《大学物理》第30章 衍射与偏振2018

1、衍射和偏振第三十章开篇问题由于衍射的存在，光学显微镜的最大有效放大倍率如何计算?光学显微镜可以显示的最小物体的尺寸是多少?1819年，奥古斯丁菲涅尔(1788-1827)，提交给法国科学院一份有关光的波动理论的研究报告,该报告预言并解释了干涉和衍射效应。随后，西蒙泊松(1781-1840)根据菲涅耳的波动理论提出了一个有悖于直觉的推断，如果光从一个点光源照射到圆盘上，一部分入射光将会在圆盘边缘发生衍射，并在圆盘阴影中心产生一个亮斑。弗朗索瓦阿拉戈进行试验，他果然在阴影的中心看到了亮斑。这是对波动理论的有力证据。如果光是波，单色点光源照射圆盘后会在阴影中心形成一个亮斑下图是用单色点光源（如激光）

2、照射物体时拍到的阴影照片。 (a)硬币 (b)刀片 (c)单缝请注意:阴影的中心的小亮斑以及阴影外围明暗相间的条纹。30-1单缝或圆盘衍射如图（a）所示，一束单色平行光径直通过宽度为a的狭缝（a与波长为同一数量级），由于各光线相位相同，所以在屏幕上出现中央明纹。 30-1单缝或圆盘衍射图（b）所示为一束单色平行光以衍射角（我们将衍射后沿某一方向传播的子波波线与平面衍射屏法线间的夹角称为衍射角），这时通过狭缝上边缘的光线比通过狭缝下边缘的光线在到达屏幕时正好多出一个波长。在这个角度下，对应的屏幕上将会发生什么？图中出现的dark泄露了天机。每条通过狭缝下半部的光线(比如光线1和光线2)都将会和通

3、过狭缝上半部相应的光线1和光线2)干涉相消。1122想想为什么？图中单缝处的波阵面被分割成两个半波带。这个衍射角下屏幕上将会出现暗纹。1122由图中可见：考虑更大衍射角图中单缝处的波阵面被分割成三个半波带111请猜猜看：这个衍射角下屏幕上将会出现明纹还是暗纹？为什么？图中单缝处的波阵面被分割成三个半波带通过单缝上边缘处的光线比通过下边缘处的光线多经过了3/2的波程。来自单缝下部1/3区域的光线与那些来自中间1/3区域的光线相差半个波长，所以会发生干涉相消(比如光线1与光线1相消)。然而，通过单缝上部1/3区域的光(比如光1)仍然会到达屏幕，所以衍射角满足 时，会有一条明纹出现。但该明纹没有=0

4、时的明纹那么明亮。111更大衍射角下请问：此时单缝处的波阵面被分割成几个半波带？此时屏幕上出现的是明纹还是暗纹？综上所述，可以归纳得到什么结论呢？产生明、暗条纹的条件又是什么呢？奇数个半波带偶数个半波带最小强度(强度为零)都产生在 m=0时，对应一个光强最大值。在光强极小值之间存在相对较强的光强，这些光强出现在单缝衍射强度sin从图中可以看到：中央极大值不仅比其他的极大值光强要大，而且与其对应的中央明纹的宽度( )是其他明纹宽度( )的两倍。例题 30-1 单缝衍射极大值波长为750nm的光通过一条宽度为0.001mm的单缝。在距离单缝20cm处的屏幕上中央明纹有多宽？(a)用角度表示。(b)

5、用厘米表示。分析： 中央明纹的宽度可以用中央明纹一侧的第一极小值（第一级暗纹中心）到另一侧第一极小值（第一级暗纹中心）的距离表示。解答 ：(a)第一级暗纹出现在也就是=49处。这个角是单缝中心到中央明纹中心的连线与单缝中心到第一级暗纹中心的连线所成的夹角。而中央明纹所对的张角是它的两倍，即98（如图所示）注意：穿过单缝的光会在屏幕上形成一条很宽的明纹，但是由于通过单缝的总光量很少，而且光要分布在一个很大的区域，所以亮度并不会很强。还要注意：由于这里的值很大，所以不能使用小角度近似( 比如： )。(b)中央明纹的宽度为2x，所以有 练习A 在例题30-1中使用的是红光(波长750nm)。如果改用

6、 575nm的黄光，那么，中央明纹是变宽还是变窄？概念理解 例 30-2 ：衍射传播 光透过竖直边比水平边短的矩形孔。(a)预测在竖直或水平方向上，衍射图案在哪 个方向更分散？(b)安装在体育场的矩形扬声器的形状应该是 高而窄还是短而宽？解答： (a)由式可知，如果使单缝宽度a变窄，衍射图将向单缝两侧扩展。所以矩形孔的衍射在竖直方向将更明显。(b)对于扬声器而言，需要最大范围地将声音水平传出，所以喇叭的形状应该是高而窄（即将上图旋转900）。透镜的分辨率：透镜对彼此紧邻的两个物点成像的可分 辨能力。 30-4圆孔孔径大小对分辨率的影响如果透镜能分辨的两个物点的像（不是重叠的像斑）靠得越近，则透

7、镜的分辨率越高。限制透镜分辨率的因素主要有两个：一是透镜的像差，二是衍射的存在。30-4圆孔孔径大小对分辨率的影响如果两个物点非常接近，则它们的衍射图案会重叠，如右下图所示。单个物点的衍射图案两个物点的衍射图案左图所示为经圆孔衍射后形成的光强分布。由于每个人的感官都不同，对于分辨衍射图案中的两个像点，每个人会有不同的判定。那么统一的标准是什么呢？爱里斑瑞利判据： 当一个爱里斑的中心与另一个爱里斑的第一级暗环重合时，刚好能分辨出两个像。假如上图中两个物点满足这样的张角，即则图中的两个物点被认为是恰好可以分辩的。例题30-5 哈勃太空望远镜口径达2.4m的哈勃太空望远镜（HTS）是一种送入地球大气

8、层外轨道的反射式望远镜，因此它的分辨率不会受大气湍流的影响。对于可见光，取波长为550nm。计算哈勃太空望远镜的分辨率，并与地面望远镜比较。地面望远镜的分辨率上限约为半弧秒。(1=3600弧秒)。分辨率提高近十倍！地面望远镜的分辨率上限约为半弧秒，即哈勃太空望远镜的分辨率为哈勃太空望远镜例题30-6 眼睛的分辨率假如你在10000米高空的飞机上往下看地面，请估计一下你能分辨的地面物体间的最小间距s。你能看清停车场内车辆的数量吗？只考虑衍射，并假设你瞳孔的直径约3.0mm，光波长为550nm。分析： 我们使用瑞利判据来估计。物体的最小间距s=l ， 此处 l=10000m, 的单位为弧度。解答:

9、 已知D=3.0mm，这样，眼睛可以分辨的最小间距为：因此你恰好能分辨出宽约2米、长为3-4米的汽车。显然，你能看清停车场内车辆的数量。大量等间隔的平行狭缝称为衍射光栅。30-7 衍射光栅这样产生出的衍射会在一个非常宽的范围内，并可能与来自其他狭缝的衍射光发生干涉。通过每个狭缝并且方向没有偏折( = 0)的光经过相长干涉后，会在屏幕的中央产生一条明纹。来自相邻狭缝且光程差l=m的光线发生相长干涉，此时假设：1.经过光栅的入射光为平行光 2. 狭缝足够窄式中的d（见上图）为相邻狭缝之间的距离。衍射光栅特性比较双缝干涉与多缝干涉的不同之处：其最明亮的区域宽度其最明亮的区域相对亮度光栅的狭缝数量越多

10、，明纹越窄越清晰，所以光栅作为一种精确的检测装置，常用于光波长的测量。双缝六缝*缺级如果的某些值满足光栅的如下明纹条件同时的这些值又满足单缝衍射的暗纹条件则有， 由于单缝衍射的影响，在衍射光栅应该出现明纹的地方，不再出现明纹，称为缺级。缺级如果 ，则当N = 1时， , 即衍射光栅中央明纹两侧的第4级明纹缺失。因此，当 时，4,8缺级。光栅光谱 如果通过衍射光栅的光不是单色光，而是由两种或更多种波长的光组成，则除了m=0即零级光谱外，每个波长的光都会在不同的角度产生极大值。 如果白光穿过一个光栅，中央极大值(m=0)将会是一个清晰的白色亮纹，但对其它衍射级，会有光谱出现。白光例题30-8 衍射

11、光栅：光栅条纹波长为400nm和700nm的光穿过每厘米10000条刻线的光栅，计算第一级和第二级主极大的衍射角。解：光栅刻线密度为 条/厘米= 条/米，也就意味着光栅常量为 对于第一级明纹(m=1)，衍射角为对于第二级明纹(m=2)，衍射角为所以 ，400=53.1o。对于700nm的光，第二级衍射条纹和更高级衍射条纹不会出现，因为 的值不会超过1！例题30-9 光谱重叠 包含400nm到750nm波长的白光穿过每厘米4000条刻线的光栅。证明第三级光谱中波长为450nm的蓝光与第二级光谱中波长为700nm的红光重叠。分析：利用式 计算第三级光谱中的蓝光主极大和第二级光谱中红光主极大出现的衍

12、射角。解法 ：光栅常量为 第三级光谱中蓝光的衍射角由下式得出：第二级光谱中的红光出现在：这个角更大一些，因此第二级光谱重叠于第三级光谱的起始处。d反射光栅d透射光栅光栅种类光盘就是一个典型的例子当你看一张光盘的表面时，你会看到彩虹的颜色。概念例题 30-10：看一张音乐CD光盘的表面时，你会看到彩虹的颜色。(a)估算弯曲刻线的间距(它们由激光读取)；(b)假设CD最多存储80分钟的音乐，光盘以每分钟200到500转的转速被读取。刻线位于6cm半径的内2/3区域，估计刻线的间距。答：(a)光盘就像一个反射式衍射光栅。为了满足式（30-13）我们可以估计刻线的间距为一个或几个(二或三个)波长（50

13、0nm），或者说0.5到1.5 um。(b)由平均转速350转/分得80分钟内的总转数为28000转或者说28000条刻线，分布在(2/3)(6cm)=4cm的区域内。因此我们得到一种反射式光栅，其有(28000条)/(4厘米)=7000条/厘米的刻线密度。刻线的间距约为1cm/7000(a)和(b)的结果是一致的。30-8 分光仪和光谱学分光仪定义：一种利用衍射光栅（或棱镜）将一束光分为不同波长的多束光，从而精确测量波长的仪器。其中m是表示谱线级数（整数）；d是光栅常量。利用式（30-13）可以精确地得到光的波长：分光仪的应用分光仪的一个重要用途是分辨原子或分子。加热气体或者有电流穿过气体时

14、，气体会发射出一种特征线状光谱。只有处于高温、低压和低密度状态的气体才会呈现线状光谱。而加热的固体（比如灯泡的灯丝）或者高密度气态物体（比如太阳）将会产生连续光谱。例题30-11 氢光谱 在装有衍射光栅的分光镜中观察炽热的氢气所发出的谱线。光栅常量 d为 。最靠近中心(00)的谱线是衍射角为 的紫色谱线， 的蓝色谱线， 的蓝绿谱线和 的红色谱线。氢气中这些谱线的波长各为多少？解： 因为这些是最靠近中心 处的谱线，所以它们是第一级光谱(m=1)。光栅常量 紫光的波长为：其它波长分别为：蓝色： 蓝绿色： 红色： 注意 在未知的混合气体中，需要观察这四种谱线来确定其中是 否含有氢气。光的一个重要特性

15、是其能发生偏振。为了说明偏振，我们以绳子上的一列波为例。图a是在绳子上传播的、沿竖直方向振动的横波，图b为沿水平方向振动的横波。不管哪种情形，我们称这些波是线偏振的或平面偏振的，也就是说这些波的振动只局限在一个平面内。 如果在波的传播方向上放置一个有竖直狭缝的障碍物（如右图所示），则只有沿竖直方向偏振的横波可以顺利通过，但水平方向偏振的横波却不能通过。30-11 偏振 光的偏振光并不一定是偏振的，它也有可能是非偏振的，也就是波源同时在多个平面内振动，太阳发出的光就是非偏振光。35-11 偏振非偏振光中电场的振动矢量。太阳光偏振光（线偏振光）中电场的振动矢量偏振：光矢量（电场强度矢量）始终沿某一

16、方向振动。 偏振片 使非偏振光通过特定的晶体（如电气石）可以获得偏振光。或者更多情况下，我们通过偏振片（1929年，偏振材料由Edwin Land发明）获得偏振光。偏振片由彼此平行的复杂长链分子排列而成。这样的偏振片类似于一系列平行的狭缝，它允许某一方向偏振的光近乎无衰减地通过。这个方向叫做偏振片的偏振化方向。而垂直于这个方向的光几乎被完全吸收。偏振化方向为竖直的偏振片仅允许入射波（电场）的竖直分量通过通过偏振片的（线）偏振光的强度为：马吕斯定律偏振化方向为竖直的偏振片仅允许入射波（电场）的竖直分量通过其中I0为入射偏振光的强度， 为偏振片的偏振化方向与入射光偏振平面的夹角（见上图）。非偏振光

17、由沿随机方向振动的光组成。每个偏振方向都可以分解为两个互相垂直的方向。通常，一束非偏振光可以看作是由两束等量且互相垂直的偏振光合成的。当非偏振光穿过偏振器时，一部分光被消除，因此，透射光的强度会减小一半， 即当两个偏振片正交（它们的偏振化方向互相垂直）时会怎样？非偏振光可以被完全阻挡例30-13两个偏振片成600夹角非偏振光穿过两个偏振片，一个偏振片的偏振化方向为竖直方向，另一个的偏振化方向与竖直方向成600夹角，描述透射光的偏振方向和强度。分析：第一个偏振片吸收了一半的非偏振光，剩下的光是偏振光。这束偏振光通过第二个偏振片后，由式（30-21）知，其强度会继续减小，而且偏振方向也会沿着第二个

18、偏振片的偏振化方向。例30-13两个偏振片成600夹角非偏振光穿过两个偏振片，一个偏振片的偏振化方向为竖直方向，另一个的偏振化方向与竖直方向成600夹角，描述透射光的偏振方向和强度。解答：第一个偏振片吸收一半的光，因此强度减半： ，到达第二个偏振片时，光沿竖直方向振动。由式（30-21）得到 这样， ，透射光的强度变为原光强的八分之一，偏振平面与竖直方向成 夹角。另外一种由非偏振光获得偏振光的途径是反射。当光线以非垂直的任意角度照射到非金属表面时，反射光会优先在平行于表面的平面内形成偏振光。湖泊水面的反射光， 就是偏振方向平行于湖面的偏振光。反射光的偏振另外一种由非偏振光获得偏振光的途径是反射

19、。当光线以非垂直的任意角度照射到非金属表面时，反射光会优先在平行于表面的平面内形成偏振光。反射光的偏振反射光的偏振化程度取决于入射角。以任意入射角入射时一般难以产生偏振光，而以某个特定角度入射将产生100%偏振（完全偏振），这个角称为起偏角，记为p，这个角与界面两侧两种材料介质的折射率有以下关系：其中n1是入射光通过介质的折射率，n2是折射光通过介质的折射率，如果入射前通过的介质为空气，则n1=1，式（30-22a）变为：苏格兰科学家布鲁斯特（1781-1868）通过实验得到这个公式之后，起偏角p被命名为布儒斯特角，式（30-22）称为布儒斯特定律。入射角为布儒斯特角时，反射光和折射光呈900，也就是：斯涅尔折射定律所以n1n2小鱼看得更清楚了镜头加装偏振片前后例题30-15 起偏角(a)太阳光以什么角度入射到湖面可使反射光变成（线）偏振光？(b)折射角是多少？分析：光射向湖面的起偏角应该是式（30-22b）中的布儒斯特 角；