2022年秋新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第二册

1、PAGE PAGE PAGE 17全册综合检测A卷基本知能盘查卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列数中，是数列n(n1)中的一项的是()A380 B29 C32 D23解析：选A令380n(n1)，即n2n3800，解得n19或n20(舍去)，所以380是n(n1)的第19项同理，可检验B、C、D不是该数列中的项2曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析：选C由于yeeq f(1,x)，所以yeq

2、 blc|rc (avs4alco1(,)x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.3已知等比数列an的公比为2，且Sn为其前n项和，则eq f(S4,S2)等于()A5 B3 C5 D3解析：选C由题意可得，eq f(S4,S2)eq f(f(a1124,12),f(a1122,12)1(2)25.4若函数f(x)aexsin x在x0处有极值，则a的值为()A1 B0 C1 De解析：选Cf(x)aexcos x，若函数f(x)aexsin x在x0处有极值，则f(0)a10，解得a1，经检验a1符合题意，故选C.5设函数f(x)在

3、定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x)的图象可能为()解析：选D由函数yf(x)的图象知，当x0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知yf(x)的图象可能为D.6在等比数列an中，an0，且a21a1，a49a3，则a4a5的值为()A16 B27C36 D81解析：选B设等比数列an的公比为q，由已知得eq blcrc (avs4alco1(a1a21，,a3a49，)即eq blcrc (avs4alco1(a1a21，,q2a1a29，)q29.an0，q3，a4a5q(a3a4)3927.故选B.7若函数f(x)eq f(1,3)x3eq blc(rc)(

4、avs4alco1(1f(b,2)x22bx在区间3,1上不单调，则f(x)在R上的极小值为()A2beq f(4,3) Beq f(3,2)beq f(2,3)C0 Db2eq f(1,6)b3解析：选A由题意，得f(x)(xb)(x2)因为f(x)在区间3,1上不单调，所以3b0，得x2或xb；由f(x)0，得bx0)的极小值为_解析：因为f(x)xaln x(a0)，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)1eq f(a,x)(a0)由f(x)0，解得xa.当x(0，a)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a.答案：aaln a15曲线yeq

5、f(sin x,x)在点M(，0)处的切线方程为_解析：因为yeq f(cos xxsin x,x2)，所以所求切线的斜率为kyeq blc|rc (avs4alco1(,)xeq f(cos sin ,2)eq f(1,).由于切点坐标为(，0)，故切线方程为yeq f(1,)(x)，即xy0.答案：xy016数列an的前n项和Sn满足a22，Sneq f(1,2)n2An，则A_，数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,anan1)的前n项和Tn_.解析：a2S2S1(22A)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)A)2，Aeq f(1,2).当n2时，anSnS

6、n1eq f(1,2)n2eq f(1,2)neq blcrc(avs4alco1(f(1,2)n12f(1,2)n1)n.当n1时，a1S11满足上式，ann.eq f(1,anan1)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，Tn1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)eq f(1,n1)1eq f(1,n1)eq f(n,n1).答案：eq f(1,2)eq f(n,n1)四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a

7、2，a3；(2)证明数列eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是等差数列，并求an的通项公式解：(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)证明：由已知nan1(n1)an2n22n，得eq f(nan1n1an,nn1)2，即eq f(an1,n1)eq f(an,n)2，所以数列eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是首项eq f(a1,1)1，公差d2的等差数列则eq f(an,n)12(n1)2n1，所以an2n2n.18(12分)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在

8、点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，得eq blcrc (avs4alco1(f22e2，,f2e1，)即eq blcrc (avs4alco1(2ea22b2e2，,ea2be1，)解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1，所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调

9、递增所以g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值所以g(x)0，x(，)所以f(x)0，x(，)，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间19(12分)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bneq f(an1,SnSn1)，求数列bn的前n项和Tn. 解：(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,a48)或eq blcrc (avs4alco1(a18，,a41)(舍去)设等比数列an的公比为q，由a4a1q3得q2，故ana1qn12n1

10、，nN*.(2)Sneq f(a11qn,1q)2n1，又bneq f(an1,SnSn1)eq f(Sn1Sn,SnSn1)eq f(1,Sn)eq f(1,Sn1)，所以Tnb1b2bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,S1)f(1,S2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,S2)f(1,S3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,Sn)f(1,Sn1)eq f(1,S1)eq f(1,Sn1)1eq f(1,2n11)，nN*.20(12分)已知函数f(x)1eq f(1,x)ln xeq f(ln x,x).(1)判断函数f(x)的单调性；(2

11、)记g(x)eq f(2ex1,xex1)，试证明：当x1时，f(x)(e1)g(x)解：(1)由题意，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)eq f(xln x,x2).令(x)xln x，则(x)1eq f(1,x)eq f(x1,x).当x1时，(x)0，(x)单调递增，当0 x1时，(x)0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增(2)证明：由(1)知f(x)为(0，)上的增函数，故当x1时，f(x)f(1)2，故eq f(fx,e1)eq f(2,e1).g(x)2eq f(ex1xex1xex1ex1,xex12)eq f(2ex11ex,xex12).x1，1ex0，g(x)1

12、时，g(x)eq f(2,e1)g(x)，即f(x)(e1)g(x)21(12分)已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a22eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)，a3a432eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a3)f(1,a4).(1)求数列an的通项公式；(2)设bnaeq oal(2,n)log2an，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则ana1qn1，且an0.由已知得eq blcrc (avs4alco1(a1a1q2blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a1q)，,a1q

13、2a1q332blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1q2)f(1,a1q3)，)化简得eq blcrc (avs4alco1(aoal(2,1)qq12q1，,aoal(2,1)q5q132q1，)即eq blcrc (avs4alco1(aoal(2,1)q2，,aoal(2,1)q532.)又a10，q0，a11，q2，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bnaeq oal(2,n)log2an4n1n1，Tn(14424n1)(0123n1)eq f(4n1,41)eq f(nn1,2)eq f(4n1,3)eq f(nn1,2).22(12分)已知函数f(x)ln

14、 xx2ax，aR.(1)证明：ln xx1；(2)若a1，讨论函数f(x)的零点个数解：(1)证明：令g(x)ln xx1(x0)，则g(1)0，g(x)eq f(1,x)1eq f(1x,x)，当x(0,1)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，函数g(x)单调递减当x1时，函数g(x)取得极大值也是最大值，g(x)g(1)0，即ln xx1.(2)f(x)eq f(1,x)2xaeq f(2x2ax1,x)，x0.令2x2ax10，解得x0eq f(ar(a28),4)(负值舍去)，在(0，x0)上，f(x)0，函数f(x)单调递增，在(x0，)上，f(x)0

15、，函数f(x)单调递减f(x)maxf(x0)当a1时，x01，f(x)maxf(1)0，此时函数f(x)只有一个零点x1.当a1时，f(1)a10，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)ln eq f(1,2a)eq f(1,4a2)eq f(1,2)eq f(1,2a)1eq f(1,4a2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)f(1,2)2eq f(1,4)0，f(2a)ln 2a2a22a12a22eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2eq f(1,2)0.函数f(x)在区间eq blc(rc)(avs4al

16、co1(f(1,2a)，1)和区间(1,2a)上各有一个零点综上可得，当a1时，函数f(x)只有一个零点x1；当a1时，函数f(x)有两个零点B卷高考能力达标卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知an为等比数列且an0，a2a42a3a5a4a625，则a3a5等于()A5 B10 C15 D20解析：选A由等比数列的性质知a2a4aeq oal(2,3)，a4a6aeq oal(2,5)，所以aeq oal(2,3)2a3a5aeq oal(2,5)25，即(a3a5)225.又an0

17、，所以a3a50，所以a3a55.2函数f(x)2eq r(x)eq f(1,x)，x(0,5的最小值为()A2 B3 C.eq f(17,4) D2eq r(2)eq f(1,2)解析：选B由f(x)eq f(1,r(x)eq f(1,x2)eq f(xf(3,2)1,x2)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增当x1时，f(x)取得最小值，且最小值为f(1)3.3已知an是等比数列，a4a7512，a3a8124，且公比为整数，则公比q为()A2 B2 C1 D1解析：选B根据等比数列的性质可得a4a7a3a8512.又a3a8124，所以eq blcrc (avs4a

18、lco1(a34，,a8128)或eq blcrc (avs4alco1(a3128，,a84.)因为公比为整数，所以eq blcrc (avs4alco1(a34，,a8128，)所以q5eq f(a8,a3)32，所以q2.4设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，且f(0)6，则k()A0 B1 C3 D6解析：选Bf(x)x(xk)(x2k)(x3k)(x23kx)(x23kx2k2)，f(x)(2x3k)(x23kx2k2)(x23kx)(2x3k)，f(0)3k2k26k36，解得k1.故选B.5设曲线yeq f(ln x,x1)在点(1,0)处的切线与直线xay10垂直，则

19、a()Aeq f(1,2) Beq f(1,2) C2 D2解析：选A由题意得，yeq f(ln xx1ln xx1,x12)eq f(1f(1,x)ln x,x12)(x0)曲线在点(1,0)处的切线与直线xay10垂直，eq f(2ln 1,4)a，解得aeq f(1,2)，故选A.6已知递增的等比数列an中，a26，a11，a22，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于()A93 B189 C.eq f(189,16) D378解析：选B设数列an的公比为q，由题意可知，q1，且2(a22)a11a3，即2(62)eq f(6,q)16q，整理可得2q25q20，解得q2eq blc

20、(rc)(avs4alco1(qf(1,2)舍去)，则a1eq f(6,2)3，数列an的前6项和S6eq f(3126,12)189.7程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A65 B176 C183 D184解析：选D根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a1eq f(8

21、7,2)17996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.8已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)xf(x)，则不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是()A(0,1) B(2，) C(1,2) D(1，)解析：选B构造函数yxf(x)，x(0，)，则yf(x)xf(x)0，所以函数yxf(x)的图象在(0，)上单调递减又因为f(x1)(x1)f(x21)，所以(x1)f(x1)(x21)f(x21)，所以x1x21，解得x2或x1(舍去)所以不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是(2，)故选B.二、多项选择题(本大题共4小

22、题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知等比数列an的各项均为正数，且3a1，eq f(1,2)a3,2a2成等差数列，则下列说法正确的是()Aa10 Bq0C.eq f(a3,a2)3或1 Deq f(a6,a4)9解析：选ABD设等比数列an的公比为q，由题意得2eq f(1,2)a33a12a2，即a1q23a12a1q.因为数列an的各项均为正数，所以a10，且q0，故A、B正确；由q22q30，解得q3或q1(舍)，所以eq f(a3,a2)q3，eq f(a6,a4)q29，故C错误，D正确，故选A、

23、B、D.10设函数f(x)x312xb，则下列结论正确的是()A函数f(x)在(，1)上单调递增B函数f(x)在(，1)上单调递减C若b6，则函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y10D若b0，则函数f(x)的图象与直线y10有三个公共点解析：选CD对于选项A，B，根据函数f(x)x312xb，可得f(x)3x212.令3x2120，得x2或x2，故函数f(x)在(，2)，(2，)上单调递增，在(2,2)上单调递减，所以选项A，B都不正确；对于选项C，当b6时，f(2)0，f(2)10，故函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y10，选项C正确；对于选项D，当b0时，

24、f(x)的极大值为f(2)16，极小值为f(2)16，故直线y10与函数f(x)的图象有三个公共点，选项D正确故选C、D.11设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a7a81，eq f(a71,a81)0.则下列结论正确的是()A0q1CSn的最大值为S9 DTn的最大值为T7解析：选ADa11，a7a81，eq f(a71,a81)1，a81，0q1，故A正确；a7a9aeq oal(2,8)1,0q1，a81，T7是数列Tn中的最大项，故D正确故选A、D.12已知函数f(x)xln xeq f(1,2)x2，x0是函数f(x)的极值点，则下列选项正

25、确的是()A0 x0eq f(1,e)Cf(x0)x00解析：选AC因为f(x)xln xeq f(1,2)x2，所以f(x)ln x1x，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)eq f(1,e)0，又当x0时，f(x)，所以0 x0eq f(1,e)，故A正确，B错误；f(x0)x0 x0ln x0eq f(1,2)xeq oal(2,0)x0 x0ln x0eq f(1,2)x01x0ln x0 x01eq f(1,2)x0eq f(1,2)xeq oal(2,0)0)的图象在点(ak，aeq oal(2,k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a11

26、6，则a1a3a5的值是_解析：y2x，yx2(x0)的图象在点(ak，aeq oal(2,k)处的切线方程为yaeq oal(2,k)2ak(xak)又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，ak1eq f(1,2)ak，即数列ak是首项a116，公比qeq f(1,2)的等比数列，a34，a51，a1a3a521.答案：2116函数f(x)ex(xaex)恰有两个极值点x1，x2(x1x2)，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)ex(xaex)，f(x)(x12aex)ex.函数f(x)恰有两个极值点x1，x2，x1，x2是方程f(x)0的两个不相等的实数根令x12aex0，且a0，eq

27、f(x1,2a)ex.设y1eq f(x1,2a)(a0)，y2ex，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示要使这两个函数有两个不同的交点，应满足eq f(1,2a)1，解得0aeq f(1,2)，故实数a的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知等差数列an单调递减，且a31，a2a4eq f(3,4).(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列a1an是否为等差数列若是，求出公差；若不是，请说明

28、理由解：(1)由题意知，a2a42a32.又a2a4eq f(3,4)，数列an单调递减，a4eq f(1,2)，a2eq f(3,2).公差deq f(a4a2,2)eq f(1,2)，a1a2d2.an2(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,2)neq f(5,2).(2)由(1)知a1an2an，则当n2时，2an2an12(anan1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1.当n1时，2a14，数列a1an是首项为4，公差为1的等差数列18(12分)设函数f(x)axeq f(b,x)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方

29、程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yeq f(7,4)x3，当x2时，yeq f(1,2).又因为f(x)aeq f(b,x2)，所以eq blcrc (avs4alco1(2af(b,2)f(1,2)，,af(b,4)f(7,4)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3，)所以f(x)xeq f(3,x).(2)证明：设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由y1eq f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0e

30、q blc(rc)(avs4alco1(1f(3,xoal(2,0)(xx0)，即yeq blc(rc)(avs4alco1(x0f(3,x0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,xoal(2,0)(xx0)令x0，得yeq f(6,x0)，所以切线与直线x0的交点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(6,x0).令yx，得yx2x0，所以切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0和yx所围成的三角形的面积Seq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(6,x0)|2x0|6.故曲线y

31、f(x)上任一点处的切线与直线x0和yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.19(12分)在qd1，a2b30，S2T2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由若Sn是公差为d的等差数列an的前n项和，Tn是公比为q的等比数列bn的前n项和，_，a11，S525，a2b2，是否存在正数，使得|Tn|12?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：S5255a3，a35，a2eq f(a1a3,2)eq f(15,2)3，b2a23.da2a1312.若选，qd1，qeq f(1,d)eq f(1,2)，b1326，Tneq f(

32、6blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n),1f(1,2)12eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n).由|Tn|12得1，又0，的取值范围为(0,1若选，a2b30，b3a23，q1，b13，当n为偶数时，Tn0，则0；当n为奇数时，Tn3，由|Tn|12得4.综上，的取值范围为(0,4)若选，由S2T2得b1a1a2b21331，qeq f(b2,b1)3，Tneq f(13n,13)eq f(3n1,2).Tn单调递增，没有最大值，不存在正数，使|Tn|12.20(12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额

33、为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)，a0，b0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益解：(1)由投资额为0时收益为0，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0 x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0 x5)S(x)eq f(6,x1)2，令S(x)0，得x2.当0 x0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以当x2时，函数S(x)取得极大值，也是最大值，