勾股定理第课时

1、关于勾股定理第课时第1页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。 2、过程与方法 通过 “观察猜想归纳验证” 过程理解勾股定理；学会从特殊到一般的数学思考方法。 3、情感态度、价值观 通过实验、猜想、拼图、证明等了解数学知识的发生发展过程，学会合作交流，体验探究乐趣，增强探索意识；感受勾股定理的悠久历史，激发学习热情。第2页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 除地球外，别的星球上有没有生命呢？ 自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来

2、不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交流呢？ 我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.一、创设情境第3页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四数学家华罗庚曾建议用“勾股定理”图作为与“外星人”联系的信号。第4页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四弦图这个图形里蕴涵着怎样博大精深的知识呢？ 它标志着我国古代数学的伟大成就！第5页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四第6页，共70页，2022

3、年，5月20日，14点47分，星期四 假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？使用“符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用这种语言,并且最可能是数学语言。中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个图形作为与外星人交谈的媒介，一个是“数”，另一个是“数形关系”（勾股定理）。因为这种自然图形所具备的“数形关系”在整个宇宙中是普遍的。探索勾股定理第7页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？ 下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。第8页，共70页，2022年，5月20日，

4、14点47分，星期四毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系AB C 我们也来观察右图的地面，你能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？SA+SB=SC每块砖都是等腰直角三角形哦第9页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（图中每个小方格是1个单位面积）1.A中含有_个小方格，即A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积99189探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数

5、量关系吗？二、实验探究ABC图1结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是:SA+SB=SC第10页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四探究二：SA+SB=SC在图2中还成立吗？ABC图2结论：仍然成立。A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积25169 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流（图中每个小方格是1个单位面积）第11页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四ABC问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?问题4:那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:abc 至此，我们在

6、网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SCa2 + b2 = c2a2 + b2 = c2问题1:去掉网格结论会改变吗？问题3:去掉正方形结论会改变吗？第12页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.abc我们猜想：第13页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是

7、怎样证明这个命题的三、拼图证明第14页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。赵爽拼图证明法：c 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形. 图1黄实朱实朱实朱实朱实图2c第15页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四黄实朱实朱实朱实朱实b a MNP剪、拼过程展示：第16页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四cba用赵爽弦图证明=ba第17页，共70页，2022年，5月20日

8、，14点47分，星期四“赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实cab第18页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当 2002年第24届国际数学家大会在北京召开时， “赵爽弦图”被选作大会会徽。第19页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题1在我国叫做勾股定理(gou-gu theorem)。勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 a2 + b2 = c2即：直角三角形

9、两直角边的平方和等于斜边的平方。第20页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四1.成立条件： 在直角三角形中3.作用：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长。2.公式变形:abc如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c勾 股 定 理（注意：哪条边是斜边）第21页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四结论变形c2 = a2 + b2abcABC第22页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直

10、角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。勾股国外又叫毕达哥拉斯定理第23页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四勾2 + 股2 = 弦2股勾勾较短的直角边称为 ，股较长的直角边称为 ，直角三角形中弦斜边称为 。弦第24页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四勾股世界 我国是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三股四弦五”的说法。第25页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四其他证明方法用四个全等三角形拼图证明。 勾股定理是几何学中的明珠

11、，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种。第26页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四验证勾股定理的正确性第27页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2 =36+64x2 =100 x2=62+82x0 y2+52=132 y2=132-52y2=144 y=12（2）在RtABC中,由勾股定

12、理得:AC2+BC2=AB2y0A68xCB5y13CABX=10四、实践应用方法总结：利用勾股定理建立方程.第28页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四1.求下列直角三角形中未知边的长:817125小试牛刀xx用勾股定理建立方程.判断哪条边是斜边！第29页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四练习1：图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.916xy144169看谁算得快第30页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。

13、现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？议一议：9m24m?第31页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四练习2：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.看谁算得快s3第32页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四11美丽的勾股树第33页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四1、求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625225400A22581B=144五、反馈评价第34页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四2、如图，受台风影响，一棵树在离地面4

14、米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米3、求下列直角三角形中未知边的长.6x101213x第35页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 2. 受台风莎麦影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树根底部3米处，问这棵树折断前有多高？（注：树干与地面垂直）快速抢答4米3米ABC解：常用勾股数：勾3，股4，弦5（勾股定理）第36页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四169 或119再展身手注意：哪条边是斜边!分类讨论思想125ACBBC为斜边125CABBA为斜边4、已知：RtABC中，AB12，AC5,则 等于_.第37页

15、，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm.( ) 判断正误 :6868第38页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四5.高速公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小鎮，DA=15km,CB=10km，现在要在公路边上建设一个收购站E，使得它到两镇的距离相等，则E站应建在距A站多远处?DAEBC1510 x25-x方程思想再展身手第39页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四你能用四个直角边长是a、b(ba)，斜边长c的全等三角形，拼成一个边长为c的正方形吗？abcabca

16、bcabc动动手第40页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四想一想（1）你能用几种方式表示正方形ABCD的面积？（2）由此你能得到怎样的等式？你能利用该等式证明勾股定理吗？ABCDEFGHcaba第41页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 赵爽（即赵君卿）是三国时期吴国的数学家，他在注释周髀算经时，用四个全等的直角三角形拼图，对勾股定理进行了详细证明。他是我国最早对勾股定理进行证明的数学家，也是我们中华民族的骄傲。ABCDEFGHcabcccaaabbb这就是赵爽的弦图，又叫勾股圆方图！第42页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四

17、为了纪念他的这一重大贡献，2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。第43页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四基本方法 通过构造几何图形,并利用不同方法去表示同一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结合的一个典范。面积构造法ABCDEFGHcabcccaaabbb数形结合思想第44页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四周髀算经 毕达哥拉斯 商高 数学史话勾股圆方图第45页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四如果用四个直角边长是a、b，斜边长c的全等三角形，

18、拼成一个边长为（a+b）的正方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？动动手abcabcabcabc第46页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四如果用四个直角边长是a、b，斜边长c的全等三角形，拼成一个边长为（a+b）的正方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？动动手证明：周元治证法 abbcABCD第47页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 总统证法 用两个直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成一个梯形。acbbacADCBE第48页，共70页，2022年，5月20日，14点47分

19、，星期四acbbacACBEacbbacABE总统证法拼图正好是周元治证法拼图 的一半！图1图2acbbacCDacbbacABE 总统证法周元治证法 第49页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择,很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的贡献和地位。 勾股定理 人类伟大的发现第50页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四勾 股 弦 定 理商 高 定 理 中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，我国古代著名

20、的数学著作周髀算经中曾记载，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了：勾三，股四，弦五。第51页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四毕达哥拉斯定理百牛定理第52页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四图1图2毕达哥拉斯证法第53页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（邹元治证明） （赵爽证明） （总统证明） 精彩纷呈的证明方法 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理是数学中数与形的第一定理。第54页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四精彩

21、纷呈的证明方法（欧几里得证明） 第55页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（刘徽的青朱出入图） 精彩纷呈的证明方法第56页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四精彩纷呈的证明方法（达芬奇证法） 第57页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四精彩纷呈的证明方法印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明第58页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（李锐证明） 精彩纷呈的证明方法第59页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（陈杰证明） 精彩纷呈的证明方法第60页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（项明达证明） 精彩纷呈的证明方法（向明达证法）第61页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（杨作玫证明） 精彩纷呈的证明方法第62页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（辛卜松证明） 精彩纷呈的证明方法第63页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四（梅文鼎证明） 精彩纷呈的证明方法第64页，共70页，2022年，5月20日，14点47分，星期四 毕达哥拉斯命题是194