上海高中数学-复数讲义

1、 1 1 一、知识点梳理：1、i 的期性:i=1，所以，i i=-1, i i=1 i n n 4 n 2 、数代数形式： 叫部， b 叫部，实部和虚部都是实数。C a b 集。 Z R C。3、复数相等： a di a ； a a 且b (b=0)4、复数的分类： 复数Z bi 虚数b a 0)纯虚数(b 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3 ,6 i也没有大小。5的量 OZ 表复数 z 的模 r 为数 z 的，z 2 ；积或商的模可利用模的性质（1 z z1 z2 26、复数的几何意义：复数 bi复数Z bi R一一对应 平面量OZ ，7复面这建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫

2、做复平面中 x 轴做实轴，y 轴叫虚轴 ,实上的点都表实;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数 z 与 z 的： + =a+）+(+dia+d。 复数 z 与 z 的： abi(+）=(-）+(bi 复数的加法运算满足交换律和结合律 d R d R数加法的几何意:复数 z =+ + R; OZ =OZ + OZ =(ab（， 1 2d)=（+，+）（+）+(bd)i复数减法的几何意义复 z -z 的（）+(） 对 由 Z OZ OZ ，两个复数的差 z 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对.9. 特地，zABz z z 为两点间的距离 z z |1 2z 对的点

3、的轨迹是线段Z 12的垂直平分线 r0， z 对的点的 2 21 2 ) 2i (1 ) 2 21 2 ) 2i (1 ) 轨迹是一个圆；| z | a 1 2 1 , z 对的点的轨迹是一个椭圆；| z z a1 2 1 对的点的轨迹是双曲线10、然有公式:z z zz z z 2 1 211、数的乘除法运算复数的乘法z z （a+bi)（+）=(ac）+(bc+）i R复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集 中整数指数的运算律，在复数集 C 中仍然成立。即对 z ,z 及 N1 2 3m n m+n m n mn n n 有 z z =z ， (z ） =z ， (z ) =z

4、z .1 2 1 2复数的除法：1 2(a+bi）a bi bc ad （c+di = ic di c2 d R，分母实数化是常规方法12轭复:若两个复数的实部,而虚部是互为相反数时个数叫互为共轭复数； 特别地，虚部不为 0 的两共轭复数也叫做共轭虚数； , z R z z 2， 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实 轴 对 称 。z R z ， z ,1 1 213、记常用算式1i，(1 ) 2 i ， ) ，1 ，1 14、数的代数式运算技:（1） 1 1 i1 1 （2”的立方根 2i的性质：31 01115、系数一元二次方程的根问：（1） 2 ，方程有两个实根

5、 , x 。1 2（2) 2 ,方程有两个共轭虚根,其中 x 。1 2 i 2 i此时有x12 22x 1 ca且 x 2。注意两种题型(1) x 12(2) x 12虚系数一元二次方程有实根问:不能用判别式一般用两个复数相等求解然用韦 达定理。已知x 2 1是实系数一元二次方程a2 0的两个根，求x 2 1的方法：（1当 2 时，x ( x ) 2 x 1 2 b ac a当x 12 ac 时，( x x ) 2 x 2 24ac a已知x 12是实系数一元二次方程a2 0的两个根，求x 2 1的方法：（1） 2 ， 即 1 2ca ，则 x x 2 ba 即 1 2ca ,则x x ( x

6、 ) 2 x 1 1 1 2 1 b ac a(2）当 ac 时x 2 2 2 1 2二典分：例 复错误!等于（ ）cA。1 B.1+i 。1+ i 。i解析： 复数错 !=2i1 (1 ) ，选 （2）若复数 z同时满足 2i, （ i为虚数单位 z 解：已知 Z i 1 ;（3)设 、b、cR则复(+i)(+）为实数的充要条件是A。=0 acbd=0 C. ac=0 +=0解析（1)a, b c R,复数 (a )=( i为实数，ad bc ，选D； （4）已知 ，其中m，n是实数，i是虚数单位，则 （ )(A)1+2i ） 2i （C)2+i (D）2i解析：1 m, m 2 ，故选择

7、C.（5) , y为实数，且x i ,则 。解析: y x y (1i x y 2 ) )i1 1 i 2 5 2 5，而5 5(1i ) 3 x 1 x y 3 i 所 且 1 i 10 2 2 5 2，解得 x，y5所以 xy4点评：本题考查复数的运算及性基础题例 ：(1）计算: 答案: 3 i 2 (2）复数 z 足关系z ，求 解设 z=a+bi（a,b 为实)，由知可得a a 2 由复数相等可得： a ，解得3 a , b ，以 z 4 设 （a,b 为实数）复数问题实数化。若x ，解方程 x i 解设 x=a+bi （a,bR)代入条件得：22 (3 )i,由复数相等的定义可得：

8、2 0 ,a=4,b=3，x=4+3i。例 3:（1复数 z 满 z | ,则 z 对应的点在复平面内表示图形为）A直线 B圆 C椭 抛物线解：令 ，yR x+(y+1)x+(y1)=1故选 A。（2）复数 满足| i ，求最大值与最小值;解：|z|的最大值为 3 3 ，最小值为 ;（3）已知 zC，|z2=1 且数 z2 应的点落在直线 上求 z。解：设 2=a+ai,=1 a ， i 2 2 或 z i2 2。【维拨从整体出发利用条件，可化运算，本题也可设 z=a+bi 再用条件，但运算 复杂.（4）设z C ,1 z ，复数 u (1 ),在复平面内对应的图形面积_。解|u|=|1+i=

9、2z|2|u故积 S= 2 2 ) 。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。 例 4:已知 z=1+i，a,b 为数(1)若+3 z 4,求 2 (2)若，求 ，b 的值。 2 解（1=(1+i）+3i)4=1i，| |。（2）由条件( a ii ， ( ) a 2)i ， 。【思维点拨】利用复数的充要条件解.例 ： 且 是纯虚数，求 |的最大值。解令 （x,yRz x y z ( x y y ( y， 是纯虚数，y 2 2 ，即1 1( ) y 2 ( y 2 ，由数形结O1/2x合可知本题是求圆1( x )2 y 214( y 0)上的点到 1）的最大距离。 z |=|PA=

10、5 2。练习：（ ） i1 2 （ ） i1 2 1已知复数 ( i均是纯虚数则 _Z 2若( i ) i bRi a22（ D ）A0 B2 C 5 D 5设复数122 3 i，则 （ ) 2C（A（B（）1 2。复数 1 的轭复数是B )z A 1 B 1 1 i i2 2 2 。若复数 满足方程 则 z 3 B. 2 C. 2iC （ ） D D。 2iD 设 b 、 、 R ，若 为数，则 （ C ) i(A） （ (C ad 0(D） bc ad 如果复 m )(1 是实数，则实数 ）BA1 (。1 )B C（ ）2AD A iB iCD。满足条件 z | i的复数 z 在复平面上应

11、点的轨迹( 一条直线 两直 。 圆 D. 椭。 a i , i 且 数 为 a 211。已 ni，中n实数，i是虚数单位，则m ni 83C（A)1+2i (B) （） (D)2- i12、数(1 )3的虚部为(A)3 （B）3 （C)2 （D）2解:数= i，所以它的虚部为2，选 D.13、复平面内,复数 i对应的点位于（A）第一象限 (B)第二象 (C第三象限（D）第四象限解：1 i） ii 故选 D；点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考属于比较基本的题目，主要考 察复数的的分类和几何性.14求满足条件： )i （i 为数单位)的复数 解原方程化简为 z )i ，设 z=x+yi（x、y入述方程得 +y+2xi=1-ix+y=1 且 ，解得 且 y= ， 2原方程的解