古典概率模型以及几何概率模型

1、关于古典概率模型和几何概率模型1第1页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四2一、古典概率模型 1 只有有限多个基本事件，并记它们为1, 2, ，n ；一类最简单的随机试验具有下述特征: 2 每个基本事件发生的概率相等，即 这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象，谓之为古典概率模型，简称为古典概型第2页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四3 古典概型在概率论中有很重要的地位，一方面是因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解，另一方面是因为它概括了许多实际问题，有广泛的应用 对于古典概型下的任何事件A，若A中所包含第3页，共32页，2022年，5

2、月20日，3点23分，星期四4求概率问题转化为计数问题 .排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m类方式，第一类方式有n1种方法，第二类方式有n2种方法, ,第m类方式有nm种方法.则完成这件事总共有n1 + n2 + + nm 种方法 .特点:一步完成第4页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四5 例如，某人要从甲地到乙地去, 甲地乙地 可以乘火车 ,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法回答是第5页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四6基本计数原理则完成这件事共有种不同

3、的方法 .2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法, 第m个步骤有nm种方法.特点：多步完成 例如, A地到B地有两种走法, B地到C地有三种走法, C地 到 D地有四种走法, 则 A地到 D 地共有种走法.第6页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四7特别, k = n时称全排列排列、组合的定义及计算公式1. 排列:从n个元素中取 k个不同元素的排列数为：阶乘 若允许重复, 则从n个元素中取 k个元素的排列数为：注意第7页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四82. 组合:从n个元素中取 k个元素的组合数为：推广: n

4、个元素分为s组，各组元素数目分别为r1,r2,rs的分法总数为第8页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四9例7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。 解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5个样本点，故 第9页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四10古典概型的基本类型举例古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样

5、本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。第10页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四111、抽球问题 例8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。第11页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四12 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是第12页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四13例9 某箱中装有m+n个球，其中m个白球， n个黑球。(

6、1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率； 解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？所以，事件A发生的概率为第13页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四14(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为 设事件B：“第k+1个取出的球是白球”， 由于第

7、k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有 其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为种保留下来的取法，事件B所包含的基本事件总数为第14页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四15所以最后所取的球是白球的概率为注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为 第15页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四16 在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物

8、的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。第16页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四172、分球入盒问题解 设A：每盒恰有一球，B：空一盒例10 将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）恰好空一盒的概率是多少？第17页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四18一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：第18页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四19例11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在

9、N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率： A=某指定的一个盒子中没有球B=某指定的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此 第19页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四20事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此 事件C：恰有n个盒子，其中各有一球

10、，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn 在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m第20页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四21某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄

11、错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。 第21页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四223.分组问题例12 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。

12、解 设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组第22页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四23一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：第23页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四244. 随机取数问题例13 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。解 N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分别为：33

13、/200,1/8,1/25第24页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四25例14 全班有50个学生，问至少有两人生日相同的概率为多少？（设一年有365天） 解事件总数:有利场合数: 概率之大有点出乎意料. 从下表中可以看出, 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.第25页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四26 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994有人同生日的概率人数第26页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星

14、期四27*二、几何概率模型几何概型借助于几何度量确定事件的概率，习惯上称这种概率为几何概率类似于古典概型的有限性和等可能性，几何概型满足下述两个特征：其几何度量度、面积或体积等）大小可用表示； 1随机试验的样本空间充满某个区域，第27页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四28事件A的概率为对于几何概型下的任何事件A，若A对应于中的某个子区域，其几何度量可用表示，则2任意一点落在中任何子区域的概率只与其几何度量有关，并与之成正比第28页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四29例1.12 某地铁车站每隔5分钟有一列车通过，乘客到达车站的时刻是随机的，求一位乘客候车时间不超过3分钟的概率记A=候车时间不超过3分钟 则 这里和分别表示A和的长度解 设x为乘客到达车站的时刻，则样本空间第29页，共32页，2022年，5月20日，3点23分，星期四30例1.1 在区间（0,1）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于1/2的概率1