通用版高考数学(文数)一轮复习第03单元《基本初等函数及应用》学案(含详解)

1、PAGE PAGE PAGE 75第三单元 基本初等函数()及应用教材复习课“基本初等函数()”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算过双基一、根式与幂的运算1根式的性质(1)(eq r(n,a)neq avs4al(a).(2)当n为奇数时，eq r(n,an)eq avs4al(a).(3)当n为偶数时，eq r(n,an)|a|eq blcrc (avs4alco1(aa0，,a a0，m，nN*，且n 1)负分数指数幂：aeq f(m,n)eq f(1,af(m,n)eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，且n 1)0的正分数指数幂等于eq avs4al(0),0的负分数指数幂

2、没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)(ar)sars(a0，r，sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)二、对数及对数运算1对数的定义一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作xloga N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数2对数的性质(1)loga1eq avs4al(0)，logaaeq avs4al(1).(2)alogaNeq avs4al(N)，logaaNeq avs4al(N).(3)负数和eq avs4al(零)没有对数3对数的运算性质如果a0，且a1，M 0，N 0，那么(1)loga(M N)logaMloga

3、 N.(2)logaeq f(M,N)logaMloga N.(3)logaMnnlogaM(nR)(4)换底公式logabeq f(logmb,logma)(a0且a1，b0，m0，且m1)eq avs4al(小题速通)1化简eq f(ab1ab,r(6,ab5)(a0，b0)的结果是()AaBabCa2b D.eq f(1,a)解析：选D原式eq f(abab,ab)abeq f(1,a).2若xlog43，则(2x2x)2()A.eq f(9,4) B.eq f(5,4)C.eq f(10,3) D.eq f(4,3)解析：选D由xlog43，得4x3，即4xeq f(1,3)，(2x2

4、x)24x24x32eq f(1,3)eq f(4,3).3.eq r(log2324log234)log2eq f(1,3)()A2 B22log23C2 D2log232解析：选Beq r(log2324log234)log2eq f(1,3)eq r(log2322)log232log23log2322log23.4已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2aA11 B9C7 D5解析：选C由题意可得f(a)2a2a3，则f(2a)22a22a(2a清易错1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数易忽视字母的符号

5、2在对数运算时，易忽视真数大于零1化简eq f(r(x3),x)的结果是()Aeq r(x) B.eq r(x)Ceq r(x) D.eq r(x)解析：选A依题意知x0，y0，x2y0，故xy不符合题意，舍去所以x4y，即eq f(x,y)4.答案：4二次函数过双基1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域eq blcrc)(avs4alco1(f(4acb2,4a)，)

6、eq blc(rc(avs4alco1(，f(4acb2,4a)单调性在eq blc(rc(avs4alco1(，f(b,2a)上单调递减；在eq blcrc)(avs4alco1(f(b,2a)，)上单调递增在eq blc(rc(avs4alco1(，f(b,2a)上单调递增；在eq blcrc)(avs4alco1(f(b,2a)，)上单调递减对称性函数的图象关于直线xeq f(b,2a)对称eq avs4al(小题速通)1若二次函数y2x24xt的图象的顶点在x轴上，则t的值是()A4 B4C2 D2解析：选C二次函数的图象的顶点在x轴上，168t0，可得t2.2(唐山模拟)如果函数f(

7、x)x2ax3在区间(，4上单调递减，那么实数a的取值范围为()A8，) B(，8C4，) D4，)解析：选A函数f(x)图象的对称轴方程为xeq f(a,2)，由题意得eq f(a,2)4，解得a8.3(宜昌二模)函数f(x)2x26x(2x2)的值域是()A20,4 B(20,4)C.eq blcrc(avs4alco1(20，f(9,2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(20，f(9,2)解析：选C由函数f(x)2x26x可知，二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为xeq f(3,2)，当2x0，,f(4ac16,4a)0，)eq blcrc (avs4alco1(a0，

8、,ac40.)答案：a0，ac4幂函数过双基1幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2常见的5种幂函数的图象3常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)eq avs4al(小题速通)1幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()解析：选C令f(x)x，则42，eq f(1,2)，f(x)xeq f(1,2).故C正确2(贵阳监测

9、)已知幂函数yf(x)的图象经过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，r(3)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)()A.eq f(1,2) B2C.eq r(2) D.eq f(r(2),2)解析：选C设幂函数的解析式为f(x)x，将eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，r(3)代入解析式得3eq r(3)，解得eq f(1,2)，f(x)xeq f(1,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq r(2)，故选C.3若函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1B

10、2C3 D1或2解析：选Bf(x)(m2m1)xm是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在x(0，)上是增函数，所以m2.清易错幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1m3 B0C1 D2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1m0，且a1)a10a1图象定义域R值域(0，)性质当x0时，y1，即过定点(0,1)当x0时，y1；当x0

11、时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数eq avs4al(小题速通)1函数f(x)ax21(a0，且a1)的图象必经过点()A(0,1) B(1,1)C(2,0) D(2,2)解析：选D由f(2)a012，知f(x)的图象必过点(2,2)2函数f(x)eq r(12x)的定义域是()A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：选A要使f(x)有意义须满足12x0，即2x1，解得x0.3函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()解析：选C当x1时，ya1a0，所以函数yaxa的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4设aeq blc(rc)(avs4alco1

12、(f(3,5)eq f(2,5)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)eq f(3,5)，ceq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)eq f(2,5)，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca解析：选A构造指数函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)x(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得b0时，有eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)x，故eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq f(2,5)eq blc(rc)(avs4a

13、lco1(f(2,5)eq f(2,5)，即ac，故acb.5下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是()A幂函数 B对数函数C指数函数 D余弦函数解析：选C由指数运算的规律易知，axyaxay，即令f(x)ax，则f(xy)f(x)f(y)，故该函数为指数函数清易错指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1或0a0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大eq f(a,2)，则a的值为_解析：当a1时，f(x)ax为增函数，f(x)maxf(2)a2，f(x)minf(1)a.a2aeq f(a,2).即

14、a(2a3)0.a0(舍去)或aeq f(3,2)1.aeq f(3,2).当0a0，且a1)a10a1图象定义域(0，)值域eq avs4al(R)性质当x1时，y0，即过定点(1,0)当0 x1时，y(0，)当0 x1时，y(，0)在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数eq avs4al(小题速通)1若函数f(x)loga(3x2)(a0，且a1)的图象经过定点A，则A点坐标是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2,3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)C(1,0) D(0,1)答案：C2已知a0，且a1，函数yax与yloga(x)

15、的图象可能是()解析：选B由题意知，yax的定义域为R，yloga(x)的定义域为(，0)，故排除A、C；当0a1时，yax在R上单调递增，yloga(x)在(，0)上单调递减，结合B、D图象知，B正确3函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_解析：作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)答案：(，1)(1，)4函数f(x)loga(x22x3)(a0，a1)的定义域为_解析：由题意可得x2

16、2x30，解得x3或x3或x3或x0，)解得eq f(1,2)0，且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a的值为_解析：当a1时，函数ylogax在2,4上是增函数，所以loga4loga21，即loga21，所以a2.当0a0，)满足f(x)1的x的值为()A1B1C1或2 D1或1解析：选D由题意，方程f(x)1等价于eq blcrc (avs4alco1(x0，,2x11)或eq blcrc (avs4alco1(x0，,x1，)解得x1或1.2函数f(x)ln|x1|的图象大致是()解析：选B令x1，x10，显然f(x)ln|x1|无意义，故排除A；由|x1|0可得函数的定义域

17、为(，1)(1，)，故排除D；由复合函数的单调性可知f(x)在(1， )上是增函数，故排除C，选B.3(郑州模拟)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解析：选D结合二次函数yax2bxc(a0)的图象知：当a0时，若eq f(b,2a)0，则b0，故排除A，若eq f(b,2a)0，则b0，c0，且abc0时，若eq f(b,2a)0，c0，故排除C，若eq f(b,2a)0，则b0，c0，故选项D符合4设a0.32，b20.3，clog25，dlog20.3，则a，b，c，d的大小关系是()Adbac BdabcCbcda Dbdc2，dlog20.30，由指数函数的性质

18、可知0a0.321,1b20.32，所以dab0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1.所求值域为(1，)故选B.6(大连二模)定义运算：xyeq blcrc (avs4alco1(x，xy0，,y，xy2或x2或x0，则1x0，,94a0，)解得aeq f(9,4).故选A.二、填空题9(连云港调研)当x0时，函数y(a8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，a81，解得a9.答案：(9，)10若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)的值等于_解析：设f(x)x，又f(4)3f432，解得log23，fe

19、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)log23eq f(1,3).答案：eq f(1,3)11若函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(e1x，x1，,lnx1，x1，)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析：由题意，f(x)2等价于eq blcrc (avs4alco1(x1，,e1x2)或eq blcrc (avs4alco1(x1，,lnx12，)解得x1ln 2或x1e2，则使得f(x)2成立的x的取值范围是(，1ln 21e2，)答案：(，1ln 21e2，)12若对任意xeq blc(rc)(av

20、s4alco1(0，f(1,2)，恒有4x0且a1)，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)4x，则f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上是增函数，g(x)logax，当a1时，g(x)logax在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上是增函数，且g(x)logax0，不符合题意；当0a1时，g(x)logax在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上是减函数，则eq blcrc (avs4alco1(0a1，,fblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)gblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)解得e

21、q f(r(2),2)a0，a1)，且f(2)f(4)1.(1)若f(3m2)f(2m5)，求实数(2)求使feq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x)logeq f(1,2)3成立的x的值解：(1)由f(2)f(4)1，得aeq f(1,2).函数f(x)logeq f(1,2)x为减函数且f(3m2)f(2m5)，03m22m5，解得eq f(2,3)m0恒成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)，aeq f(2,2x1)aeq f(2,2x1)，2aeq f(22x,2x1)eq f(2,2x1)2，a1.(2)f(x)在R上为单调递增函数证

22、明如下：设任意x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)1eq f(2,2 x11)1eq f(2,2 x21)eq f(22 x12 x2,2 x112 x21).x1x2，2 x12 x20，f(x1)0恒成立，ft2(m2)tf(t2m1)f(mt21)，t2(m2)tm1t2对tR恒成立，化简得2t2(m2)tm10，(m2)28(m1)0，解得22eq r(2)m22eq r(2)，故m的取值范围为(22eq r(2)，22eq r(2)高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点图象、性质、解析式全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度幂函数5年3考幂函数的性质二次函数5年

23、1考二次函数的图象幂函数的图象与性质典例(1)(安徽江南七校联考)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2 D1或3(2)1.1，0.9，1的大小关系为_解析(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，当n1时，函数f(x)x2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，)上是减函数，所以n1满足题意；当n3时，函数f(x)x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，)上是增函数，所以n3不满足题意，舍去故选B.(2)把1看作1，幂函数yx在(0，)上是增函数00.911.1，0.9

24、11.1.即0.911.1.答案(1)B(2)0.911.1方法技巧幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 即时演练1已知f(x)x，若0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)Bfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)f(b)f(a)Cf(a)

25、f(b)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(a)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)f(b)解析：选C0ab1，0abeq f(1,b)eq f(1,a)，又f(x)x为增函数，f(a)f(b)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a).2若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1) 32a0或32aa10或a1032a. 解得eq f(2,3)

26、aeq f(3,2)或a0)，将点D(1,1)代入得，aeq f(1,4)，即yeq f(1,4)(x3)2.2已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)4f(2)16，则函数f(x解析：由题意可设函数f(x)ax2c(a0)，则f(4)16ac16，f(2)4ac4，解得a1，c0，故f(x)x答案：f(x)x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：1二次函数的图象与性质；2二次函数的最值问题.角度一：二次函数的图象与性质1(

27、武汉模拟)已知函数f(x)ax22axb(1a3)，且x1x2，x1x21a，则下列结论正确的是()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选Af(x)的对称轴为x1，因为1a3，则21a0，若x1x21，则x1x22，不满足x1x21a且21a0；若x10(1af(x1)；若1x12，又因为f(x)在1，)上为增函数，所以f(x1)f(x2)2设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，且实数m的取值范围是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2解析：选D二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调

28、递减，则a0，f(x)2a(x1)0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m方法技巧解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解角度二：二次函数的最值问题3已知二次函数f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最小值解：(1)当a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为xeq f(1,a).当eq f(1,a)1，即a1时，f(x)ax22x图象的

29、对称轴在0,1内，f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,a)上递减，在eq blcrc(avs4alco1(f(1,a)，1)上递增f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)eq f(1,a)eq f(2,a)eq f(1,a).当eq f(1,a)1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(2)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴xeq f(1,a)0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)mine

30、q blcrc (avs4alco1(a2，a，00，1，,f(1,a)，a1，.)4已知a是实数，记函数f(x)x22x2在a，a1上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式解：f(x)x22x2(x1)21，xa，a1，aR，对称轴为x1.当a11，即a1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间a，a1上为增函数，所以最小值为f(a)a22a综上可知，g(a)eq blcrc (avs4alco1(a21，a1.)方法技巧二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相

31、对位置关系1(全国卷)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab解析：选A因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数，知ba；又因为a24，c255，由幂函数yx在(0，)上为增函数，知ac.综上得bac.故选A.2(全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则eq isu(i1,m,x)i()A0 BmC2m D解析：选Bf(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称又y|x22x3|(x1)24|的图象关于直线x1对称，两函数图象的交点关于直线x1对

32、称当m为偶数时，eq isu(i1,m,x)i2eq f(m,2)m；当m为奇数时，eq isu(i1,m,x)i2eq f(m1,2)1m.故选B.3(2014全国卷)设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(ex1，x1，,x，x1，)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析：当x1时，由ex12得x1ln 2，x1；当x1时，由x2得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是x8.答案：(，8一、选择题1(绵阳模拟)幂函数y(m23m3)xm的图象过点(2,4)，则mA2B1C1 D2解析：选D幂函数y(m23m3)xm的图象过点(2,4)，eq blcrc (avs4a

33、lco1(m23m31，,2m4，)解得m2.故选D.2(杭州测试)若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则实数a的取值集合为()A3,3 B1,3C3,3 D1，3,3解析：选C函数f(x)x22x1(x1)2的图象的对称轴为直线x1，f(x)在区间a，a2上的最小值为4，当a1时，f(x)minf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a1a2，即1a4ac；2ab1；abc0；5aA BC D解析：选B二次函数的图象与x轴交于两点，b24ac0，即b24ac，对称轴为x1，即eq f(b,2a

34、)1,2ab0，错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a又函数图象开口向下，a0，5a2a，即5a0，,f1x25x60，)解得x3.5若函数f(x)mx22x3在1，)上递减，则实数m的取值范围为()A(1,0) B1,0)C(，1 D1,0解析：选D当m0时，f(x)2x3在R上递减，符合题意；当m0时，函数f(x)mx22x3在1，)上递减，只需对称轴xeq f(1,m)1，且m0，解得1m0，综上，实数m的取值范围为1,06设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x24x6，x0，,x6，xf(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(

35、3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析：选Af(1)3，不等式f(x)f(1)，即f(x)3.eq blcrc (avs4alco1(x0，,x24x63)或eq blcrc (avs4alco1(x3，)解得x3或3xb，cd.若f(x)2 017(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析：选Df(x)2 017(xa)(xb)x2(ab)xab2 017，又f(a)f(b)2 017，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知cabd

36、，故选D.8(浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关解析：选Bf(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2eq f(a2,4)b，当0eq f(a,2)1时，f(x)minmfeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,4)b，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb,1ab，Mmmaxeq blcrc(avs4alco1(f(a2,4)，1af(a2,4)与a有关，与b无关；当eq f(a,2)1时，

37、f(x)在0,1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关二、填空题9已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)在(0，)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m解析：幂函数f(x)在(0，)上为增函数，m22m30，即m22m30，解得10)对任意实数t，在闭区间t1，t1上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，则实数a的最小值为_解析：由题意可得，当xt1，t1时，f(x)maxf(x)minmin8，当t1，t1关于对称轴对称时，f(x)maxf(x)min取得最小值，即f(t1)f(t)2ata208，f(t1)f(t)2

38、ata208，两式相加，得a8，所以实数a的最小值为8.答案：812设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，xa，,x2，xa，)若存在实数b，使得函数yf(x)bx恰有2个零点，则实数a的取值范围为_解析：显然x0是yf(x)bx的一个零点；当x0时，令yf(x)bx0得beq f(fx,x)，令g(x)eq f(fx,x)eq blcrc (avs4alco1(x2，xa，,x，xa，)则bg(x)存在唯一一个解当a0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，显然当ab0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，若要使bg(x)存在唯一一个解，则aa2，即0a1，同理，当a0时

39、，显然bg(x)有零解或两解，不符合题意综上，a的取值范围是(，0)(0,1)答案：(，0)(0,1)三、解答题13(杭州模拟)已知值域为1，)的二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且方程f(x)0的两个实根x1，x2满足|x1x2|2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)f(x)kx在区间1,2上的最大值为f(2)，最小值为f(1)，求实数k的取值范围解：(1)由f(1x)f(1x)，可得f(x)的图象关于直线x1对称，设f(x)a(x1)2hax22axah(a0)，由函数f(x)的值域为1，)，可得h1，根据根与系数的关系可得x1x22，x1x21eq f(h,a)，|x1

40、x2|eq r(x1x224x1x2) eq r(f(4h,a)2，解得a1，f(x)x22x.(2)由题意得函数g(x)在区间1,2上单调递增，又g(x)f(x)kxx2(k2)x.g(x)的对称轴方程为xeq f(k2,2)，则eq f(k2,2)1，即k0，故k的取值范围为(，014(成都诊断)已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2，f(x)0恒成立，求a的取值范围解：f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2eq f(a2,4)a3，令f(x)在2,2上的最小值为g(a)(1)当eq f(a,2)4时，g(a)f(2)73a0，aeq f(7,3).又a4，a

41、不存在(2)当2eq f(a,2)2，即4a4时，g(a)feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,4)a30，6a2.又4a4，4a2.(3)当eq f(a,2)2，即a4时，g(a)f(2)7a0，a7.又a4，7abc)的图象经过点A(m1，f(m1)和点B(m2，f(m2)，f(1)0.若a2f(m1)f(m2)af(m1)f(m2)0，则()Ab0 Bbbc，得abc0，若c0，则有b0，a0，此时abc0，这与abc0矛盾；所以c0，c0，所以3a2设函数f(x)2ax22bx，若存在实数x0(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)ab

42、成立，则t的取值范围是_解析：因为存在实数x0(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)ab成立，所以2ax22bxab等价于(2x1)b(12x2)a.当xeq f(1,2)时，左边0，右边0，即等式不成立，故xeq f(1,2)；当xeq f(1,2)时，(2x1)b(12x2)a等价于eq f(b,a)eq f(12x2,2x1)，设2x1k，因为xeq f(1,2)，所以k0，则xeq f(k1,2)，则eq f(b,a)eq f(12blc(rc)(avs4alco1(f(k1,2)2,k)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)k2).

43、设g(k)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)k2)，则函数g(k)在(1,0)，(0,2t1)上的值域为R.又因为g(k)在(，0)，(0，)上单调递减，所以g(k)在(1，0)，(0,2t1)上单调递减，故当k(1,0)时，g(k)g(2t1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2t1)2t1)，故要使值域为R，则g(2t1)g(1)，即eq f(1,2t1)2t11.答案：(1，)高考研究课(二)指数函数的2类考查点图象、性质全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度指数函数的图象5年3考指数函数图象的应用指数函数的性质5年

44、3考比较大小、求值指数函数的图象及应用典例(1)函数f(x)eq f(exx2,e2x1)的大致图象是()(2)(广州模拟)若存在负实数使得方程2xaeq f(1,x1)成立，则实数a的取值范围是()A(2，)B(0，)C(0,2) D(0,1)解析(1)因为f(x)eq f(exx2,e2x1)eq f(exx2,1e2x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以排除A、D项当x0时，y0，故排除B项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数yeq f(1,x1)和y2xa的图象，则由图知，当a(0,2)时符合要求答案(1)C(2)C方法技巧指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数yax(a

45、0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a).(2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解即时演练1函数f(x)2|x1|的图象是()解析：选B由题意得f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1，x1.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1解析：选BA中，函数y1.7x在R上是增函数

46、，2.53，1.72.51.73，故A错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，故B正确；C中，0.811.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1，故D错误2(绍兴模拟)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析：选Bf(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)2x4.f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x4，x0，,2x4，x0，则有eq blcrc (avs4alc

47、o1(x20，,2x240)或eq blcrc (avs4alco1(x20，)解得x4或x0，且a1)型函数最值问题多用换元法，即令tax转化为yt2btc的最值问题，注意根据指数函数求t的范围角度三：与指数函数有关的单调性问题4若函数f(x)a|2x4|(a0，且a1)，满足f(1)eq f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：选B由f(1)eq f(1,9)，得a2eq f(1,9)，解得aeq f(1,3)或aeq f(1,3)(舍去)，即f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递

48、减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减，故选B.5已知函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的大小关系是_解析：|x1|0，函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，a1.由于函数f(x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线x1对称，则函数在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)f(1)答案：f(4)f(1)方法技巧与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2e

49、q r(3)，则eq f(1,x)eq f(1,y)的最大值为()A2 B.eq f(3,2)C1 D.eq f(1,2)解析：选C由axby3，可得a3，b3，所以2eq r(3)ab332eq r(3)，则eq f(1,x)eq f(1,y)1，当且仅当xy时，等号成立故eq f(1,x)eq f(1,y)的最大值为1.7已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x0，,x22x，x0，)若函数g(x)f(x)3m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：因为函数g(x)f(x)3m有3个零点，所以函数yf(x)的图象与直线y3m有三个不同的交点，作出函数yf(x)eq

50、 blcrc (avs4alco1(2x1，x0，,x22x，x0)的图象如图所示，则03m1，所以eq f(1,3)x0.答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，0)1(2013全国卷)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：选D法一：不等式2x(xa)1可变形为xaeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x.在同一平面直角坐标系内作出直线yxa与yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x的图象由题意，在(0，)上，直线有一部分在曲线的下方观察可知，有a1，选D.法二：由2x(x

51、a)xeq f(1,2x).令f(x)xeq f(1,2x)，即af(x)有解，则af(x)min.又yf(x)在(0，)上递增，所以f(x)f(0)1，所以a1，选D.2(全国卷)设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x0，,2x，x0，)则满足f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1的x的取值范围是_解析：由题意知，可对不等式分x0,0eq f(1,2)讨论当x0时，原不等式为x1xeq f(1,2)1，解得xeq f(1,4)，eq f(1,4)x0.当01，显然成立当xeq f(1,2)时，原不等式为2x2xeq f(1,2)1，显然成

52、立综上可知，x的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，)3(2015江苏高考)不等式2x2x4的解集为_解析：2x2x4，2x2x22，x2x2，即x2x20，1x2.答案：x|1x24(2015山东高考)已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a1时，函数f(x)axb在eq blcrc(avs4alco1(1，0)上为增函数，由题意得eq blcrc (avs4alco1(a1b1，,a0b0)无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得e

53、q blcrc (avs4alco1(a1b0，,a0b1，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,2)，,b2，)所以abeq f(3,2).答案：eq f(3,2)一、选择题1在同一直角坐标系中，函数f(x)2x1与g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1的图象关于()Ay轴对称Bx轴对称C原点对称 D直线yx对称解析：选Ag(x)21xf(x)，f(x)与g(x)的图象关于y轴对称2若当xR时，函数f(x)a|x|始终满足0|f(x)|1，则函数ylogaeq blc|rc|(avs4alco1(f(1,x)的图象大致为()解析：选B因为当xR时

54、，|x|0，又函数f(x)a|x|始终满足0|f(x)|1，所以0a1.因为ylogaeq blc|rc|(avs4alco1(f(1,x)是偶函数，图象关于y轴对称，且yeq blc|rc|(avs4alco1(f(1,x)在(0，)上是减函数，ylogax在(0，)上是减函数，所以由复合函数的单调性可知函数ylogaeq blc|rc|(avs4alco1(f(1,x)在(0，)上是增函数，故选B.3已知a21.2，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0.2，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Abac BcabCcba Dbca解析：选Cbeq blc(rc)

55、(avs4alco1(f(1,2)0.220.2b1.又c2log52log541，cb0，且a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()Ayeq r(1x) By|x2|Cy2x1 Dylog2(2x)解析：选A由题知A(1,1)把点A(1,1)代入四个选项，选项A，yeq r(1x)的图象不经过点A.5(广西质量检测)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为()A4 B3C1 D0解析：选Axlog521，2xeq f(1,5)，则f(x)4x2x13(2x)222x3(2x1)24.当2x1时，f(x)取得最小值4.6已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b

56、)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2解析：选D作出函数f(x)|2x1|的图象(如图中实线所示)，又abf(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，02af(c)，即12a22a27(东北三校联考)若关于x的方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不等实根，则aA(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)解析：选D方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2当0a1时，如图，02a1，即0a1时，如图，而y2a0aeq f(1,2).8定义一种运算：abe

57、q blcrc (avs4alco1(a，ab，,b，ab，)已知函数f(x)2x(3x)，那么函数yf(x1)的大致图象是()解析：选B由题意可得f(x)2x(3x)eq blcrc (avs4alco1(2x，x1，,3x，x1，)所以f(x1)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x0，,2x，x0，且a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)eq r(x)在0，)上是增函数，则a_.解析：若a1，有a24，a1m，此时a2，meq f(1,2)，此时g(x)eq r(x)为减函数，不合题意若0a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)若不等式

58、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,b)xm0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为_解析：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)bax，得eq blcrc (avs4alco1(6ab，,24ba3，)结合a0，且a1，解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b3，)要使eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xm在x(，1上恒成立，只需保证函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xeq blc(rc)(avs4alc

59、o1(f(1,3)x在(，1上的最小值不小于m即可因为函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x在(，1上为减函数，所以当x1时，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x有最小值eq f(5,6).所以只需meq f(5,6)即可所以m的最大值为eq f(5,6).答案：eq f(5,6)12(湖南八校联考)对于给定的函数f(x)axax(xR，a0，且a1)，下面给出五个命题，其中真命题是_(填序号)函数f(x)的图象关于原点对称；函数f(x)

60、在R上不具有单调性；函数f(|x|)的图象关于y轴对称；当0a1时，函数f(|x|)的最大值是0.解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，是真命题；当a1时，f(x)在R上为增函数，当0a1时，f(x)在R上为减函数，是假命题；yf(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，是真命题；当0a1时，f(|x|)在(，0)上为减函数，在0，)上为增函数，当x0时，yf(|x|)的最小值为0， 是假命题综上，真命题是.答案：三、解答题13已知函数f(x)eq f(m4x1,2x)是偶函数(1)求实数m的值；(2)若关于x的不等式2kf(x)3k21在(，0)上恒成立，求实数