天津汇文中学高二数学理期末试卷含解析

1、天津汇文中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （算法）下图是一个求和的程序框图，如果其中判断框内填入的条件是：？，那么输出S=（ ）A B C D参考答案：B略2. 已知x0，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nN*)，则a( )A2n Bn2 C3n Dnn参考答案：D略3. 设x，y，z（0，+），=x+， ，则 三数（ ）A至少有一个不大于2 B都小于2 C至少有一个不小于2 D都大于2参考答案：C4. 已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相

2、切，则p的值为( )A B.1C2 D.4参考答案：C5. 已知抛物线的顶点为，抛物线上两点满足，则点到直线的最大距离为 A.1B.2 C.3 D.4参考答案：D6. 已知ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心O到ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任意一点，则P-ABC三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】设外接圆的圆心为，则平面，所以，设外接圆的半径为，利用正弦定理即可求得：，再利用截面圆的性质可列方程：，即可求得，即可求得点到平面的距离的最大值为，利用余弦定理及基本不等式即可求得：，再利用锥体

3、体积公式计算即可得解。【详解】设外接圆的圆心为，则平面，所以设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，解得：由球的截面圆性质可得：，解得：所以点到平面的距离的最大值为：.在中，由余弦定理可得：当且仅当时，等号成立，所以.所以，当且仅当时，等号成立.当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥的体积的最大值为故选：C【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质，还考查了转化思想及正、余弦定理应用，考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式，还考查了计算能力及空间思维能力，属于难题。7. 对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本

4、时，总体中每个个体被抽中的概率分别为a、b、c，则（）Aa=bcBb=caCa=cbDa=b=c参考答案：D【考点】系统抽样方法；分层抽样方法【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即a=b=c，故选：D8. 将函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在0，上的最小值为（）ABCD参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+=k，kz，

5、由此根据|求得的值【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）+=sin（2x+）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+=k，kz，=，f（x）=sin（2x），由题意x0，得2x，sin（2x），1函数y=sin（2x）在区间0，的最小值为故选：D9. 已知点P（1，1）及圆C：，点M，N在圆C上，若PMPN，则|MN|的取值范围为（）A BC D参考答案：A10. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是 （ ）A90 B45 C30 D60参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分

6、,共28分11. 如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱体积的最大值为_参考答案：2【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2R23；所以圆柱的体积为Vr2h（3h2）h（3hh3）；则V（h）（33h2），令V（h）0，解得h1；所以h（0，1）时，V（h）0，V（h）单调递增；h（1，）时，V（h）0，V（h）单调递减；所以h1时，V（h）取得最大值为V（1）2故答案为：2【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与

7、应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题12. 设函数，不等式对恒成立，则的取值集合是 参考答案：略13. 椭圆的左焦点是，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是.参考答案：314. 数列的前n项和是 参考答案：15. 若复数（i为虚数单位），若，则复数W的共轭复数是_.参考答案：【分析】求解出复数，利用共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：本题正确结果：【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够通过复数运算求解出复数，属于基础题.16. 已知两直线，若，则 ；若，则 参考答案： 或两直线，若，则，经检验符合题意；若，则 故答案为，17. 设F为抛物线y2=2px（p0）的焦点

8、，点A、B、C在此抛物线上，若+=，则|+|+|=参考答案：3p【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求出，的坐标，得出x1+x2+x3，根据抛物线的性质得出三点到准线的距离之和即为|+|+|【解答】解：抛物线焦点坐标为（，0），准线方程为x=设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）+=，x1+x2+x3=0，即x1+x2+x3=|=x1+，|=x2+，|=x3+|+|+|=x1+x2+x3+=3p故答案为：3p三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明

9、过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=x2alnx，aR（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若方程f（x）=0在区间，e上有且只有一个解，求实数a的取值范围参考答案：解：（1）a=2时，f（x）=x22lnx，x0，f（x）=，令f（x）0，解得：x1，x1（舍），令f（x）0，解得：0 x1，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，（2）f（x）=，x0，a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，a0时，令f（x）0，解得：x，x（舍），令f（x）0，解得：0 x，f（x）在（0，）递减，在（，+）

10、递增；综上：a0时，f（x）在（0，+）递增a0时，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（3）由题意得：方程a=在区间，e上有且只有一个解，令g（x）=，则g（x）=，令g（x）=0，解得：x=，g（x）在（，）上递减，在（，e）递增，又g（）=g（e）=e2，方程a=在区间，e上有且只有一个解时，有ae2，或a=2e，实数a的取值范围时：a|ae2或a=2e略19. 定义在1，1上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b1，1，a+b0时，有（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明

11、（2）若对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数m的取值范围参考答案：解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1x2则f（x1）f（x2）=f（x1 ）+f（x2）=x1+（x2）由于 0，且x1+（x2）0，f（x1）f（x2）0，故函数f（x）在1，1上是增函数这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直（2）由于 对所有x1，1，a1，1恒成立，故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）由于由（1）可得，函数f（

12、x）是1，1的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，2（m2+2am+1）2，即 m2+2am0令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有 ，解得 m2，或m2，或 m=0，故所求的m的范围是m|m2，或m2，或 m=0略20. （本小题满分12分） 某小型餐馆一天中要购买两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元，根据需要，蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。（1）写出一天中购买蔬菜的公斤数和购买蔬菜的公斤数之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）；（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种

13、蔬菜加工后没公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？参考答案：（1）依题意，蔬菜购买的公斤数和蔬菜购买的公斤数之间的满足的不等式组如下： 3分画出的平面区域如右图. 6分 (2) 设餐馆加工这两种蔬菜利润为元，则目标函数为 7分 表示过可行域内点斜率为的一组平行线在轴上的截距. 联立 解得 即 9分当直线过点时，在轴上的截距最大，即 11分答：餐馆应购买蔬菜公斤，蔬菜公斤，加工后利润最大为52元. 12分21. 已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等（1）求抛物线C的方程；（2）

14、设直线xmy6=0与抛物线C交于A、B两点，若AFB=90，求实数m的值参考答案：【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y24my24=0，利用AFB=90，可得FAFB，即?=0，可得：（x11）（x21）+y1y2=0，即可求实数m的值【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），到抛物线顶点的距离的平方为+p，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，+p=（+）2，p=2抛物线的方程为：y2=4x（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y24my24=0，设