分方法二：()由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为，当时，通项由，得

5、解得故 5分当时，通项由，得 解得，故10分()同方法一本小题总分值15分求函数的最大和最小值函数的定义域为.因为当时等号成立故的最小值为5分又由柯西不等式得所以 10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得故当时等号成立因此的最大值为15分2023年全国高中数学联赛一试一、填空题每题8分，共64分，函数的值域是.函数的最小值为，那么实数的取值范围是.双曲线的右半支与直线围成的区域内部不含边界整点纵横坐标均为整数的点的个数是.是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，那么.函数 在区间上的最大值为8，那么它在这个区间上的最小值是.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗

6、，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否那么轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,那么.方程满足的正整数解x,y,z的个数是.二、解答题此题总分值56分9.16分函数，当时，试求的最大值.10.20分抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.11.20分证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 .解答1. 提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2. 提示：令，那么原函数化为，即.由， 及 知 即 . 1当时1总成立；对；对.从而可知 .3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑轴

7、上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，那么线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4. 提示 ：设的公差为的公比为，那么 1，21代入2得，求得.从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立.从而 ，求得，.5. 提示：令那么原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，所以.综上在上的最小值为.6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7. 提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，那么，从而，.设分别与平面、平面垂直的向

8、量是、，那么由此可设 ，所以，即.所以 .解法二：如图，.设与交于点 那么 .从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,那么为二面角的平面角.设,那么易求得.在直角中，,即 .又 .8. 336675 提示：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：1均相等的正整数解的个数显然为1；2中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设两两均不相等的正整数解为.易知 ，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.9. 解法一：由 得. 所以，所以.又易知当为常数满足题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，那么当时，.设 ，那么.容易知道当时，. 从而当时， ， 即，从而,，由知.

9、又易知当为常数满足题设条件，所以最大值为.10.解法一：设线段的中点为，那么 ，.线段的垂直平分线的方程是. 1易知是1的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由1知直线的方程为，即. 22代入得，即.3依题意，是方程3的两个实根，且，所以,. 定点到线段的距离.当且仅当，即,或时等号成立. 所以，面积的最大值为.解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 设，那么的绝对值, ,所以, 当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是.11.令，那么，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根. 所以 ，.故数列是满足题设要求的数列.假设存在两个不同的正整

10、数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的. 不妨设，那么，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2023年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷考试时间：2011年10月16日8：009：20一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分.把答案填在横线上1设集合，假设中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，那么集合2函数的值域为3设为正实数，那么4如果，那么的取值范围是5现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，那么满足上述要求的不同安排方案数为用数字作答6在四面体中，那么四面体的外接球的半径为7直线与抛物

11、线交于两点，为抛物线上的一点，那么点的坐标为8C，那么数列中整数项的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤9本小题总分值16分设函数，实数满足，求的值10本小题总分值20分数列满足：R且，N1求数列的通项公式；2假设，试比拟与的大小yxOPAB11本小题总分值20分作斜率为的直线与椭圆：交于两点如下图，且在直线的左上方yxOPAB1证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；2假设，求的面积2023年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共小题，每题分，共分把答案填在题中的横线上设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别

12、为，那么的值是解:方法1:设那么直线的方程为即由又所以故设的内角的对边分别为，且满足，那么的值是.解:由题设及余弦定理得,即故.设，那么的最大值是.解:不妨设那么因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故4.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，那么的最大值是.解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球假设正三棱锥的侧面与底面所成的角为，那么正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是解:如图.连结,那么平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,那么为的中点,且,易知分别

13、为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,那么,从而,因为所以即所以,故6.设是定义在上的奇函数，且当时，假设对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是解:由题设知,那么因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是满足的所有正整数的和是解:由正弦函数的凸性,有当时,由此得所以故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第周使用种密码，那么第周也使用种密码的概率是用最简分数表示解:用表示第周用种密码的概率,那么第周末用种密码的概率为.于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故二、解答题：本大题共小题，共分解容许写出文字说明、推理过程或演算步骤本小题总分值分函数假设对任意，都有，求的取值范围；假设，且存在，使得，求的取值范围解:(1)令那么分对任意,恒成立的充要条件是分(2)因为所以所以分因此于是,存在,使得的充要条件是故的取值范围是分本小题总分值分数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有当时，求所有满足条件的三项组成的数列;是否存在满足条件的无穷数列，使得假设存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；假设不存在，说明理由解:(1)当时, ,由得.当时,由得或5分当时,假设得或;假设得;综上,满足