《概率论》课程PPT：二维随机变量及其分布

1、二维随机变量及其分布第三章 二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。 前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。 不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。 设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为上的一个二维随机

2、变量。定义二维随机变量二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数性质(3) (x,y)x1x2y1y2 P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1 X x2，y1 Y y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) 若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式 则称(X,Y)是二

3、元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度 定义联合概率密度函数的性质非负性几何解释.随机事件的概率=曲顶柱体的体积 设二维随机变量的概率密度为 (1) 确定常数 k； (2) 求的分布函数； . (4) 求例(1)所以 解 (2)当 时，当 时，所以，(3)4 1或解 (4)224例 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 求概率 解 1续解 .x+y=3 思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 求概率 2241解答 二维均匀分布设二维随机变量 的概率密度为 上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中 思考

4、 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2） 解 （X,Y）的密度函数为 y=2x+1 -1/2 （1）当 时，分布函数为 y=2x+1 -1/2 （2）当 时，y=2x+1 -1/2 （3）当 时，所以，所求的分布函数为 0.5y=2x+1 -1/2 二维连续型随机变量的边缘分布 关于X的边缘概率密度为 关于Y的边缘概率密度为 的边缘分布函数为 关于 的边缘分布函数为 关于 例2 设（X, Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由 得 当 时 关于X的边缘分布密度为 113113解所以，关于X的边缘分

5、布密度为 所以，关于Y的边缘分布密度为 当 时 当 时 当 时 关于Y的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算例3设（X, Y) 的联合分布密度为 （1）求k值(2) 求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y1/2)(2)均匀分布解 (1)由 得 当 时-11当 时 所以，关于X的边缘分布密度函数为 -11续解 . -11解 当 时当 时 所以，关于Y的边缘分布密度函数为 解 （3） 二维正态分布设二维随机变量 的概率密度为 其中均为参数 则称 服从参数为 的二维正态分布 如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布 则两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数 无关 可见，联合分布可以确定边缘

6、分布，但边缘分布不能确定联合分布例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为 求关于X，Y的边缘分布密度函数 解 关于X的分布密度函数为 所以， 同理可得 不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于 定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意i,j 对任意x,y 在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. 在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明例2 设（X，Y)的概率密度为求 (1) P（0X1 ，0Y1） (2) (X,Y)的边缘密度， （3）判断X、Y是否独立。解 设A=（x，y）：0 x1 ，0y1）11 边缘密度函数分别为当 时当 时所以， 同理可得 所以 X 与 Y 相互独立。例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。 解 （X,Y）的密度函数为 当 时，所以，关于X的边缘分布密度为 关于X的边缘分布密度为