高考数学(理数)一轮复习13《参数方程与极坐标、不等式选讲》单元测试 (含详解)

1、PAGE PAGE 5解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(10分)在极坐标系下，已知圆O： cossin和直线l：sin(eq f(,4)eq f(r(2),2).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解：(1)圆O：cossin，即2cossin，圆O的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin(eq f(,4)eq f(r(2),2)，即sincos1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.(2)由eq blc(avs4alco1(x2y2xy0，,xy10，)得eq blc(avs4alco1(x0，,

2、y1，)故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，eq f(,2)2(10分)(eq avs4al(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为eq f(2,1sin).(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程解：(1)因为eq r(x2y2)，siny，所以eq f(2,1sin)变形为sin2，所以曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，根据题意eq f(2,1sin0)3eq f(2,1sin（0）)，解得0eq f(,6

3、)或0eq f(5,6)，直线l的极坐标方程eq f(,6)(R)或eq f(5,6)(R)3(10分)在极坐标系中，求曲线2cos关于直线eq f(,4)对称的曲线的极坐标方程解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线2cos的直角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1，0)直线eq f(,4)的直角坐标方程为yx，因为圆心(1，0)关于直线yx对称的点为(0，1)，所以圆(x1)2y21关于直线yx对称的曲线为x2(y1)21.所以曲线2cos关于直线eq f(,4)对称的曲线的极坐标方程为2sin.4(10分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为(3，eq f(,3)

4、，半径r3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且eq o(OQ,sup6()2eq o(QP,sup6()，求动点P的轨迹方程解：(1)在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，圆C的方程为(xeq f(3,2)2(yeq f(3r(3),2)29，即x2y23x3eq r(3)y0，化为极坐标方程为6cos(eq f(,3)(2)设点Q(1，1)，P(，)，由eq o(OQ,sup6()2eq o(QP,sup6()，得eq o(OQ,sup6()eq f(2,3)eq o(OP,sup6()，所以1eq f(2,3)，1，因为点Q在圆C上，所以

5、16cos(1eq f(,3)，即eq f(2,3)6cos(eq f(,3)，即9cos(eq f(,3)5(10分)(eq avs4al(2017唐山质检)已知曲线C1：xeq r(3)yeq r(3)和C2：eq blc(avs4alco1(xr(6)cos，,yr(2)sin)(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离解：(1)曲线C1化为coseq r(3)sineq r(3)

6、.所以sin(eq f(,6)eq f(r(3),2).曲线C2化为eq f(x2,6)eq f(y2,2)1.(*)将xcos，ysin代入(*)式得eq f(2,6)cos2eq f(2,2)sin21，即2(cos23sin2)6.所以曲线C2的极坐标方程为2eq f(6,12sin2).(2)因为M(eq r(3)，0)，N(0，1)，所以P(eq f(r(3),2)，eq f(1,2)，所以OP的极坐标方程为eq f(,6)，把eq f(,6)代入sin(eq f(,6)eq f(r(3),2)，得11，P(1，eq f(,6)把eq f(,6)代入2eq f(6,12sin2)，得

7、22，Q(2，eq f(,6)所以|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.6(10分)(eq avs4al(2017合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：eq blc(avs4alco1(xr(2)cos1，,yr(2)sin1)(为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：sincosm.(1)若m0时，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为eq f(r(2),2)，求实数m的取值范围解：(1)曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，是一个圆；直线l的直角坐标方程为xy0.圆心C到直线l的距离为deq f(|11|,r(121

8、2)eq r(2)r，所以直线l与圆C相切(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为deq f(|11m|,r(1212)eq f(3r(2),2)，解得1m5.所以实数m的取值范围为1，57(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为eq blc(avs4alco1(x1tcos，,ytsin)(t为参数，0)，曲线C的极坐标方程为sin24cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值解：(1)由sin24cos得(sin)24cos，所以曲线C的直角坐标方程为y24x

9、.(2)将直线l的参数方程代入y24x得到t2sin24tcos40.设A，B两点对应的参数分别是t1，t2，则t1t2eq f(4cos,sin2)，t1t2eq f(4,sin2).所以|AB|t1t2|eq r(（t1t2）24t1t2)eq f(4,sin2)4，当且仅当eq f(,2)时取等号所以|AB|的最小值为4.8(10分)(eq avs4al(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq blc(avs4alco1(x3cos，,ysin)(为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin(eq f(,4)eq r(2)

10、.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)由eq blc(avs4alco1(x3cos，,ysin)消去参数，得eq f(x2,9)y21，即C的普通方程为eq f(x2,9)y21.由sin(eq f(,4)eq r(2)，得sincos2，(*)将eq blc(avs4alco1(xcos，,ysin)代入(*)，化简得yx2，所以直线l的倾斜角为eq f(,4).(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为eq blc(avs4alco1(xtcosf(,4)，,y2tsinf(,4)(t为参数

11、)，即eq blc(avs4alco1(xf(r(2),2)t，,y2f(r(2),2)t)(t为参数)，代入eq f(x2,9)y21并化简，得5t218eq r(2)t270，(18eq r(2)245271080，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2eq f(18r(2),5)0，t1t2eq f(27,5)0，所以t10，t20，所以|PA|PB|t1|t2|(t1t2)eq f(18r(2),5).9(10分)设函数f(x)|xa|x4|.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)如果对xR，f(x)1，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，函数f(x)|xa|x4|x

12、1|x4|eq blc(avs4alco1(52x，x1，,3，1x0，n0)，求证：m4n2eq r(2)3.解：(1)当a2时，不等式为|x2|x1|7，所以eq blc(avs4alco1(x1，,2x1x7)或eq blc(avs4alco1(1x2，,2xx17)或eq blc(avs4alco1(x2，,x2x17，)所以x2或x5，所以不等式的解集为(，25，)(2)证明：f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0，2，所以解得a1，所以eq f(1,m)eq f(1,2n)1(m0，n0)，所以m4n(m4n)(eq f(1,m)eq f(1,2n)3eq

13、 f(4n,m)eq f(m,2n)32eq r(2)(当且仅当meq r(2)1，neq f(2r(2),4)时取等号)13(10分)(eq avs4al(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0，1)时，不等式f(x)x成立，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)eq blc(avs4alco1(2，x1，,2x，1x1，,2，x1.)故不等式f(x)1的解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(1,2).(2)当x(0，1)时，|x1|ax1|x成立，等价于

14、当x(0，1)时，|ax1|1成立若a0，则当x(0，1)时，|ax1|1.若a0，|ax1|1的解集为0 xeq f(2,a)，所以eq f(2,a)1，故0a2.综上，a的取值范围为(0，214(10分)(eq avs4al(2017湖南师大附中摸底)设，均为实数(1)证明：|cos()|cos|sin|；|sin()|cos|cos|；(2)若0，证明：|cos|cos|cos|1.证明：(1)|cos()|coscossinsin|coscos|sinsin|cos|sin|；|sin()|sincoscossin|sincos|cossin|cos|cos|.(2)由(1)知，|cos()|cos|sin()|cos|cos|cos|，而0，故|cos|cos|cos|1.15(10分)(eq avs4al(2017深圳调考)已知函数f(x)|x12a|xa2|，g(x)x22x4eq f(4,（x1）2).(1)若f(2a21)4|a1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)g(y)0，求实数a的取值范围解：(1)因为f(2a21)4|a1|，所以|2a22a|a21|4|a1|，所以|a1|(2|a|a1|4)0，当a1时，满足，当a1时，2|a|a1|4