高等数学(考研要点复习-上)

1、将从这二者开始。1、一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物 a 是集合 M 的一个元素，就记 a M（读 a属于 M a不是集合 M 的一个元素，就记aM 或 a（读 a不属于 Mi须有此性质。如：Axx5x 7x3；B x；C (x,y)点323N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4：集合间的基本关系：若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有x A，必有xB，就称 A为 B的子集，记为A B,或B A读 B包含

2、 A)。显然：N Z Q R.若A B,同时B A,就称 、B相等,记为 A=B。5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。6：不含任何元素的集称为空集,记为,如：xx2 1 xR =,x:2 1=,空集是x任何集合的子集,即 A。7：区间：所有大于 a、小于 b(a ) 的实数组成一个集合 ,称之为开区间 ,记为(a,b),即(a,b)=xa x 。 同理：a,b=xa x为闭区间， a,b xa x 和 a,b xa x分别称为左, ,( , ) ,( , ) 1在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用 I表示。8：邻域：设a和 为两个实数，且

3、0.集合x xa 称为点 a的 U(a, ),a为该邻域的中心， 为该邻域的半径，事实上， ( , )同理：我们称 ( ,) 0 为 a的去心 邻域，或 a的空心 邻域。U axx a2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注 1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变

4、量，二者必居其一。2：常量一般用a,b,c等字母表示，变量用等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x x(a,b)x二、函数的概念【例】正方形的边长 与面积S 之间的关系为：S x2，显然当 确定了，S 也就确定了。xx这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。定义：设 和 D为一个给定的数集，如果对每一个xD，按照一定的法则 f 变x y量 为 y f(x).数集D称为该函数的定y xyy当 取数值x D时，依法则 f 的对应值称为函数 y f(x)在x x 时的函数值。所有函数x00值组成的集合W y y f(x),x称

5、为函数y f(x)的值域。注 1：函数通常还可用 y g(xy F(xs ut)等表示。20【例 3】 y 2x【例 4】 f(x) 1的定义域为 (,) ， h(x) 的定义域为(0,) ，从而显然x3、若对每一个xD，只有唯一的一个 与之对应，就称函数 ( )为单值函数；若有不y f xy止一个 与之对应，就称为多值函数。如： 1等。以后若不特别声明，只讨yx2y2x2y24、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3 的法则是：当自变量 在上取值，其函数值x1为x2；当 取 0 时， f(x) ；当 在上取值时

6、，其函数值为1 xxx25、对D中任一固定的 ，依照法则有一个数 与之对应，以 为横坐标， 为纵坐标在坐标xyxy平面上就确定了一个点。当 取遍D中的每一数时，便得到一个点集C (,y)y f(x),x，x我们称之为函数 y f(x) 在D(x,y)的轨迹就是y f(x)的图x3f x0f(x) M ( )D注：1、若对xD，M ，使得 ( ) ( ( ) )，就称 ( )在D上有上下界。 ( )在Df x M f x M f x f x上有界 f(x)在D上同时有上界和下界。0，总x D，使得 f(x ) M 。D002、函数的单调性：设函数 f(x)在区间I 上有定义，若对x、x I ，当

7、x x 时总有：1212（1） f(x ) f(x )，就称 f(x)在I 上单调递增，特别当严格不等式 f(x ) f(x )成立时，1212（2） f(x ) f(x )，就称 f(x)在I 上单调递减，特别当严格不等式 f(x ) f(x )成立时，1212yx【例 10】 例 3中的函数在定义域上不是单调的，但在上是严格单减的，在上3、函数的奇偶性：设函数 f(x)的定义域D为对称于原点的数集，即若xD，有 xD，(1) 若对xD，有 f(x) f(x)恒成立，就称 f(x)为偶函数。(2) 若对xD，有 f(x) f(x)恒成立，就称 f(x)为奇函数。【例 】 y x ， cos

8、,y x ,是偶函数，y x ，y x， sgn ，是奇函数。2yx3yx23yln ( 1 2)是奇函数。xxy42、若 f(x)是奇函数，且0D，则必有 f(0) 0。3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性：设函数 ( )的定义域为 D ，如果 l 0 ，使得对 xD ，有 xlD ，且f xf(xl) f(x)恒成立，就称 f(x)为周期函数，l称为 f(x)的周期。【例 12】 y x,y x,y 分别为周期为,2,的周期函数， y xx为周期为 1的函数。注 1l为 f(x)ll,4l也都是 f(x)

9、例如：y sin xcos x 1，设有最小正周期。222：周期函数在一每个周期(akl,a(k l)（ 为任意数，k 为任意常数）上，有相同的形a设 f(x)的定义域为DW yW ，必xD，使得 f(x) y，这样的 可x能不止一个，若将 当作自变量， 当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x (y)，称yx2：由上讨论知，即使y f(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作3：在习惯上往往用 表示自变量， 表示因变量，因此将 x (y)中的 与 对换一下，xyxyy f(x)的反函数就变成 y (x)，事实上函数( )与 ( )是表示同一函数的，因为，y x x y表示

10、函数关系的字母 y f(x)的反函数为x (y)，那么 y (x)也是 y f(x)的反函数，且后者较常用；5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。5yb1,x y,x y 或分别为23313a形如 （为常数）的函数叫做幂函数。y x（3） 当为其它有理数时，要视情况而定。13121 的定义域为(0, )。2（4） 当为无理数时，规定其定义域为(0,) 取何值，图形总过（1，1）点，当0时，还过（0，0）点。二、 指数函数与对数函数1、 指数函数：形如y a (a a 的函数称为指数函数，其定义域为(,)，其图形总在xx（1） 当a 1时， y a 是单调增加的；x（2） 当0 a

11、 1时， y a 是单调减少的；x以后我们经常遇到这样一个指数函数 y e ,e的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，xxy62、对数函数：指数函数 y a 的反函数，记为y log x(a为常数， ,称为对数函数，aaxa其定义域为(0,)，由前面反函数的概念知：y a 的图形和y log x的图形是关于 对称xaay log x的图形总在 轴右方，且过（1，0）点ya（1） 当 1时， y log x单调递增，且在（0，1）为负，)上为正；aa（2） 当0 a 1 时，y log x单调递减，且在（0，1）为正，) 上为负；a正弦函数：y sinx余弦函数： y cosx正切函数：y

12、 x余切函数： y cotxx n 2正弦函数和余弦函数均为周期为2 的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为 的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割11yx，其图形在此不做讨论了。xx7将 y x限制在 , 上，得一单值函数，记为 y x，它就是所取主值函数，22x y x 限制在0,上，得 arccos 2 2将y x限制在0,上，得y arccotx从图中不难看出 和arctan x是单调递增的，arccos 和arccot x是单调递减的。xx四、 复合函数和初等函数设 y f(u)D u (x)D W W D xD ，122212由u

13、 (x)可算出函数值uW D ，所以uD ，由y f(u)又可算出其函数值 ，因此对于y211xD ，有确定的值 与之对应，从而得一个以 为自变量， 为因变量的函数，我们称之为yxy2以 y f(u)为外函数，u (x)为内函数复合成的复合函数，记为y f( (x，其中 为中间变u量。【例 1】 y sin x就是 y u 和u x复合而成；22y c o s222y u 和u 1x2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：y tan(lnx) 就是 y tanu,u v ,v lnx复合成的。2223：在函数复合中，未必都有 y f(u)、u (x)的形式，一般为 y f(x)和 y g(x

14、)，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有 y f(x)和y g(x)之分。2、初等函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数为初等函数。8x22x22xx反双曲正弦： y arshx ln(x x 1)2反双曲余弦： y archx ln(x x 1)2（多值函数 y ln(x x2 取“”号为主值）1 1 x反双曲正切： y x(来定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 x f(n), n ，由于全体自然数可以n从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：x ,x ,x ，这就是最常12n 见的数列表现形式了，有时也简

15、记为 x 或数列x nnn项x 称为一般项或通项。n【例 1】 书上用圆内接正 62 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列n1A12n【例 2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列：911223n1; ,( ,;n,;n都是数列，其通项分别为 ,( ,2n,n1。1nn注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将 x 依次在数轴上描出点的位置，我们n1 n n的； ( 的项是在 1 与1两点跳动的，不接近于某一常数；对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。 1nnn n nnnnn

16、11可以小于预先给定的无论多么小的正数 。例如，取 100n1即n1111 n 100 100nn即从第 10001 项开始，以后的项,x11n 100001 10000nn总存在一个正整数N ，当n N 时，有1 。这就充分体现了当 越来越大时，nnn10限接近 1 这一事实。这个数“1”称为当n时， n 定义：若对 0（不论 自然数 0，使得当 时都有 x a 成立，Nn这是就称常数 a是数列 x 的极限，或称数列 x 收敛于 a，记为 limx a，或 x annnn（ nn1证明：对 0，要使得nn11 n，所以1。nn注 1： 是衡量x 与 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。

17、然而，尽管 具有任意性，an 具有任意性，那么 ,2 , 等也具有任意性，它们222：N 是随 的变小而变大的，是 的函数，即N 是依赖于 的。在解题中，N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当n N 时，有 x a 就行了，而nn2a2n1naaa2222证明：对 0，因为1 nnn2a2nn2a2（此处不妨设a 0，若a 0，显然有lim1）nn2a2a21 ，只须nn2a2aa2.所以取N ，当n N 时，因为有n11n2a2n22nnn注 3：有时找 比较困难，这时我们可把 x a Nnn【例 3】 设 q 1，证明q,q ,q ,的极限为 0，即limq 0

18、。2证明：若 0，结论是显然的，现设0 q 1，对 0 越小越好，不妨设 1q要使得 q 0 ，即qn1n1lnlnqlnlnq0 q 1，所以q 0，所以n1取N 1，所以当n N 时，有 q 0 成立。n1定理 1 x 不能收敛于两个不同的极限。n证明：设 和b为x 的任意两个极限，下证a b。an由极限的定义，对 0，必分别自然数N ,N ，当n N 时，有 x a (1)121n当n N 时，有 x b (2)令N Max N ,N ，当n N 12）同时成立。212nab (x b)(x a) x b x a nnnn由于a,b均为常数 a b，所以x 的极限只能有一个。n注：本定理

19、的证明方法很多，书上的证明自己看。【例 4】证明数列x ( 是发散的。n1n1 x limx a ,自然数N ，当n N2nnn11 1 1，而x ，x 总是一个xa x a22 2n1nn1nnn12n1nn定理 2. （有界性）若数列x 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 x ，若 正数 ，对一切Mnn，有 x M 。nn证明：设limx a，由定义对 自然数 ,当n N 时， x a 1，所以当n N 时，Nnnnx x a a 1 a ，令M x , x x a，显然对一切n， x M 。nn12Nn注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列 x ( 是有界的（ x 1n1nn

20、数收敛。此点希望注意！由上节知，数列是自变量取自然数时的函数， x f(n)，因此，数列是函数的一种特性情n自变量 任意接近于有限值 x ，或讲趋向（于） x （记x x ）时，相应的函数x000二、当自变量 的绝对值 x 无限增大，或讲趋向无穷大（记 ）时，相应的函数值 f(x)xx一、0与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值x 时的函数极限可理解为：当x x 时， f(x) A00（Ax x 时， f(x)与A无限地接近，或说 f(x) A可任意小，亦即对于预先0任意给定的正整数 与x 充分接近时，可使得 f(x) A小于 。用数学的x0定义 1：如果对 0 0，使得对于适合不等式0 xx

21、 0的一切 所对应的函数值 f(x)满足： f(x) A ，就称常数A为函数 f(x)当x x 时x00n注 1 与x 充分接近”在定义中表现为： 0，有0 xx ，即xU(x , )。显然000越小， 与x 接近就越好，此 与数列极限中的 所起的作用是一样的，它也依赖于 。xN0一般地， 越小， 相应地也小一些。2：定义中0 xx 表示x x ，这说明当x x 时， ( )有无限与 f(x )在x 点（是否有）00000的定义无关（可以无定义，即使有定义，与 f(x )03：几何解释：对 0，作两条平行直线 y A,y A 。由定义，对此 , 0。当x x x ，且 x x 时，有 A f(

22、x) A 。即函数 y f x 的图000形夹在直线 y A,y A 之间（ f(x )xU(x , )00时， f(x)U(, )。从图中也可见 不唯一！【例1】 证明limC C （C为一常数）证明：对 0，可取任一正数 ，当0 xx 时， f x A CC ，0所以limC C。【例2】 证明lim(axb) ax b0000 x x ， 所以取 x x b b0显然当 时，有 ( )( ) 。0aa0022【例3】 证明lim2x1x212x1 2证明：对 0，因为a 所以 1 0.x2x x1 3 2x1 3 3(2x2此处x 1 x 1 为0 x1 10 x 2x 1。x0 x11

23、2x2 ,只须x3214x1 ，即 x1 3 。取 m（从图形中解释），当 0 x1 时，有3x22定理 1 lim f (x) A，xx0若 ，则 0，当xU(x ,)时， ( ) 0( ( ) 0)。f x f xAA0Ai）先证 A 0 的情形。取 ，由定义，对此, 0 ，当 xU(x ,) 时，20AAAf(x) A ，即0 A f(x) A 22222A当A 0时，取 ，同理得证。2（ii）(反证法)若A 0，由(i) f(x) 0 矛盾，所以A 0。当 f(x) 0时，类似可证。注：(i)中的“”不能改为“在(ii)中，若 f(x) 0，未必有A 0。在函数极限的定义中， 是既从x

24、 x x x x0000从大于x 的方向）趋于x 。但有时只能或需要 从x 的某一侧趋于x 的极限。如分段函数及在x0000定义 2：对 0， 0，当x x x 当x x x 时，有 f(x) A .这时0000就称A为 f(x)当x x 时的左右极限，记为 lim f (x) A或 f(x A。00 lim f (x) A或 f(x 0) A。0000【例 4】 lim sgn(x) lim sgn(x) 1，因为11，所以limsgn(x)不存在。1，求lim f (x)。x0解：显然 lim f (x) lim 11x00 x00 x00 x00 x00 x00 x0定义 3 ( )当

25、x a(a ( ) x X f(x) A ，f x X a就称A为 f(x)当 时的极限，记为lim f(x) A或 f(x) A（当 xxx注 1：设 ( ) 在 , 上有定义，若对 0 ，当 x X(xX) 时，有f xabXf(x) A ，就称 A 为 f(x)当 x (x ) 时的极限，记为 lim f (x) A，或xf(x) A（当x lim f (x) A，或 f(x) A（当xx2：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A。xxx3：若 lif(x) A ，就称 y A 为 y f(x) 的图形的水平渐近线（若 lim f (x) A 或xxlim f

26、 (x) Axx【例 6】 证明0。xxsinx 1 ，所以要使得11证明：对 0，因为xxxxx1故取 ，所以当 x X 时，有0。Xxxx若 f(x)当x x 或x f(x)为当x x 或x00有定义 1 若 0(X 0)0 xx (x X) f(x) f(x)0160 x002：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0任一常数不可能任意地小，除非是 0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数。【例1】 因为lim(2x4) 224 0，所以2x4当x 2时为无穷小；x2同理：0，所以当x时为无穷小，xxx而lim(2x4) 4 0，所以2x4当x 0时不是无穷小。x0定理 1：当自

27、变量在同一变化过程x x （或 ）中时：x0（iA为 f(x)的极限 f(x) A为无穷小。（iixx00定义 2：若对 0( 0)，使得当0 xx (x X)时，有 f(x) M ，就称 ( )f xMX0当x x (x )时的无穷大，记作:lim f (x) (lim f (x) )。0 x3：若lim f (x) 或lim f (x) ，按通常意义将， f(x)的极限不存在。x11x 022x01（i）若 f(x)为无穷大，则f(x)1为无穷大。17定理 1 0 ) 注 1：u与 都表示函数u(x)与 (x)，而不是常数。”下放没标自变量的变化过程，这说明对x x 及 均成立，但须同一过

28、程。xlim0定理 2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 有界，lim 0 0。uu x x u在x 的某邻域U(x , ) 0 xU(x , )M000101 u M 为当x x 0 0( )，01xx0 u u M 0MM所以limu 0，即 为无穷小；同理可证 时的情形。x推论 1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，lim 0 k 0。推论 2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设lim lim lim 0lim( ) 0。12n12n定 理 3 ： 若 l if( ,l g( B ， 则 f(x) g(x 存 在 ， 且f(x) g(x AB f(x)g(x)。证明： 只

29、证f(x) g(x AB，过程为x x ，对 0，当0 xx 0101有 ( ) ， 对 此 ， 0 ， 当 0 xx 时 ， 有 ( ) ， 取f x Ag x B22202 m i ，当0 时，有x x120(f(x) g(x(AB) (f(x) )(g(x)B) f(x) A g(x)B 所以lim(f (x) g(x) A B。xx0其它情况类似可证。2：在本定理中，设 f(x) ,g(x) g(x) )f(x) ) A A0，反之，若 f(x)A ，其中 0 f(x) A) A A，即证1.5 定理 1。3：若令 0，即证定理 1。A A f(x)g(x) f(x)g(x)。证明：因

30、为 ( ) , ( ) ，由1.5 定理 1（i） ( ) , ( ) ,f x A g x B f x A g x B（, 均为无穷小） ( ) ( ) ( ) f x g x( )，记ABB 2 的推论 1.2 及定理 1 A B cnnn证明：设 f(x) A,g(x) B（, 1其分子 为无穷小，分母B(B ) B 0，我们不难证明2A过程见书上）f(x) ABg(x) B定理 6：如果(x)(x)，且(x) a,(x) b，则a b。【例 1】lim(axb) lim ax limb a lim xb ax b 。019xxnnn0nn101n1na x a f(x )。0 0nn1

31、0010n1nP(x) PP x Q x00 xx0Q0【例 3】lim(x 5x10 1 511 3。22x1x33 3（因为05 03 0 x5x3x0注：若Q(x ) 0，则不能用推论 2 来求极限，需采用其它手段。02【例 5】求lim2x1解：当x 1时，分子、分母均趋于 0，因为x 1，约去公因子(x，x2limx2x1x113【例 6】求()。1x113解：当x ,x1 x3(xx1 (xx x x x1113x2，所以32213x2x x1 ( ( 1x1lim(322x1x2【例 7】求lim。x2x2x2 22 0，4x2x2x2由1.5 定理 2（ii）lim。x2x22

32、0【例 8】设a b ,n为自然数，则00a00nlim 01nb x b x bmx01m证明：当 时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6 定理 5，先变形：xaa1nn10 xxlim01nbmxx101mxa0 0000b012nn2n2n2n解：当 时，这是无穷多项相加，故不能用1.6 定理 3，先变形：n1n1 1原式 2 22n2n2n xnn【例 10】证明 x 为x的整数部分。x 证明：先考虑1x 1，因为 是有界函数，且当x时， 0，所以由x xxxxx1.6 定理 2 xxxxnnnnnn（ii）lim y limz annnn那么，数列x 的极限存在，且limx a。

33、nnn11nnnnn21a y a ，对 N ，当 n N 时，有 z a ，即 a z a ，又因为n22nnnnn12nnn即有：a x a ，即 x a ，所以nn（i）当xU(x ,r)(x M)时，有 ( ) ( ) ( )。0A0那么当x x (x )时， ( )的极限存在，且等于A。0作为准则 I的应用，下面将证明第一个重要极限：1。xx0 xx21211x x x，即 sin tan ，x22x11x（因为0 x ，所以上不等式不改变方向）2xxx21。xxxxx2x22242x22x0 xx0t【例 1】 1。tt tx t01。33113。xx0 xxsin21) 。122

34、222xx2x22准则：单调有界数列必有极限如 果 数 列 x 满 足 ： x x x ， 就 称 之 为 单 调 增 加 数 列 ； 若 满 足 ：n12n x xx12n如 果 M ， 使 得 ： x M(n ) ， 就 称 数 列 x 为 有 上 界 ； 若 M ， 使 得 ：nnnn准则：单调上升，且有上界的数列必有极限。1xx1xnn1an1对于b a 0，有不等式：即： a b (na nb(nb ，即：bann1n1nnn11, 1 b a 0(na n11(n 1将其代入，abn111n1nnn1nn11 (na n1(n ) 21111 2 ) 4 ) ，nn211x 4，

35、又对 2n1nn1由 准 则 或 知l i( ) 存 在 ， 并 使 用 e 来 表 示 ， 即nnx1nnx112x) ) enxnxn11xxxxex211xxx22222xxxxxx2211 zxxzezxx0z111111) ) ) ) e 1x11xxxexxxx21)111nn2eexxxnnCauchy 极限存在准则：数列 x 收敛 对 N，当 n N,mN时，有nnm1、8 无穷小的比较在1、6 中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：0a x0b xan0limx 0m n000m0可见对于 , 取不同数时， a x 与b x 趋于 0 的速度不

36、一样，为此有必要对无穷小进行比较或m nnm00 x(i) 若 0，就说 是比 高阶的无穷小，记为 o( )；(ii) 若 是比低阶的无穷小；(iii) 若 C 0 是比同阶的无穷小；(iv) 若 1，就说 与 是等价无穷小，记为 。 当 x 0时，x 是 x o(x) 是 x 的低阶无穷小；xxx22221x是同阶无穷小； 与 x是等价无穷小，即 x x。x注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即： ( ( )，但 ( ) ( )，因为 o)不x2o x x2o xo x o x3：等价无穷小具有传递性：即 , ；14：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当x 0时， 与 x2既非同阶，又

37、无高xx1xx26：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：25定理：若 ,均为 x 的同一变化过程中的无穷小，且 , ，及 ，那么2x0解：因为当 0时， 所以 。 xx222x0 x0【例3】 求x0解：因为当 0时，2 2 ，xxx22所以 原式 x2x07：在目前，常用当 x 0时，等价无穷小有：12一、定义 1：设 y f(x)在 x 的某邻域内有定义，若 lim f (x) f (x )，就称函数 y f(x)在 x 点处000注 1：f(x)在 x f(x)在 x 点有意义，lim f (x) lim f (x) f (x )，0002 ： 若 lim f (x) f (x

38、0) f (x) ， 就 称 f(x) 在 x 点 左 连 续 。 若00 xx 0lim f (x) f (x 0) f (x)，就称 f(x)在 x 点右连续。00 xx 03：如果 f(x)在区间 I 上的每一点处都连续，就称 f(x)在 I 上连续；并称 f(x)为 I 上的连续函数；若 I 包含端点，那么 f(x)在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。定义 1：设 y f(x)在 x 的某邻域内有定义，若对 0 ，当 xx 时，有00f(x)f(x ) ，就称 f0026先介绍增量：变量u由初值u 变到终值u ，终值u 与初值u 的差u u 称为u的增量，记为u ，1221

39、2112我 们 称 xx 为 自 变 量 x 在 x 点 的 增 量 ， 记 为 ， 即 x xx 或 x x x ；x0000 x x x 0相应函数值差， f(x)f(x )称为函数 f(x)在 x 点的增量，记为 y ，即0000000000定义 1：设 y f(x)在 x 的某邻域内有定义，若当 x 0时，有 y 0，即 lim y 0 ，或0limf (x x)f (x )0，就称 f(x)在 x 点连续。00000【例1】 多项式函数在(,)上是连续的；所以 lim f (x) f (x )，有理函数在分母不等于零0 xx0的点处是连续的，即在定义域内是连续的。【例 2】不难证明

40、y x,y x在(,)上是连续的。【例 3】证明 f(x)x 在 x 0点连续。证明：lim x lim (x) lim x lim x 0 f(0) 0 f(x)x 在 x 0点x0 x00 x0 x00或由前1.4 习题 5 知limx 0 f (0)，所以 f(x)x 在 x 0点连续。x0 2x2x解： lim y lim (x2) 02 2 ,lim y lim (x2) 02 2 ，因为 2 2 ，所以x00 x00 x00 x00该函数在 x 0点不连续，又因为 f(0) 2，所以为右连续函数。简单地说，若 f(x)在 x 点不连续，就称x 为 f(x)的间断点，或不连续点，为方

41、便起见，在000027（1） ( )在 xx 没有定义；000 x0n1，当 ( ) ，即极限不存在，所以 x0为 ( )的间断点。因为f x f xxx21 ，所以 0为无穷间断点。xx21【例 6】 y 在 x0点无定义，且当 x 0时，函数值在 1与 1之间无限次地振荡，而不x超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。x均为振荡间断点。1pxqqxx【例 7】 yxxf(0) 1，那么函数在 x0点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。【例 8】 例 4的函数在 x0点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于 f(0)的，这种间断点称为跳跃间断点。例如 sgn 在 x0处即为跳跃间

42、断点。yx0(2)lim f(x)震荡不存在， x 为震荡间断点；0(3)lim f(x) A f(x )， x 为可去间断点；00(4) lim f(x) lim f(x)， x 为跳跃间断点。000如果 f(x)在间断点 x 处的左右极限都存在，就称 x 为 f(x)的第一类间断点，显然它包含00一、g(x)0（要求 g(x ) 0）都在 x 连续。00定理 ( )在区间 I y f xx( )也在对应的区间 ( ), 上单值，单增（减） y ，且连续。xIyx注 1： y(x)亦为 yf(x)的反函数，如上知： y(x)在 I 上有上述性质。y定理 3u (x)当 x x 时的极限存在且

43、等于 (x) a yf(u)在 处连u aa0续 ， 那 么 ， 当 x x 时 ， 复 合 函 数 ( ( 的 极 限 存 在 ， 且 等 于 ( ) ， 即y f x f a0lim f( (x) f(a)。注 2：可类似讨论 时的情形。x定理 4：设函数u (x)在点 xx 连续，且 (x ) u ，函数 yf(u)在u 点连续，那么，复合00000注 3：定理 3、4 说明lim 与 f 的次序可交换。注 4：在定理 3 中代入 a u (x )，即得定理 4。001mmmq0,)上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数 yx（ ,p p,q 为正整p数）在定义上是连续的。xx01，及

44、 2u 在u 1点连续，故由定理 3，原式x我们已知道 yx,yx在其定义域内是连续的，由 1.10 定理 2 知 g x和可证明指数函数 ya (a a (,)xa（ 4 知：yx在(0,) 取有理数时，a见例 1，总之 yx在定义域内是连续的。综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理14，即得：结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。2：在1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。【例 3】lime2x) e2e 。11xxxxaxaxa2sincossinsinxsinaxaxa22x2xaxaxa2tta)a。tt定义

45、：设 f(x)在区间 I 上有定义,若x I ，使得对xI，有 f(x)f(x )(f(x)f(x )000就称 f(x )为 ( )在 x f xI00yx2：最点必在 内；I2： f(x)若在 I 上取得最大、最小值， f(x)未必连续， I 也未必为闭区间。反例 2： 0 xx0000至少存在一点 ，使得 f( ) 0，即 f(x)在(a,b)内至少有一个零点。注 1：本定理对判断零点的位置很有用处，但不能求出零点；2(a, f(a与b, f(b在 f(x)(a,b) 上, f(x)x31定理 4 f(x)在a,b上连续，且 f(a) fb)，那么，对于 f(a)与 fb)之间的任意常数

46、C，在( , )内至少存在一点，使得 ) ,( )。a b C afb注 1：若 f(x)在a,b上连续，且 f(a) fb)，则有：f(a fb f(a,b；fCm必 (a,b)，使得 f) C 。1【例 1】验证方程 4x2 有一根在0与 之间。x2f(0) 10111f( ) 4 2 2 2 0222121 )，使得 ( ) 0，即 4 2，f 21所以 方程 4x2 有一根在0与 之间。x2【例 2】证明方程 xasin xb，其中 a b 0，至少存在一个正根，并且它不超过 a b。证明：令 f(x) xaxb，显然， f(0) b0，又f(a b) a basin(a b)b si

47、n(a b0（i）若 f(a b) 0，即 a b是 f(x)的零点，亦即方程 xasin xb的根，此时得证；32（ii）若 f(a b) 0，必有 f(a b) 0，因为 f(x)在0,a b上是连续的，所以由零点定理，至少 )，使得 ( ) 0，即 为 xasin xb的根，所以此时也得证。了函数的变化情况，我们将陆续介绍倒数和微分的用途。1、 线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线 当Q沿该曲线无限地接近于 P 点的极限位置。设曲线方程为 yf(x) P 点的坐标为 p(x ,y )Q的坐标为Q(

48、x,y)00P 点的切线，只须求出 P 点切线的斜率 k。由上知， k恰好为割线 的斜率的极限。我们不难33f(x)f(x )求得；因此，当 时，其极限存在的话，其值就是 k ，即P Q00k lim。0 xx00k2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为 ( )（tt为t 时刻000为此，可取t 近邻的时刻t，t t ，也可取t t ，在由t 到t这一段时间内，质点的平均速0000st)st )st)st )度为,显然当 t与 t 越近，用代替 t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当00t tt t0000st)st )t t 时，某常值v ，那么v 必为t 点的瞬时速度，此时，0t

49、t00000st)st )v lim0t t0tt003、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题，设细杆分布在0,x上的质量 是 的函数m x0m(x)m(x )lim00 xx00f(x)f(x )综合上几个问题，它们均归纳为这一极限 lim0 xx00 xx00340定义：设 ( )在 x 点的某邻域内有定义，且当自变量在x 点有一增量 （ x x仍在该邻x000f(x)f(x )yx ，若增量比极限：limy00( )， y00 x x00f(x)f(x )0 x0 x0 xx0000f(x h)f(x )00hh0000hh0f x000 中的 与 或 与分母 dx， 0f(x)f

50、(x )4：若极限 lim000y，也可称 ( )在 的导数为 ，因为此时 ( )在 点的切线存在，它是y f x x x y f xxx00垂直于 轴的直线 xx 。x0若 yf(x)在开区间 I 内的每一点处均可导，就称 yf(x)在 I 内可导，且对 xI ，均有一导数值 f(x)，这时就构造了一新的函数，称之为 yf(x)在 I 内的导函数，记为 yf(x)， (x)35hx0h0注 5：上两式中， 为 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而 与 是变量。但x hIx6： ( )在 xx 的导数 f(x )就是导函数 ( )在 xx f(x ；y f x y f x000000

51、fxx0f(x)f(0) x0 xx0 x0f(x h)f(x h)【例2】 若 f(x)在 x 点可导，问： ？000h解：00000hhh。00000。0c f(x) c xy0 xcyx0cnnx annlim(x a xa ) 即 ( ) n1n2n2n1n1xa36亦即(x ) na ，若将 a视为任一点，并用 x代换，即得 f (x) (x )nxnnn1xa注：更一般地， ( ) （ 为常数）的导数为 ( ) ，由此可见，f x xf x111( x),x【例5】 求 ( ) 在 x a点的导数。xa,即(sinx) cosaxaxaaxxxhxhxhhh11hxxxx1aaax

52、x注：特别地，(e )e 。xxahfxaf xaahhh1h11xhxxxaaxaxyx【例8】 讨论 f(x)x 在 0处的导数。xhflim limsgnh1.4 例 4 知limsgnh不存在，故 x在 x0点hhh0不可导。然而， lim sgnh 1及 lim sgnh 1，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若h00h00 0000 xhhxx 000f(x)f(x )0 xx000(f (x )，即 ( ) limf x000000h00f(x)f(x )。0000h0000。00注 1：例 8 f(x)的左导数为，右导数为 1。因为 11，所以在 x0点不可导；2：例 8也

53、说明左可导又右可导，也不能保证可导；3：左、右导数统称为单侧导数；4：若 f(x)在(a,b)内可导，且在 点右可导，在 xb点左可导，即x a( )存在，四、 导数的几何意义 ( )在 xx 的导数 f(x )就是该曲线在 xx 点处的切线000斜 率 ， 即 k f(x ) ， 或 f(x ) t a, 为 切 线 的 倾 角 。 从 而 ， 得 切 线 方 程 为k00( )( )。若 ( ) ， 或 yy f x x xf xx x切线方程为： 。过切点2200000P(x ,y )，且与P 点切线垂直的直线称为 yf(x)在 P 点的法线。如果 f x 0000000000【例 9】

54、 求曲线 yx 在点 P(x ,y )处的切线与法线方程。300322300020001000200定理 2：如果函数 yf(x)在 xx 点可导，那么在该点必连续。0证明：由条件知： 000由1、5 定理 1(i)00显然当 x 0时，有y 0，所以由19 定义 1，即得函数yf(x)在 xx 点连0 x0ex【例 10】 求常数 a,b使得 f(x)bx039x0 x0 e a0b b 1。0又若使 ( )在 x0点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存f xaffx0 x0e 10 x0所以若有 a 1，则 f(0) f(0)，此时 f(x)在 x0点可导，所以所求常数

55、为2、2u x v x f x u x v x00f xu xv x000f(x)f(x )u(x)v(x)u(x )v(x )lim000 xxxxxx0 xx000u(x)u(x )v(x)v(x )lim0 xxxx00 xx000000注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。2：本定理的结论也常简记为uv)uv。定 理 2： 若 u(x) 和 v(x) 在 xx 点 可 导 ， 则 f(x) u(x)v(x) 在 x 点 可 导 ， 且 有00f xu x v xu x v x00000f(x)f(x )u(x)v(x)u(x )v(x )证明： limlim000 xxxxxx0

56、xx00040u(x)v(x)u(x )v(x)u(x )v(x)u(x )v(x )0000 xxxx00u(x)u(x )v(x)v(x )v(x)limu(x )00 xxxx0 xx0 xx000u(x)u(x )v(x)v(x )00 xxxx0 xx000000000000注 1：若取v(x) c为常数，则有：()；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：)uuvwucwsu(x)v(x)000( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x000f x0200f(x)f(x )v(x) v(x )u(x)v(x )u(x )v(x)limlim0000 xx

57、xxxx0 xx0 xx00000u(x)u(x )1100 xxv(x)xxv(x)v(x )xx000011v(x )000v00( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x=000020( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x00000204111uvv23：以上定理 13 中的 x ，若视为任意，并用x代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数02x222 11122xxxx311。xx3x解： f(x) (xe lnx)(x)e lnxx(e )lnxxe (lnx)xxxx1e x x xxxxe lnxxlnx)。x1 x21, x)xcx22.

58、3 反函数的导数、复合函数的求导法则一、反函数的导数定理 1 yf(x)为 x (y) (y)在 y (y ) 0，0010000f(x)f(x )100 x00004211y00yy001( ) y0000011，其中 , 均为整体记号， 03： f(x)和 (y)的“”均表示求导，但意义不同；2 21111。1sin y1x221111x1x1x222 。xxx2a二复合函数的求导公式复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理 2u (x)在 xx 点可导，且 yf(u)在u u (x

59、 ) 点也000可导，那么，以 yf(u)为外函数，以u (x)为内函数，所复合的复合函数 yf( (x在fu ) (x )，或 ( ( ( )xfxf u00000( )( )xlim00 xx0 xx0000fu)fu )( ) ( )x x= fu ) (x )00uuxx00uu000所以f(x,f u( ( )0注 1：若视 x 为任意，并用 x代替，便得导函数：0f(x(x)，或 ( ( ( )x xfxf或 。 2： f(x与f( (xu (x) x3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：1【例3】 求 y 的导数。x11解： 可看成u与 复合而成，yuxx1111111( ) 1xx2xx2222x【例4】 求 yx（ 为常数）的导数。xu11所以 ( )( )() ) yx evxex x1uxx(i)(ii)(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必44yx11x1yx2x2x22222【例 6】 yx21e2【例 7】 y arcsin(2cos(x2 ，求 y。1yx2221=222222=x2222xy21x11x(lntan )y22xxx22111x111x