天津南开区第五十六中学2022年高三数学文联考试卷含解析

1、天津南开区第五十六中学2022年高三数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x 、y满足约束条件，则的最小值是 ( )A. B.5 C.2 D.参考答案：A略2. 设m，n是平面内两条不同直线，l是平面外的一条直线，则“lm，ln”是“l”的（ ）A、充分不必要条件B、必要不充分要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：3. 下列函数中，在（0，+）上单调递减，并且是偶函数的是( )Ay=x2By=x3Cy=lg|x|Dy=2x参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断

2、 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，又A，y=x2在（0，+）内单调递增，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题4. 已知a为正实数，若函数的极小值为0，则a的值为A. B. 1C. D. 2参考答案：A【分析】由于，而，可求得在处取得极小值，即，从而可求得的值【详解】解：由已知，又，所以由得或，即函数在和上单调递增，由得，函数在上单调递减，所以在处取得极小值0，即，又，解得，故选：A【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题.5. 已知点

3、在抛物线上，且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为（ ）ABCD参考答案：B根据题意可知，解得故选6. 已知，且x是第四象限角，则sinx的值等于（）ABCD参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用诱导公式求得cosx的值，再根据x是第四象限角，利用同角三角函数的基本关系，求得sinx 的值【解答】解：已知=cosx，且x是第四象限角，则sinx=，故选：A7. 已知全集，则（ ）A. B. C. D.参考答案：B8. 已知复数 Z = 2 - 1，则Z . 的值为（ ）A.5 B. C.3 D.参考答案：A9. 已知，则（ ） （A） （B） （C） （D）参考答案：B略

4、10. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 参考答案：【知识点】三角恒等式.C7【答案解析】C 解析：解：由题可知 ，根据公式可得.所以C为正确选项.【思路点拨】根据三角函数的公式可直接求出结果.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 中国元代数学家朱世杰所著算学启蒙一书中提到关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，意思是“现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？”如图是源于其思想的一个程序框图，若输入，则输出n的结果为_.参考答案：4【分析】根据程序框图

5、，逐步执行，即可得出结果.【详解】执行程序框图可得：，不成立；，不成立；，不成立；，成立；故输出，结束算法.故答案为4【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.12. 已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的最大边的边长是_.参考答案：1413. 已知点，若，则实数_.参考答案：514. 九章算术中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： 参考答案：

6、59，26【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和【分析】第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5X）尺，则X4=（0.5x），由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比【解答】解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5X）尺则打洞时间相等：X4=（0.5x）解方

7、程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5=尺所以三天总的来说：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5尺，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26故答案为：59，26【点评】本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用15. 已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是 参考答案：16. 设等差数列an的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d若数列也是公差为d的等差数列，则an的通项公式为an=参考答案：【考点】84：等差数列的通项公式【分析】由题意可得：Sn=na1+dan0. = +（n1）d，化简n1时可得：

8、a1=（n1）d2+2dd分别令n=2，3，解出即可得出【解答】解：由题意可得：Sn=na1+dan0=+（n1）d，可得：Sn=a1+（n1）2d2+2（n1）dna1+d=a1+（n1）2d2+2（n1）dn1时可得：a1=（n1）d2+2dd分别令n=2，3，可得：a1=d2+2dd，a1=2d2+2dd解得a1=，d=an=+（n1）=故答案为：17. 某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在一个月内分批购入每

9、张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1）求该月需用去的运费和保管费的总费用(2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.参考答案：19. 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE（I）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EA

10、C所成角的正弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（I）由PC底面ABCD，可得PCAC由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：ACBC，因此AC平面PBC，即可证明平面EAC平面PBC（II）取AB的中点F，两角CF，则CFAB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得设P（0，0，a）（a0），可取=（1，1，0），利用向量垂直与数量积的关系可得：为平面PAC的法向量设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，可得，由于二面角PACE的余弦值为，可得=，解得a=4设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|=即可得出【解答】（I）证明：PC底面

11、ABCD，AC?平面ABCD，PCACAB=2，AD=CD=1，AC=BC=，AC2+BC2=AB2，ACBC，又BCPC=C，AC平面PBC，又AC?平面EAC，平面EAC平面PBC（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CFAB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0），设P（0，0，a）（a0），则E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，取=（1，1，0），则=0，为平面PAC的法向量设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，取=（a，a，4），二面角PACE的余弦值为，=，解得a=4，=（4，4，4），=（1，1，4）设直线

12、PA与平面EAC所成角为，则sin=|=，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为20. 已知函数f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值【分析】（I）当x0，1）时，（1+x）e2x1x?（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；当x0，1）时， ?ex1+x，令u（x）=ex1x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明（II）利用（I）的结论得到f（x

13、）1x，于是G（x）=f（x）g（x）=再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围【解答】（I）证明：当x0，1）时，（1+x）e2x1x?（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，则h（x）=x（exex）当x0，1）时，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函数，h（x）h（0）=0，即f（x）1x当x0，1）时， ?ex1+x，令u（x）=ex1x，则u（x）=ex1当x0，1）时，u（x）0，u（x）在0，1）单调递增，u（x）u（0）=0，f（x）综上可知：（II）解：设G（x）=f（x）g（x）=令H（x）=，则H（x）=x2sinx，令K

14、（x）=x2sinx，则K（x）=12cosx当x0，1）时，K（x）0，可得H（x）是0，1）上的减函数，H（x）H（0）=0，故H（x）在0，1）单调递减，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3当a3时，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面证明当a3时，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x）g（x）=x令v（x）=，则v（x）=当x0，1）时，v（x）0，故v（x）在0，1）上是减函数，v（x）（a+1+2cos1，a+3当a3时，a+30存在x0（0，1），使得v（x0）0，此时，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1）不恒成立综上实数a的取值范围是（，321. （1

15、2分）如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA平面ABCD,在直角梯形ABCD中，ADBC,，SA=AD=AB=1，M为BC的中点。（1） 求证：SMAD；（2） 求二面角A-SB-C的大小。（3） 求点M到平面SDC的距离。参考答案：解析：解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A作AN垂直BC，垂足为N，易得BN=1，同时四边形ANCD是矩形，则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,2分连结AM，因为平面ABCD，所以,又ADBC，所以SMAD4分（2）过点A作AG垂直SM于点G，易证平面SAM,则，在RT中， ，7分又AD平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距

16、离AG,大小值为；8分（3）取AB中点E，因为是等边三角形，所以,又,得，过点E作EF垂直SB于点F，连结CF，则，所以是二面角A-SB-C的平面角10分在RT中，.在RT中，所以二面角A-SB-C的大小为12分解法二：（1）同解法一（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）所以，,设平面SBC的法向量，则,即，解得，取6分又=，则点D到平面SBC的距离8分（3）设平面ASB的法向量，则,即，解得，取10分所以，则二面角A-SB-C的大小为12分22. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）