高考数学(理数)一轮复习10《计数原理、概率、随机变量及其分布》单元测试 (含详解)

1、PAGE PAGE 7一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 ()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D不是互斥事件解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件故选C2在区间(0，eq f(,2)内随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率是 ()Aeq f(1,8) Beq f(1,3) Ceq f(1,2) Deq f(2,)解：由0tanx1，且x(0，eq

2、 f(,2)，得0 xeq f(,4)，故所求概率为eq f(f(,4),f(,2)eq f(1,2)故选C3已知eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(a,r(x)eq sup12(5)的展开式中含xeq sup6(f(3,2)的项的系数为30，则a ()Aeq r(3) Beq r(3) C6 D6解：展开式的通项Tr1Ceq oal(r,5)(eq r(x)5req blc(rc)(avs4alco1(f(a,r(x)eq sup12(r)(a)rCeq oal(r,5)xeq f(5r,2)eq f(r,2)，展开式中含xeq sup6(f(3,2)的项的系数为30，所以

3、eq f(52r,2)eq f(3,2)，所以r1，并且(a)1Ceq oal(1,5)30，所以a6故选D4(eq avs4al(2018合肥模拟)某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300，102)，则用电量在320度以上的户数约为 ()参考数据：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()6826%，P(22)9544%，P(3320)eq f(1,2)1P(280 eq f(1,5)(442x)，由此解得x8，即x取0，1，2，7时符合要求，因此所求概率为eq f(8,10)eq f(4,5)故选D8(eq avs4al(2016沧州模拟)如图，在一个长为，宽为2的

4、矩形OABC内，曲线ysinx(0 x)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任意一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()Aeq f(1,) Beq f(2,) Ceq f(,4) Deq f(3,)解：由定积分可求得阴影部分的面积为 eq iin(0,)sinxdxcosx|eq oal(,0)2，矩形OABC的面积为2，根据几何概型概率公式得所投的点落在阴影部分的概率为eq f(2,2)eq f(1,)故选A9设(x21)(x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a1a2a11 ()A5 B4 C3 D2解：令x2

5、0，则x2，(x21)(x1)95a0；令x21，则x1，(x21)(x1)9 0a0a1a2a11，所以a1a2a11 a05故选A10(eq avs4al(2017浙江)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，2若0p1p2eq f(1,2)，则 ()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)解：依题意，列分布列110Pp11p1210Pp21p2所以E(1)p1，D(1)p1(1p1)；E(2)p2，D(2)p2(1p2)因为0p1p2eq f(1,2)，所以E(1)0故选A11体育课的排球发球项目考试的

6、规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的均值E(X)175，则p的取值范围是 ()A(0，eq f(7,12) B(eq f(7,12)，1) C(0，eq f(1,2) D(eq f(1,2)，1)解：X的可能取值为1，2，3，因为P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2，所以E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3由E(X)175，即p23p3175，解得p eq f(1,2)(peq f(5,2)舍去)故0peq f(1,2)故选C12(eq avs4al(2016江西新余二模

7、)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为 ()A120 B240 C360 D480解：前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有Ceq oal(1,4)Ceq oal(1,3)种方法，对于后排，若插入的2人不相邻有Aeq oal(2,5)种，若相邻有Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,2)种，故共有 Ceq oal(1,4)Ceq oal(1,3)(Aeq oal(2,5)Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,2)360(种)，故选C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

8、20分13二项式eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(15)的展开式中x13的系数为_解：Ceq oal(r,15)(1)rx152r，令152r13r1，故所求为Ceq oal(1,15)15故填1514已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的eq f(10,11)，则这个班男生的人数为_解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63x，因为每名学生被选中的概率是相同的， 根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是eq f(63x,6

9、3)，“选出的标兵是男生”的概率是eq f(x,63)，故eq f(63x,63)eq f(10,11)eq f(x,63)，解得x33，故这个班男生的人数为33故填3315某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差D()_所以的均值E()1eq f(1,5)2eq f(3,5)3eq f(1,5)2，D()(12)2eq f(1,5)(22)2eq f(3,5)(32)2eq f(1,5)eq f(2,5)故填eq f(2,5)16(eq avs4al(2016湖北模拟)设区域(x，y)|0 x2，0y2，区域A(x，y)|xy1，(x，y)，在区域中随机

10、取一个点，则该点恰好在区域A中的概率为_解：在平面直角坐标系中画出区域和A，则区域的面积为4，区域A的面积分成两小块：一是小长方形的面积，二是曲线yeq f(1,x)(x0)与xeq f(1,2)， x2，y0所围成的曲边梯形的面积，则区域A的面积SAeq f(1,2)22eq sdo9(f(1,2)eq f(1,x)dx12ln2根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A中的概率 Peq f(A的面积,的面积)eq f(12ln2,4)故填eq f(12ln2,4)三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)(eq avs4al(2017北京东城区二模)小明

11、计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%60%为一般，60%以上为拥挤)情况如图所示小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并连续游览两天(1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率；(2)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望解：设Ai表示事件“小明从8月11日起第i日连续两天游览主题公园(i1，2，9)”根据题意，P(Ai)eq f(1,9)，且Ai与Aj互斥(ij)(1)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则BA4A7所以P(

12、B)P(A4A7)P(A4)P(A7)eq f(2,9)(2)由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，P(X0)P(A4A7A8)P(A4)P(A7)P(A8)eq f(1,3)，P(X1)P(A3A5A6A9)P(A3)P(A5)P(A6)P(A9)eq f(4,9)，P(X2)P(A1A2)P(A1)P(A2)eq f(2,9)所以X的分布列为X012Peq f(1,3)eq f(4,9)eq f(2,9)故X的数学期望E(X)0eq f(1,3)1eq f(4,9)2eq f(2,9)eq f(8,9)18(12分)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50

13、多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电1457天(如图所示)如果用频率作为概率的估计值，并假定一个月中每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到001)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的均值和方差解：(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p，由已知，得peq f(1457,31)047因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率PCeq oal(2

14、,3)0472(1047)035(2)由题意，知XB(12，047)所以X的均值E(X)12047564，X的方差D(X)12047(1047)2989 219(12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为08，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列及数学期望E(

15、)，并求该商家拒收这批产品的概率解：(1)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A，用对立事件 SKIPIF 1 0 来算，有P(A)1P( SKIPIF 1 0 )10240998 4(2)可能的取值为0，1，2，故的分布列为012Peq f(68,95)eq f(51,190)eq f(3,190)E()0eq f(68,95)1eq f(51,190)2eq f(3,190)eq f(3,10)记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率P1P(B)1eq f(68,95)eq f(27,95)所以商家拒收这批产品的概率为eq f(27,95)2

16、0(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 SKIPIF 1 0 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数 SKIPIF 1 0 ，2近似为样本方差s2利用该正态分布，求P(1878Z2122)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(1878，2122)的产品件数利用的结果，求E(X)附：eq r(150)122若ZN(，2)，则P(

17、Z)0682 6，P(2Z2)0954 4解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 SKIPIF 1 0 和样本方差s2分别为 SKIPIF 1 0 170002180009190022200033210024220008230002200，s2(30)2002(20)2009(10)20220033102024202008302002150(2)由(1)知，ZN(200，150)，从而P(1878Z2122)P(200122Z200122)0682 6由知，一件产品的质量指标值位于区间(1878，2122)的概率为0682 6，依题意知XB(100，0682 6)，所以E(X)100068

18、2 6682621(12分)将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1，2，3，12抛掷该玩具一次，记事件A：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如932，9是完全平方数)(1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：甲抛掷该玩具一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A没有发生，则甲得0分；乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值；()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；(2)抛掷该玩具一次，记事件B：向上一面的点数不超过k(1k12)若事件A与B相互独立，试求出

19、所有的整数k解：(1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y()易得X，Y的分布列分别为点数149其他X624540Peq f(1,12)eq f(1,12)eq f(1,12)eq f(9,12)点数1212Y1212Peq f(1,12)eq f(1,12)eq f(1,12)故E(X)7，E(Y)eq f(13,2)()PP(X6，1Y6)P(X24)P(X54)eq f(1,12)eq f(6,12)eq f(1,12)eq f(1,12)eq f(5,24)(2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为12，事件A包含3个基本事件(1点，4点，9点)记n(AB)，n(B)分别表示事件A

20、B，B包含的基本事件数，由P(AB)P(A)P(B)及古典概型，故B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k4，8，12当k4时，n(B)4，AB1，4，n(AB)2，不符合*；当k8时，n(B)8，AB1，4，n(AB)2，符合*；当k12时，n(B)12，AB1，4，9，n(AB)3，符合*；故k的值可能是8或1222(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电