2023学年北京市首都师大附中九年级数学第一学期期末联考模拟试题含解析

1、2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一

2、并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1如图，在ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )A4B5C5.5D62如图，PA、PB是O切线，A、B为切点，点C在O上,且ACB55，则APB等于( )A55B70C110D1253如图,在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ）ABCD4将二次函数yax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a（ ）A1BCD5如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），若点的横坐标的最小值为0，则点的横坐标最大值为（ ）A6B7C8D96二次函数

3、的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）ABCD7己知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A1B1或2C1D08如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）A-3B-2C-1D09如图，在中，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）ABCD10已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）A相离B相切C相交D无法确定11如图，AD是O的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交O于点C，连结BC交AD于点E，若DE3，BC8，则O的半径长为（ ）AB5CD12如图，在中，垂足为点，如果，那么的长是（ ）A4

4、B6CD二、填空题（每题4分，共24分）13如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM2，则线段ON的长为_14如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点在边上，则的值为_ 15如果反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为_16袋子中有10个除颜色外完全相同的小球在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀重复上述过程1500次后，共到红球300次，由此可以估计袋子中的红球个数是_17如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则ABC的正切值为_18如图，已知正六边形内接于，若正

5、六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为_.三、解答题（共78分）19（8分）如图，A为反比例函数y（其中x0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB1连接OA、AB，且OAAB2（1）求k的值；（2）过点B作BCOB，交反比例函数y（x0）的图象于点C连接AC，求ABC的面积；在图上连接OC交AB于点D，求的值20（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）若方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）若ABC是正三角形，试求这个一元二次方程的根21（8分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交

6、的延长线于点，过点作的切线，交于点（1）求证：；（2）填空：当的度数为 时，四边形为正方形；若，则四边形的最大面积是 22（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB16，点D与点A关于y轴对称，tanACB，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且CEFACB（1）求AC的长和点D的坐标；（2）求证：；（3）当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标23（10分）如图，已知一次函数y1ax+b的图象与x轴、y轴分别交于点D、C，与反比例函数y2的图象交于A、B两点，且点A的坐标是（1，3）、点B的坐标是（3，m）（1）求一次函

7、数与反比例函数的解析式；（2）求C、D两点的坐标，并求AOB的面积；（3）根据图象直接写出：当x在什么取值范围时，y1y2？24（10分）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12至24的桌面有利于学生保持躯体自然姿势根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，（1）如图2，当时，求支撑臂的长；（2）如图3，当时，求的长（结果保留根号）（参考数据：，）25（12分）如图，抛物线与直线恰好交于坐标轴上A、B两点，C为直线AB上方抛物线上一动点，过点C作CDAB于D （1）求抛物线的解析式；（2）线段CD的长度是否存在

8、最大值？若存在，请求出线段CD长度的最大值，并写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由26已知关于x的一元二次方程（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.【详解】点D是BC的中点，点E是AC的中点，DE是ABC的中位线，AB=2DE=6，故选：D.【点睛】此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.2、B【分析】根据圆

9、周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得AOB110，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解【详解】解：连接OA，OB，PA，PB是O的切线，PAOA，PBOB，ACB55，AOB110，APB360909011070故选B【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出AOB的度数3、D【分析】延长交网格于，连接，得直角三角形ACD，由勾股定理得出、，由三角函数定义即可得出答案【详解】解：延长交网格于，连接，如图所示：则，的正切值；故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键4、

10、D【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决【详解】解：二次函数yax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为ya（x3）22，当y0时，ax26ax+9a20，设方程ax26ax+9a20的两个根为x1，x2，则x1+x26，x1x2，平移后的函数截x轴所得的线段长为4，|x1x2|4，（x1x2）216，（x1+x2）24x1x216，36416，解得，a，故选：D【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.5、B【分析】根据待定系数法求得顶点是A时的解析式，进而即可求

11、得顶点是B时的解析式，然后求得与x轴的交点即可求得【详解】解：点C的横坐标的最小值为0，此时抛物线的顶点为A，设此时抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，代入（0，0）得，a+1=0，a=-1，此时抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，抛物线的顶点在线段AB上运动，当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，抛物线从A移动到B后的解析式为y=-（x-5）2+4，令y=0，则0=-（x-5）2+4，解得x=1或3，点D的横坐标最大值为1故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，明确顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，是解题的关键6、D【分析】根据抛物线的

12、图像，判断出的符号，从而确定一次函数、反比例函数的图像的位置即可【详解】解：由抛物线的图像可知：横坐标为1的点，即在第四象限，因此；双曲线的图像分布在二、四象限；由于抛物线开口向上，对称轴为直线，；抛物线与轴有两个交点，；直线经过一、二、四象限；故选：【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数以及反比例函数的图象与解析式的系数关系，熟练掌握函数解析式的系数对图像的影响，是解题的关键7、C【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即把x=2代入方程求解可得m的值【详解】把x=2代入方程(m2)x2+4xm2=0得到(m2)+4m2=0，解得：m=2或m=2m

13、20，m=2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是理解一元二次方程解的定义，属于基础题型8、B【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可【详解】 解得 k的最大整数值是-2故选：B【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键9、A【分析】设PQ与AC交于点O，作于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2【详解】设与AC交于点O，作于，如图所示：在RtABC中，BAC=90，ACB=45，四边形PAQC是平行四边形，ACB=45，当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，PQ的最小值故选：A【点睛】本题考

14、查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键10、C【解析】试题分析：半径r=5，圆心到直线的距离d=3，53，即rd，直线和圆相交，故选C【考点】直线与圆的位置关系11、A【分析】由作法得，根据圆周角定理得到ADBABE，再根据垂径定理的推论得到ADBC，BECEBC4，于是可判断RtABERtBDE，然后利用相似比求出AE，从而得到圆的直径和半径【详解】解：由作法得ACAB，ADBABE，AB为直径，ADBC，BECEBC4，BEABED90，而BDEABE，RtABERtBDE，BE：DEAE：BE，即4：3AE：4，AE，ADAE+

15、DE+3，O的半径长为故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系也考查了圆周角定理12、C【分析】证明ADCCDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC【详解】ACB=90，ACD+BCD=90，CDAB，A+ACD=90，A=BCD，又ADC=CDB，ADCCDB， ，即，解得，CD=6，解得，BD=4，BC=，故选：C【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形

16、的判定定理和性质定理是解题的关键二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】作MHAC于H，如图，根据正方形的性质得MAH45，则AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH，CO，然后证明CONCHM，再利用相似三角形的性质可计算出ON的长【详解】解：作MHAC于H，如图，四边形ABCD为正方形，MAH45，AMH为等腰直角三角形，AHMHAM2，CM平分ACB，MHAC，MBBCBMMH，AB2+，ACAB2+2，OCAC+1，CHACAH2+22+，BDAC，ONMH，CONCHM，即，ON1故答案为：1【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性

17、质及相似三角形的性质是解题的关键14、【分析】先证明AHECBA，得到HE与AH的倍数关系，则可知GF与AG的倍数关系，从而求解tanGAF的值【详解】四边形是正方形，AHE=ABC=90，HAE=BCA，AHECBA，即，设，则A，故答案为：【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形、矩形的性质、解直角三角形利用参数求解是解答本题的关键15、【分析】根据题意把点代入，反比例函数的解析式即可求出k值进而得出答案.【详解】解：设反比例函数的解析式为：，把点代入得，所以该反比例函数的解析式为：.故答案为：.【点睛】本题考查反比例函数的解析式，根据题意将点代入并求出k值是解题的关键.16、2

18、【分析】设袋子中红球有x个，求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个【详解】设袋子中红球有x个，根据题意，得：，解得：x2，所以袋中红球有2个，故答案为2【点睛】此题考查概率公式的应用，解题关键在于求出摸到红球的频率17、1【解析】根据勾股定理求出ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出ACB90，再解直角三角形求出即可【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，由勾股定理得：AB232+1210，BC222+125，AC222+125AC2+BC2AB2，ACBC，即ACB90，ABC45tanABC=1【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出

19、ACB90是解此题的关键.18、【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明CDABDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点正六边形内接于,BOA=AOC=60,OA=OB=OC=4,BOC=120，ODBC,BD=CDOCB=OBC=30,OD= ,CDA=BDO,CDABDO,SCDA=SBDO,图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：.故答案为：.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）k12；（2）3；【

20、分析】(1)过点A作AHx轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；(2)由三角形面积公式可求解；由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AMBC可得出ADMBDC，利用相似三角形的性质即可求出的值【详解】(1)过点A作AHx轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示OA=AB，AHOB，点A的坐标为(2，6)A为反比例函数图象上的一点，；(2)BCx轴，OB=1，点C在反比例函数上，AHOB

21、，AHBC，点A到BC的距离=BH=2，SABC；BCx轴，OB=1，点C在反比例函数上，AHBC，OH=BH，MH=BC=，AMBC，ADMBDC，【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，利用图象上点的坐标特征及相似三角形的性质是解题的关键20、（1）直角三角形；（2）x1=-1，x2=0【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根得出=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解解：（1）ABC是直角三角形，理由是：关于x的一元二次方程（a+c

22、）x22bx+（ac）=0有两个相等的实数根，=0，即（2b）24（a+c）（ac）=0，a2=b2+c2，ABC是直角三角形；（2）ABC是等边三角形，a=b=c，方程（a+c）x22bx+（ac）=0可整理为2ax22ax=0，x2x=0，解得：x1=0，x2=1考点：根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理21、（1）证明见解析；（2）；1【分析】(1)根据已知条件得到CE是的切线根据切线的性质得到DF=CF,由圆周角定理得到ADC=10，于是得到结论;(2)连接OD,根据圆周角定理和正方形的判定定理即可得到结论;根据圆周角定理得到ADC=ABC=10，根据勾股定理得到 根据三角形

23、的面积公式即可得到结论【详解】（1）证明：是的直径，是的切线又是的切线，且交于点，是的直径，(2)解:当ACD的度数为45时，四边形ODFC为正方形;理由:连接OD,AC为的直径,ADC=10,ACD=45 ,DAC=45,DOC=10 ,DOC=ODF=OCF=10, OD=OC,四边形ODFC为正方形;故答案为：45四边形ABCD的最大面积是1 ,理由: AC为的直径,ADC=ABC=10,AD=4，DC=2 ,要使四边形ABCD的面积最大，则ABC的面积最大,当ABC是等腰直角三角形时，ABC的面积最大，四边形ABCD的最大面积：故答案为：1【点睛】本题以圆为载体，考查了圆的切线的性质、

24、平行线的判定、平行四边形的性质、直角三角形全等的判定和45角的直角三角形的性质，涉及的知识点多，熟练掌握相关知识是解题的关键22、（1）AC=20，D（12，0）；（2）见解析；（3）（8，0）或(，0)【分析】（1）在RtABC中，利用三角函数和勾股定理即可求出BC、AC的长度，从而得到A点坐标，由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；（2）欲证，只需证明AEF与DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可在AEF与DCE中，易知CAOCDE，再利用三角形的外角性质证得AEFDCE，问题即得解决；（3）当EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：当CEEF时，此时AEF与DCE相似比

25、为1，则有AECD，即可求出E点坐标；当EFFC时，利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识易求得CE，再利用（2）题的结论即可求出AE的长，进而可求出E点坐标；当CECF时，可得E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在【详解】解：（1）四边形ABCO为矩形，B=90，AB16，tanACB，解得：BC12=AO，AC20，A点坐标为（12，0），点D与点A关于y轴对称，D（12，0）；（2）点D与点A关于y轴对称，CAOCDE，CEFACB，ACBCAO，CDECEF，又AECAEF+CEFCDE+DCE，AEFDCE，AEFDCE；（3）当EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当

26、CEEF时，AEFDCE，AEFDCE，AECD20，OEAEOA20128，E（8，0）；当EFFC时，如图1所示，过点F作FMCE于M，则点M为CE中点，CE2ME2EFcosCEF2EFcosACBAEFDCE，即：，解得：AE，OEAEOA，E(，0)当CECF时，则有CFECEF，CEFACBCAO，CFECAO，即此时F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾所以此种情况的点E不存在，综上，当EFC为等腰三角形时，点E的坐标是（8，0）或(，0)【点睛】本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的外角性质以及解直角三角形

27、等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键难点在于第（3）问，当EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解.23、（1）y1，y1x+4；（1）4；（3）当 x 满足 1x3 、x2时，则 y1y1【分析】（1）把点A（1，3）代入y1，求出k，得到反比例函数的解析式；再把B（3，m）代入反比例函数的解析式，求出m，得到点B的坐标，把A、B两点的坐标代入y1=ax+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（1）把x=2代入一次函数解析式，求出y1=4，得到C点的坐标，把y1=2代入一次函数解析式，求出x=4，得到D点坐标，再根据SAOB=SAOD-SBOD，列式计算即可

28、；（3）找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可【详解】解：（1）把点A（1，3）代入y1，则3，即k3，故反比例函数的解析式为：y1把点B的坐标是（3，m）代入y1，得：m1，点B的坐标是（3，1）把A（1，3），B（3，1）代入y1ax+b，得，解得，故一次函数的解析式为：y1x+4； （1）令x2，则y14；令y12，则x4，C（2，4）， D（4，2），SAOBSAODSBOD43414； （3）由图像可知x2、1x3时，一次函数落在反比例函数图象上方，故满足y1y1条件的自变量的取值范围： 1x3 、x2【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中利用了数形结合思想24、（1）12cm；（2）12+6或126【分析】（1）利用锐角三角函数关系得出，进而求出CD即可；（2）利用锐角三角函数关系得出，再由勾股定理求出DE、AE的值，即可求出