初中中考数学复习专题面积最值问题归类解析

1、初中中数复习专：积最值题归类析规则图形面积直接利用面积公式定方：面积最值问题的分析思路不规则图形面积分解为规则图形再表示定目：定待求条件题目中有角度或者三角函数值直 角三角形）定解：决待求条件题目中只有长度似定最：据函数解析式和范围求最值。面积最值动点）模型一例 ：方形 ABCD 边为 4 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 点在 BC 运动时， 保持 和 MN 垂，（1）证明： eq oac(,Rt) eq oac(,；)（2设 ，形 ABCN 的积 y，求 与 x 之间的函数关系式当 M 点动到什么位置 时，四边形 ABCN 的积最大，并求出最大面积；分（1）方：形（规则图形）面积问题；

2、（2）目：底 AB=4，高 ，上底 CN（待求条）（3）解本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。所以 本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示 CN 的。（4）最：据范围确定最值在顶点取得。解）三直角结构）（2） eq oac(,Rt) eq oac(, )ABM eq oac(,Rt)MCN， MC ， 2 x 4 梯BCN x 2 x ( 2 （0 x4）当 时， y 取大值，最大值为 10练：图：等腰梯形 ，AB7，CDBC5点 分别在边 AD 上运动， MNAB，MEAB，NF。求当 AE 于多少时，四边形 MEFN 面积的最大值2 492 49答 S矩形MEF

3、NME 8 x x) 3 4 6当 时，面积的最大值为 6模型二例 如图Rt BAC P是BC边上的动（点P与点B、C不重合动P作PD 交AC于点D当PC等于多少时， APD的面积最大？最大面积是多少？分（1）方：角三角形（规则图形）面积问题；（2）目：ADP 的 PD， AD 都不知道（待求条件（3）解：题有明显的角度或三角函数值。所以本题是利用解直角三角形求 P 和 的长（4）最：据范围确定最值在顶点取得。解 设PC ， BA，BAC 又 AC cos60 ， cos60 12x， 12x，而 x sin 60 x，S APD 1 PD x 2 （0 x24） ( x x ( x 2 PC

4、 等 12 时 的积最大，最大面积是 练：如图，已 ABC 是长为 的等边角，点 、 同从 A、 两出发， 分别沿 、 匀运动，其中 P 运动速度是 1cm/s， Q 运动速度是 2cm/s当点 Q 到达点 C 时 两都停止运动，设运动时间为 （s BPQ 的面积为 （ t 等于多少时， S 最？答BPQ1 1 QE ) 3t t 3t 2 2 （0 t=3,SBPQ923四 BOCE四 B四 BOCE四 BOCE四 B四 BOCE面积最值坐标系）模型三例 ：图：已知抛物线 y ax （0）与 x轴交于点 A(1，0)和 B (，0)，与 y 轴交点 C(1) 求物线的解析式；(2) 若 E

5、为第二象限抛物线上一动点，连接 、，求四边形 BOCE 面积最大值，并求 此时 E 点的坐标分（1定向不则图形四边形的面积问题先解 eq oac(,为)BEF和梯形 CEFO分解法唯）（2定标需要利用 坐标表示 BF,EF,OF 的长以及求出OC 的长（待求条件）（3）解：用坐标表示长度要关注所处的象限。（4）最：据范围确定最值在顶点取得。解 (1) y 2 解 1：过点 E 作 EF 轴点 F E a 2 3) 2 a ，=3，= = 四 B BEF 四形 FOC=1 +EF)OF 2 1= ( a3 )( 22123) + (2226)）3 9 = a 3 a 0 )2 3 63 当 =

6、时， 最, 最值为 2 3 15此时，点 E 坐标 ( ， )2 解 2过点 E 作 EF 轴点 ， E ( a , b )1 则 S = (3 + b a) + (3 + ab2 2EF3 = ( ba (2 )= 3 63( a ) + ( 3 a 0 ) 2 3 63 当 = 时， 最，且最大值为 2 3 15此时，点 E 坐标 ( ， )2 点）本：求 E 点标质就是求 EF 和 OF 的长。（2设：两种设点 E 的法本质是相同的都是用横坐标表示纵坐标。只是表示的 时机不同而已。（3）易：长度和坐标之间的转化要考虑象限；练 ：图，抛物线 交于点 C（0， y x2 x 与 x 轴于 A

7、、 两，与 y 轴 ） ，点 的标为 ， 坐标为 ；（2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，四边形 的面积最 大？若存在，请求出点 的标若不存在，请说明理由；答：3 3 75 ( m ) 2 2 2 存点 D3 15 75 ( ) ，四边形 的积最大为 2 8模型四例 ：图，抛物线y bx 与 x 轴与 A(1,0),B(- ，0)点。（1）求该抛物线的解析式；（2中抛物线上的第二象限上是否存在一点 P使PBC 的面积最大？存在， 求出点 的标及 的积最大.若没有，说明理.分（1）方：（规则图形）面积问题，分解四边形 PCOB 减 eq oac(,去)BOC （2）目：用 P 点坐标表

8、示 BE,PE,OE，求 OC 的（待求条件）（3）解：用坐标表示长度要关注所处的象限。（4）最：据范围确定最值在顶点取得。解(1)y 2 （2）答：存在。解 1设 P 点 x 0)S四边形 BBOC四边形 1 1 9 ( PE OC 2 2 =1 1 9 2 2 2 3 ( x ) 2 8当x 3 27 ， S 最大2 8点 P 坐为3( ，2154)解 2SBPC12PF 解 3过 P 作 PFX 轴， 作 Y 轴.BPC矩形 BCOBGP点：（1本：法都是将不规则图形转化为规则图形法 和法 2 体面积的“割法 3 是面积的“补（2）技：二的分割方为垂分法简洁方便，值得记忆。练 2如图，抛

9、物线经过 B (0三点（1）求出抛物线的解析式；（2）在直线 AC 上方的抛物线上一点 ，使得 DCA 面积最大，求出点 D 的标答）y 1 x x 2 （2） S t t t 模型五例 ：如图，已知一个三角形纸片，BC边的长为 8，BC边上的高为6，和都为锐角，M为AB一动点（点M 与 A 不合M MN ，交 于点 ，在 AMN 中设 MN 长为 x ， MN 上高为 h （1）请你用含 的代数式表示 （2） eq oac(,将)AMN 沿 MN 折， eq oac(,使)AMN 落四边形 所平面，设点 A 落在平面的点为 MN 与边形 BCNM 1 1重叠部分的面积为 y ， 为何值时，

10、y 最，最大值为多少？分（1）方：画分图得到角形和梯形两种情况，都是规则图形面积问题； （2）目：角形缺表示高 AD，梯形缺上底 EF 和梯形的高 DG（3）解：本题没有明显的角度或三角函值，所以本题是利用相似比表示A， EF，DG 的。（4）最：解求最值，在比较大小确定最终结果。1解）MN eq oac(, )AMN ABC h x 6 h （2）3x4 AMN 1 eq oac(, ) MN1的边MN上的高为， 当点 A 落在四边形 内 BC 边时， 1y MN=1 1 3 MN x 2 2 438x2（0 ）当A1落在四边形BCNM外时，如下图 8)，法 ： A D =h=34x；DG=

11、AG-AD=6-34x, MN eq oac(, ) MN1 1则 A G 1MN D1; x y ( MN ) 3 (2 2 4=9 x8 x 所以9y 2 x (4 x 8) 8综上所述0 3 时y 82 x 最大当94 时 x82 x ，取x 163，y 最大当x 163时，y最大，y 最大法 ：设 EF1的边EF上的高为h1，则h 1 MN32x eq oac(, ) MN1 1 A EF A x x) A EFx x) x x y A MN A 2 x 2 x x x 所以y 98x2 x (4 8)综上所述：当0 时 38x2，取 x y最大当4 时，y 98x x ，取x 163

12、，y 最大当x 163时， 最，y 最大点：（1）法 2 有定的高度，能从积整体向面积整体转化，属于高级数学思维，值得学习。 面积比与相似比之间的转化属于面积整体法系列。值得记忆。（2）养成先画图后分析的习惯能将抽象问题具体化。练：一根直尺的短边长 ，长边长 10 还有一块锐角为 45直角三角形纸板， 它的斜边长 12cm.如图 1，将直的短边 DE 放与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D 与点 A 重合将尺沿 AB 方平如图 2)设平移的长度为 xcm(0 x10)，直尺和三角 形纸板的重叠部(图中阴影部)的面积为 S (1)当 x=0 时如 1)，S=_当 = 10 时S =_.(2) 当 04 时(如图 2)，求 于 的函数关系式