外接球问题典型例题

1、在三棱柱ABC 在三棱柱ABC - ABC中，已知AA丄平面ABC, AA = 2, BC = 2尽 ABAC，此231兀D. T 1 1 1 1 1三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（） TOC o 1-5 h z 32兀让25兀A.B. 1鼠C. -33【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.【答案解析】A解析：解：直三棱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，（如图），jr.aABC中，上BAC二-,下底面 ABC的外心P为BC的中点,厶同理，可得上底面ABC的外心Q为BC的中点，1 1 1 1 1连接PQ，则PQ与侧棱平行，所以PQ丄平面ABC再取PQ中点0,

2、可得：点O到A, B, C, A ,B , C的距离相等，1 1 10点是三棱柱ABC-ABC外接球的球心1 1 1. RTPOB 中，BP = LBC 二 v3，PQ 二丄 AA =1 TOC o 1-5 h z 22 1OB x BP2 + PO2 = 2，即外接球半径 R 二 24432tt因此，三棱柱ABC-ABC外接球的球的体积为：VR323二 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1 1 1333故选：A.【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC-A1B1C1外接 球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点在直角

3、RTPOB中，利用勾 股定理算出OB的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所 求外接球的体积.四面体 ABCD 中，已知 AB=CD=；29，AC=BD=；34，AD=BC=G7，则四面体 ABCD 的外 接球的表面积（）A. 25兀 B. 45兀C. 50兀D. 100兀【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.【答案解析】C解析：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为 全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以V29,V34,37为三边的三角形作为底 面，且以分别X, y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、 高分别为 x，y， z

4、 的长方体，并且 x2+y2=29，x2+z2=34， y2+z2=37，则有（2R ）252=x2 +y2+z2=50 （R为球的半径），得R2二石，所以球的表面积为S=4 n R2=50 n.故 选：C.【思路点拨】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然 后求解外接球的表面积.已知正四面体的棱长为、迈，则它的外接球的表面积的值为.【知识点】球内接多面体.【答案解析】3乃解析：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球, 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1;对角线长为：亍J3棱长为2的正四面体的外接球半径为 .所以外接球的表面积为4所以外接球的表面积为

5、4故答案为3%.侧视图俯视图侧视图俯视图【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角 线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径，可求外接球的表面积. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 如图是某儿何体的三视图，则 该几何体的外接球的表面积 为（）200k150k100kD 50k已知正三棱锥P ABC，点P，A，B，C都在半径为V3的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 【答案】点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转

6、化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱正三P-AB：可看作由正方郎PADC-日三FG截得，如图所示，PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且胪一平面朋匸，设正方低棱长为/则 3a1 = n.a = r=AC = BC = 22 沁=耳 x 2忑 x 2宀汎 = /5 、 - -由 F-ABC =【B-PJCh由 F-ABC =【B-PJCh，所以233 ，园两球心到平面的距离为3平面四边形曲加中，曲二肋W1,他=磁，购* CD,将其沿对角线胁折成 四面体才BCQ ,使平面丄平面BCD ,若四面体A-BCD的顶点在同一个球面 上，则该

7、球的体积为（ ）(A)2(B)眈(C)3(D) 2刃1.A根据题意，如图，可知BD=2,CD = IBC = 3RiMBD 中，AB = AD=BD = 2，在R达阳D1.A根据题意，如图，可知BD=2,CD = IBC = 3又因为平面占丑0丄平面月CD,所以球心就是月口的中点,半径为，所以球的体积为:半径为，所以球的体积为:正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为A.81兀4B. 16兀C. 9兀D.A.81兀4B. 16兀C. 9兀D.27kT【答案】A【解析】设球的半径为R,R2= (4 - R) 2+ (2) 2,则棱锥的高为4,底面边长为2,R

8、弓球的表面积为4n (寻2=罟故选：AAB一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为俯视图【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积16k【答案解析】解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高SO为73，如图：ACAC其中OA=OB=OC=1, SO丄平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M, OM=x，贝V得 X= 丁,得 X= 丁,2y/3外接球的半径只=卡 ，几何体的外接球的表面积S=4nx = 3【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求 几何

9、体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若 圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题三棱锥 P - ABC 中，平面 PAC 1 平面= PC = AR = 23= 4,HAC = 30v.若三棱锥P - ABC的四个顶点都在同-護面上,则该球的表面积为如图，三棱锥P ABC中，ZABC = 90，它的三视图如下，求该棱锥的（I）全面积；（II）内切球体积;（III）外接球表面积.侧视图46俯视图（I）全面积；（II）内切球体积;（III）外接球表面积.侧视图46俯视图【知识点】根据三视图的定义正确读取三棱锥P ABC中的位置关系和数量关系

10、，几何体 内切球半径、外切球半径的求法.343【答案解析】（1） 48 + 12迈;36（4二2）3兀;（3） 警343解析：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为 6的等腰直角三角形ABC,顶点P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E,且高为4的三棱锥。侧面PAB、PAC 的高都是5,底面斜边长6迈，所以全面积为：x 6 x 6 + 2 x - x 6 x 5 + - x 6 迈 x 4 = 48 +12 迈2 2设内切球球心,设内切球球心,半径r，则由Vp_abc=V + V + V + V 得O - ABCO - PAB O - PACO - PBC3x 2x 6 63x 2x

11、6 6 6 6 4=3x 2 C8+%2)xr6解得r=288所以内切球体积为兀343（3）设外接球球心M,半径R,M在高PE所在直线上，因为432,所以（R - 4）2 + 32 ）二R2懈得r= 7，所以外接球表面积为289仝44O【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥P-ABC中的位置关系和数量关系，从而 求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱 锥，利用等体积法求内切球半径。（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半 径。三棱锥A - BCD的外接球为球，球O的直径是AD，且AABC, ABCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥

12、A - BCD的体积是（）知识点】棱锥的体积I答案解析】A解析：因为截面BOC与直径AD垂直，而BO=CO=f，所以三角形BOC为等腰直角三角形，其面积为2 x2 x2 = 4，而AD=2，所以三棱锥A - BCD的体积为1 x 4 x41 =【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形， 则该几何体的外接球的表面积为俯视图【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积16兀【答案解析】解析：解：由三视图知

13、：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高SO为込，如图：SO为込，如图：其中OA=OB=OC=1，SO丄平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，贝V、：1 + 、：1 + x2 =、； 3 x2羽外接球的半径R=刁，几何体的外接球的表面积4 16兀S=4nx = 3【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求 几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若 圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题已知A,B是球O的球面上两点，ZAOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-A

14、BC体积的 最大值为36,则球O的表面积为A. 36nB.64nC.144nD.256n【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O- ABC的体积最1 11大，设球0的半径为R，此时V = V =xR2 xR = -R3 = 36，故R = 6，则0ABCCAOB 3 26球0的表面积为S = 4兀R2 = 144兀，故选C. TOC o 1-5 h z 已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为 球O的直径，且SC = 2；则此棱锥的体积为()迈运迈近 HYPERLINK l bookmark82 o Curren

15、t Document (A)(B)(C)(D)- HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 6632【答案】AIE卫因aIE卫因a设球亡为O过AFC三鴉的小園的园心为01 ,则001丄三面鮎C延七01交球于点D _ 5iJSDABC .-.001= 12_|； j_L；i2 =2J&.-.WSD = 200i = L?eAEC：是辺氏为I的王三甬形,. 心亠际二一-4v1 7 J2VZWS-AB C = TX 一 迸 =一 :4?6故答宰齿iJj直三棱柱曲的各顶点都在同一球面上，若曲二血二44二2血二120,则此球的表面积等于解:在UEC中血=曲=2占曲=120,可得占= 2抽,由正弦定理，可