辽宁省锦州市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析

1、外装外装订线请不要在装订线内答题内装订线PAGE PAGE 21辽宁省锦州市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知P(B|A) 13 ，P(A) 25A.56B.910C.215D.12.在数列 an 中， a1=A.-2B.-1C.12D.23.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ） A.0.8B.0.832 5C.0.532 5D.0

2、.482 54.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺5.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招

3、收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 13A.19B.49C.56.已知 f(x)=alnx+12x2(a0)A.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据： (1.05)2=1.1025 ， (1.05)3A.36B.37C.38D.398.下列函数图象中，函数 f(x)=xA.B.C.D.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共

4、20分)9.下列命题正确的是（ ） A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍B.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量C.线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D.若回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=310.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为

5、 f(x)=1A.该地水稻的平均株高为100cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大11.已知函数f(x)的定义域1,5，部分对应值如表，f(x)的导函数y=fx-1045f(x)1221A.函数f(x)的极大值点有2个B.函数f(x)在0,2上是减函数C.若x1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4D.当12.已知数列 an,bn 均为递增数列， A.0a11B.1b1ln21 ，且 x0 时，有 20.受新冠疫情影响，来

6、我市旅游人数与前几年同期相比有所减少，某土特产超市为预估2021年暑假期间游客购买土特产的情况来制定进货方案，对2020年暑假期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下购买金额及人数分布表：购买金额（元）0,15)15,30)30,45)45,60)60,75)75,90人数101520152010（1）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）售货员佳佳发现：沟帮子烧鸡、锦州小菜、真空包装干豆腐这三种特产成为了本店的“明星”商品.若有一位顾客需要在预选的包括这三种“明星”商品在内的7件（种类均不同

7、）产品中挑选4件特产带回家，求购买的4件特产中包含“明星”商品的件数X的分布列及期望. 附：参考公式和数据：K2=n附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P（K2k0）0.1500.1000.0500.0100.00521.已知函数 f(x)=(ax)sin（1）当 a=2 时，证明: f(x) 在 (0,) 上有唯一零点； （2）若 f(x)2 对 x(0,) 恒成立，求实数 a 的取值范围. 22. （1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动. 第一个

8、月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.理学社设置了第 n ( nN+ )个月中签的名额为 （2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第 n ( nN+ )个月中签的概率为 pn=19+答案解析部分一、单选题1.已知P(B|A) 13 ，P(A) 2A.56B.910C.215D.1【答案】 C 【考点】条件概率与独立事件 【解析】【解答】由条件概率公式变形得P(AB)P(

9、B|A)P(A) 13故答案为：C.【分析】由已知条件利用条件概率计算公式直接求解2.在数列 an 中， a1=A.-2B.-1C.12D.2【答案】 B 【考点】数列递推式 【解析】【解答】由题意，数列 an 中， a可得 a2故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合递推公式求出数列第五项的值。3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ） A.0.8B.0.832 5C.0.532 5D.0.482 5【答案】 D

10、 【考点】条件概率与独立事件 【解析】【解答】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， 则它们构成样本空间的一个划分，设B为“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则： P(B)=故答案为：D. 【分析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， 则它们构成样本空间的一个划分，设B为“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，再利用条件概率公式结合求和公式，从而求出事件B的概率，进而求出这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率。4.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其

11、书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺【答案】 D 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【解答】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列 an根据题意 S立秋的晷长为 a4故答案为：D 【分析】由题意可设

12、等差数列为an ，其首项为 a15.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 13A.19B.49C.5【答案】 D 【考点】互斥事件与对立事件 【解析】【解答】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为 (13)4=181故答案为：D. 【分析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案。6.已知 f(x)=alnx+12x2(

13、a0)A.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)【答案】 D 【考点】函数恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】根据 f(x1)f(令 g(x)=f(x)2x=aln所以 g(x)=ax+x20(x0,a0) 恒成立， 分离参数得 ax(2x) ， 而当 x0 时， x(2x) 最大值为 1故答案为：D 【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题的解决方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等

14、额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据： (1.05)2=1.1025 ， (1.05)3A.36B.37C.38D.39【答案】 B 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】【解答】解：设每次还款额为 x 万元，由题意得 100(1+5%)1001.05115.76=x+1.05x+1.1025x ， 3.1525x=115.76 ， x37 。故答案为：B 【分析】利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，再利用函数模型求出每次的还款额。8.下列函数图象中，函数 f(x)=xA.B.C.D.【答案】 C 【考点】函

15、数的图象，指数函数的图象与性质 【解析】【解答】当 =2 时， f(x)=x2ef(x)=(x)2e当 x0 时， f(x)=x则 f即函数 f(x) 在 (0,+) 上单调递增，则函数 f(x) 在 (,0 上单调递减.此时函数 f(x) 的图象可能为 A 选项.当 =2 时， f(x)=e|x|x2 ，定义为 f(x)=e|x|(x)当 x0 时， f(x)=e则 f当 0 x2 时 f(x)0 时， f(x)=xe则 f令 g(x)=ex即 f(x)0 并且在 (0,+) 上单调递增，并且 f(x) 在 根据对称性可知，此时函数 f(x) 的图象可能为 D 选项.故选：C【分析】当 =2

16、 时，验证 A 正确. 当 =2 时，验证 B 正确. 当 =1 时，验证 D 正确.二、多选题9.下列命题正确的是（ ） A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍B.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量C.线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D.若回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=3【答案】 B,D 【考点】极差、方差与标准差，两个变量的线性相关，线性回归方程，相关系数，连续型随机变量 【解析】【解答】对于A选项，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a2对于B选项

17、，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 0 次或 1 次，故是随机变量，B选项正确；对于C选项，线性相关系数 r0 且越大，两个变量的线性相关性越弱，C选项错误；对于D选项，由题知 b=0.25,a=故答案为：BD 【分析】利用已知条件结合方差之间的关系得出将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a2 倍；利用随机变量的定义得出抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量；利用相关系数与两变量线性相关性强弱的关系，得出线性相关系数 r120)=p(xp(x70) ，C符合题意；根据正态分布的对称性知： p(100 x110)=p(90 xp(80 x90) ，D不符合

18、题意.故答案为：AC.【分析】根据函数解析式得到 =100 ， 211.已知函数f(x)的定义域1,5，部分对应值如表，f(x)的导函数y=fx-1045f(x)1221A.函数f(x)的极大值点有2个B.函数f(x)在0,2上是减函数C.若x1,t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4D.当【答案】 A,B 【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点与方程根的关系 【解析】【解答】由 f当 1x0 或 2x4 ， f函数 f(x) 为增函数，当 0 x2 或 4x4 ， f函数 f(x) 为减函数，即当 x=0 时，函数 f(x

19、) 取得极大值，当 x=4 时，函数 f(x) 取得极大值，即函数 f(x) 有两个极大值点，A符合题意，函数 f(x) 在 0,作出 f(x) 的图象如图:若 x1,t 时， 则 t 满足 0t5 ，即 t 的最大值是5，C不符合题意，由 y=f(x)a=0 得 f(x)=a ，若 f(2)1 ，当 1a2 时， f(x)=a 有四个根，若 1f(a)2 ，当 1a2 时， f(x)=a 不一定有四个根，有可能是2个，故函数 y=f(x)a 有4个零点不一定正确，D不符合题意，故答案为：AB 【分析】由 f(x) 的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性的方法，从而判断函数的单调性，进而求出

20、函数的极大值点和极大值，即函数 f(x) 有两个极大值点；再利用函数的图像求出当 x1,t时的函数 f(x) 的最大值是2，则 t 满足 0t5 ，即 t 的最大值是5；由 y=f(x)a=0 得 f(x)=a ，再利用分类讨论的方法结合函数的图像和直线y=a的图像求交点的方法，再结合函数f(x)与直线y=a的交点的横坐标与方程的根、函数y=f(x)a的零点的等价关系，从而得出函数 12.已知数列 an,bn 均为递增数列， A.0a11B.1b12C.【答案】 A,B,C 【考点】数学归纳法 【解析】【解答】因为数列 a所以 a1所以 2a1又 2a20 ，即 因为 b所以 b1所以 b12

21、又 b221 ，即 an= 21+3+(2n1)=2n(1+2n1)因为 bnbn+1=则 bn= b2b当n=1时， S2=2,T当 n2 时假设当n=k时， 22(2则当n=k+1时， 2所以对于任意 nN ，都有 22故答案为：ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件可求出a1，b1范围；求出数列 三、填空题13.随机变量 B(n,p) ，若 E()=30 ， D()=20 ，则 n= _. 【答案】 90 【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型 【解析】【解答】解：因为随机变量 服从二项分布 B(n,p) ，且 E()=30 ， D()=20 ， 所以 E

22、()=np=30D()=np(1p)=20 ，解得 故答案为：90。 【分析】因为随机变量 服从二项分布 B(n,p) ，且 E()=30 ， D()=20 ，再利用二项分布期望和方差公式，从而解方程组求出n,p的值。14.写出一个满足下列条件的三次多项式函数： R 上的奇函数；在 x=1 处的切线斜率为4，则 f(x) 可以为_. 【答案】f(x)=x3+x （答案不唯一，设 f(x)=a【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】【解答】可设 f(x)=ax因为 f(x) 为 R 上的奇函数，所以 f(x)+f(x)=0 ，即 a(x)3+b所以 f(x)=ax3+cx ， 由f(x)=a

23、x3+cx在 x=1 处的切线斜率为4，得 故答案为： f(x)=x3+x （答案不唯一，设 f(x)=a 【分析】利用已知条件，可设 f(x)=ax3+bx2+cx+d ，因为 f(x) 为 R 上的奇函数，再利用奇函数的定义结合等式恒成立问题求解方法，得出b=0,d=0 ， 由f(x)=ax3+cx15.已知函数 f(x)=lnxx ， g(x)=xex ，若存在 x1【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】函数 f(x) 的定义域为 (0,+) ， f(x)=1lnx 当 x(0,e) 时， f(x)0 ， f(x) 单调递增，当 x(e,

24、+) 时， f(x)0 ， f(x) 单调递减，又因为 f(1)=0 ，所以 x(0,1) 时， f(x)0 ； x(e,+) 时， f(x)0 ，同时注意到 g(x)=x所以若存在 x1(0,+) ， x2则 0 x11所以 x1=e所以构造函数 (x)=xex(x0 ， (x) 单调递增；当 x(,1) 时， (x)0 ， (x) 单调递减，所以 (x)最小值=(1)=故答案为： 1 【分析】利用求导的方法判断函数f(x)的单调性，又因为 f(1)=0 ，所以当 x(0,1) 时， f(x)0 ；当 x(e,+) 时， f(x)0 ，同时注意到 g(x)=xex=lnexex=f(ex)

25、，所以若存在 x1(0,+) ， x16.已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， Sn=2na ，则 a= _； 1【答案】 1；【考点】不等式比较大小，等比数列的前n项和 【解析】【解答】根据题意，等比数列 an 的前 n 项和为 S当 n=1 时， a1当 n=2 时， a2当 n=3 时， a3由 (a2)2=所以 Sn=2n1则有 1a故答案为：1； 。 【分析】利用等比数列前n项和公式结合已知条件，再利用赋值法结合等比中项公式，从而利用等比数列前三项的值求出a的值；再利用等比数列前n项和公式结合等比数列的首项求出公比，再利用等比数列的通项公式结合作差比较大小的方法，进而比较出

26、1a四、解答题17.已知数列 an 满足： a1=1 ，且_，其中 nN（1）求数列 a（2）设 bn=1(2nan【答案】 （1）若选：因为数列 an 满足 a可得 an+1+n+1an+n所以数列 a可得 an+n=2若选：数列 an 满足 a当 n2 时，an因为 a1=1 ，可得 当 n=1 时， a1=1 满足 an若选：数列 an 满足 a所以 an+12n+1则必有： an2n（2）由题意及（1）知： bn所以 S=1【考点】函数恒成立问题，数列的概念及简单表示法，等比数列，数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】 （1） 若选：因为数列 an 满足 a1=1 ， a若选：数列

27、an 满足 a1=1an因为 a1=1 ，可得 an=2nn ，当 n=1若选：数列 an 满足 a1=1 ， an+1an=2+n12nn=2n+1n12nn ，所以 18.为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x（元/件）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程y=bx+a，其中【答案】 （1）解： x=y=

28、i=1+(8.68.5)(8080)+(8.88.5)(7580)+(98.5)(6880)=14 ，i=1+(98.5) b= a=回归直线方程为 y=20 x+250 .（2）设工厂获得的利润为 L 万元，则 L=(x7)(20 x+250)=20(x9.75)该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.【考点】二次函数在闭区间上的最值，线性回归方程，回归分析的初步应用 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合最小二乘法，从而求出 y 关于 x 的线性回归方程。 （2） 设工厂获得的利润为 L 万元，结合 y 关于 x 的线性回归方程，则L=(x7)(20 x

29、+250)=20(x9.75)19.设 a 为实数，函数 f(x)=ex2x+a（1）求函数 f(x) 的单调区间与极值； （2）求证：当 aln21 ，且 x0 时，有 【答案】 （1）由题意，函数 f(x)=ex2x+a令 f(x)=ex20所以 f(x) 的单调递减区间是 (,ln2 ，单调递增区间是 因为 f(x) 在 (,ln2 上单调递减，在 所以 f(x)（2）设 g(x)=ex可得 g(x)=ex2x+2a=(由（1）知， g(x)22ln当 aln21 时， 于是对任意 xR ，都有 g(x)0 ，所以 g(x) 在 R 内单调递增，所以当 aln21 对任意的 x0 ，都有

30、 即 g(x)=ex【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值。 （2） 设 g(x)=exx2+2ax1 ， xR ，再利用导数的运算法则求出其导函数，则 g(x)=ex2x+2a=(ex2x+a)+a ， xR ，由（1）知， g(x)22ln2+a+a=2(1ln2+a) ，当 aln21 时， g(x)2(1ln2+ln20.受新冠疫情影响，来我市旅游人数与前几年同期相比有所减少，某土特产超市为预估2021年暑假期间游客购买土特产的情况来制定进货方案，对202

31、0年暑假期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下购买金额及人数分布表：购买金额（元）0,15)15,30)30,45)45,60)60,75)75,90人数101520152010（1）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）售货员佳佳发现：沟帮子烧鸡、锦州小菜、真空包装干豆腐这三种特产成为了本店的“明星”商品.若有一位顾客需要在预选的包括这三种“明星”商品在内的7件（种类均不同）产品中挑选4件特产带回家，求购买的4件特产中包含“明星”商品的件数X的分布列及期望. 附：参考公式和数据：K2=n附

32、表：k02.0722.7063.8416.6357.879P（K2k0）0.1500.1000.0500.0100.005【答案】（1）根据题意，得到22列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090可得K2因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X的分布列是一个超几何分布列，可得P(x=0)=P(x=2)=所以随机变量X的分布列为X0123P112184所以期望为E(x)=01【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）利用已知条

33、件完成 22 列联表，再利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，判断出有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有。 （2） 由题意可知随机变量 X 的可能取值为0，1，2，3，且 X 的分布列是一个超几何分布列， 再利用超几何分布求概率的方法求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。21.已知函数 f(x)=(ax)sin（1）当 a=2 时，证明: f(x) 在 (0,) 上有唯一零点； （2）若 f(x)2 对 x(0,) 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1）当 a=2 时， f(x)=(2x)当 x(0,2) 和

34、(2,) 时， ff(x) 在 (0,2) ， (2,)f(0)=10 f(x) 在 f()=10 f(x) 在 (2,) 上没有零点综上所述： f(x) 在 (0,) 上有唯一零点（2）当 x(0,) 时， f(x)2 恒成立等价于 ax+2+cosx令 g(x)=x+2+cos则 g 当 x(0,2) 时， gg(x) 在 (0,2)g(x)min即 a 的取值范围为： (,2+【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理 【解析】【分析】（1） 当 a=2 时， 从而求出函数的解析式为f(x)=(2x)sinxcosx ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，则函数f(x) 在