2022年秋高中数学章末素养提升1第一章空间向量与立体几何课件新人教A版选择性必修第一册

1、第一章空间向量与立体几何章末素养提升| 体 系 构 建 | | 核 心 归 纳 | 1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一的实数，使得ab(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向

2、量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)5空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然

3、一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0| 素 养 提 升 | 素养1数学运算角度1基向量的运算如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60(1)求AC1的长；(2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值基向量运算的注意点(1)基向量的选择：三个向量不共面且模和夹角已知或能求，使下一步的计算成为可能(2)基向量的运

4、算常常与共线向量定理、共面向量定理、平面向量基本定理等相结合，各个定理要理解准确(3)加减运算中注意表示向量的字母规律，数量积运算中注意两向量夹角的确定(2)证明：AA1底面ABC，AA1AC，AA1ABac0，ab0AB1BC1，(ab)(acb)0|a|2|b|2acbc|a|2|b|2bc0A1CBC1，(ca)(acb)0，|c|2|a|2bc0|b|2|c|2，|b|c|，即ABACAB1A1C角度2坐标运算如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点(1)求证：DEC1F；(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值2如图，已知四棱锥PAB

5、CD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点(1)求证：PA平面BDE；(2)求二面角BDEC的余弦值(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PDDC2，则A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，素养2逻辑推理如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，P为侧棱CC1上一点(1)求证：侧棱CC1上不存在点P使B1P平面ABB1A1(2)CC1上是否存在点P使得B1PA1B？若存在，确定PC的长；若不存在，说明理由(1)证明：(反证法)若CC1上存在点P，使B

6、1P平面ABB1A1，则平面BCC1B1平面ABB1A1又BCBB1，BC平面ABB1A1BCAB，与题意矛盾CC1上不存在点P使B1P平面ABB1A1巧用空间向量证明空间中的位置关系(1)线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；可在平面内找到一个向量，证明其与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的性质定理转化为线线垂直问题(3)面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(4)面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面

7、垂直、线线垂直问题3如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADCDCB90，AD1，BC3，PCCD2，PC底面ABCD，E为AB的中点求证：(1)AD平面PCB；(2)平面PDE平面PAC证明：(1)ADCDCB90，ADBC，且AD平面PCB，BC平面PCBAD平面PCB(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，| 链 接 高 考 | (2020年浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC(1)求证：EFDB；(2)求直线D

8、F与平面DBC所成角的正弦值线面角图1 方法二，由三棱台ABCDEF，得DFCO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为如图2，以O为原点，分别以射线OC，OD为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题面面角(2)取A1B的中点E，连接AE，因为AA1AB，所以AEA1B又因为平面A1BC平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1A1B，且AE平面ABB1A1，所以AE平面A1BC在直三棱柱ABCA1B1C1中

9、，BB1平面ABC，由BC平面A1BC，BC平面ABC，得AEBC，BB1BC又因为AE，BB1平面ABB1A1且相交，所以BC平面ABB1A1所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，【点评】本题考查空间向量的相关计算，平面与平面所成的角的求法，能够根据题意求出点D的坐标是解题的关键(2019年新课标)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)求证：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离距离图1 ME綉ND四边形MNDE是平行四边形，故MNED又MN平面C1DE，MN平面C1DE方法二，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别