高等数学第八章空间曲线

1、高等数学第八章空间曲线第1页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四基本练习： 能绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形,会求交线在坐标面上的投影。应注意的事项： 绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础，从本节开始到本章第七节都应注意进行这方面的练习。第2页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点

2、都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.第3页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例如,方程组表示怎样的曲线？ C第4页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四二、空间曲线的参数方程将曲线L 上的动点M坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的参数方程. 当给定t 时，就得到曲线上的一个点；随着参数的变化，可得到曲线L上全部的点。第6页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四上升高

3、度例1 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解：取时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运动到M点，M点在xoy面上的投影为M 称为螺距 .第7页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例2. 将下列曲线化为参数方程表示:解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面设空间曲线的一般

4、方程：以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。 投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投影曲线，简称投影。三、空间曲线在坐标面上的投影第9页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四设空间曲线 L 的一般方程为消去 z 得投影柱面则L 在xoy 面上的投影曲线 L为消去 x 得L 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得L 在zox 面上的投影曲线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第11页，共2

5、7页，2022年，5月20日，21点30分，星期四（2）确定投影柱面与 xoy 面的交线在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤（1）消去变量z后得 xoy 面上的投影柱面：求空间曲线：即为所求投影曲线的方程第12页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例3 求在xoy 面上的投影曲线方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 先从两方程消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程（母线平行于z轴）为：故C在xoy 面上的投影曲线方程为第13页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例4 求曲线 L 在三个坐标面上的投影。第14页，共27页，2022年，5

6、月20日，21点30分，星期四例4 求曲线L 在三个坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得L 在 面上的投影为第15页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例4 求曲线L 在三个坐标面上的投影。解（2）因为曲线在平面 上，所以在 yoz 面上的投影为线段.（3）同理在 xoz 面上的投 影也为线段.第16页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四例5所围的立体在 xoy 面上的投影。求上半球面和锥面C在 xoy 面上的投影曲线解：半球面和锥面的交线为所求立体在 xoy 面上的投影为圆域:交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、 注：所求投影区域为:C从方程组中消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程为第17页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四截线方程为解第18页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四截线方程为解第19页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面第20页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四空间曲线的一般方程、参数方程四、小结空间曲线在坐标面上的投影第21页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四课堂练习求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四 (2)(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出下列曲线的图形：第23页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，共27页，2022年，5月20日，21点30分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 （4）第25页，共2