离散数学环与域课件

1、离 散 数 学离 散 数 学代数系统的基本概念1半群与含幺半群（独异点）2子群与陪集4同态与同构环与域6 代数系统 群（阿贝尔群与循环群）35代数系统的基本概念1半群与含幺半群（独异点）2子群与陪集4同 定义1:设是含2个二元运算的代数系统, 若：(1) 是阿贝尔群；(2) 是半群；(3) 运算*对是可分配的；则称是环。通常把第1个运算 称为“加法”； 第2个运算 * 称为“乘法”。 环 定义1:设是含2个二元运算的代数系统 如：以下代数系统都是环： 环，其中 I:整数集， +、是加法和乘法，其中 Q:有理数集， +、是加法和乘法，其中 R:实数集， +、是加法和乘法 如：以下代数系统都是环：

2、 环，其中 环的性质：是环，则对a,b,c R，有：(1) a = a = （环中的加法幺元是乘法零元）(2) a (- b) = (- a) b = - (a b)(3) (- a) (- b) = a b(4) a (b - c) = a b - a c(5) (b - c) a = b a - c a其中： 是加法幺元，- a 是 a 的加法逆元， a -1 是 a 的乘法逆元，a + (- b)记为 a b环的性质 环的性质：是环，则对a,b,c R， 环的性质：是环，则对a,b,c A，有：(1) a = a = (2) a (- b) = (- a) b = - (a b) (3)

3、 (- a) (- b) = a b环的性质证明：(1) a =a = + a = a = ( + ) a = a + a由消去律，得 = a ，同理可得 a = (2) a (- b) = (- a) b = - (a b) a (- b) + a b = a (-b + b) = a = 同理 a b + a (- b) = - (a b) = a (- b)；同理 - (a b) =(- a) b(3) (- a) (- b) = a b由(2) (- a) (- b) = -(a (- b) ) = -(- (a b) = a b 环的性质：是环，则对a,b,c A， 环的性质：是环，

4、则对a,b,c A，有：(4) a (b - c) = a b - a c(5) (b - c) a = b a - c a环的性质证明：(4) a (b - c) = a b - a c a (b - c) = a (b +(- c) = a b + a (-c)= a b - a c(5) (b - c) a = b a - c a 证法同(4) 环的性质：是环，则对a,b,c A， 定义2: 是环：(1) 若是交换半群，则称是交换环；(2) 若是含幺半群，则是含幺环；(3) 若A中存在两个非零元素a和b， a ,b ， 使ab= ，则称a和b为零因子，而称是 含零因子环；否则称是无零因子

5、环。 特殊环 定义2: 是环：(1) 若A, 例题1：代数系统是环，Nk=0,1,k-1， +k和k是模k加法和乘法运算，是否含零因子环。解：k=5时，N5=0,1,2,3,4，0是k零元a 0,b0，a5 b = (a b) mod 5 a b 5的倍数，a5b0，是无零因子环 k=6时，N6=0,1,2,3,4,5， 2 N6 ，3 N6 ，2 6 3 = (2 3) mod 6 = 0而2 0，3 0是含零因子环，其中2和3是零因子 要根据k的具体值来确定是否是含零因子环 特殊环 例题1：代数系统是环，Nk=0, 定义3: 是代数系统，若满足 (1) 是阿贝尔群（交换群） (2) 是可交

6、换独异点，且无零因子 (3) 运算对运算+是可分配的 则称为整环。（即：可交换的含幺元的无零因子环） 特殊环：整环无零因子环交换环含幺环整环环几种环之间的继承关系： 定义3: 是代数系统，若满足 定理5-9.2：整环中的无零因子条件等价于乘法消去律。 特殊环证明：(1) 若无零因子，则有消去律若无零因子并设c 且c a = c b，则有c a - c b = ， c ( a - b ) = a - b = a = b左消去律成立，同理可证右消去律成立；(2) 若消去律成立，则无零因子（反证法）假设存在零因子 a、b，即a ，b 有a b = = a ，由消去律得b = ，与b 矛盾， 假设错若

7、消去律成立，则无零因子 定理5-9.2：整环中的无零因子条件等价 定理5-9.2：整环中的无零因子条件等价于乘法消去律。 上节回顾证明：(1) 若无零因子则有消去律若无零因子并设c 且c a = c b，则有c a - c b = ， c ( a - b ) = a - b = a = b左消去律成立，同理可证右消去律成立；(2) 若消去律成立，则无零因子（反证法）假设存在零因子 a、b，即a ，b 有a b = = a ，由消去律得b = ，与b 矛盾， 假设错若消去律成立，则无零因子 定理5-9.2：整环中的无零因子条件等价 定义4： 是代数系统，若满足： (1) 是阿贝尔群 (2) 是阿

8、贝尔群 （ 是加法幺元、乘法零元） (3) 运算对运算+是可分配的则称为域。 即：是域，|A| 1， 中含幺元，可交换，A-中每个元素有乘法逆元。域例：是域：是阿贝尔群；是阿贝尔群 不是域，不是群， 例如2 I-0，但在中，2没有逆元，1/2I-0 定义4： 是代数系统，若满足： ( 定义1:设是含2个二元运算的代数系统, 若：(1) 是阿贝尔群；(2) 是半群；(3) 运算*对是可分配的；则称是环。通常把第1个运算 称为“加法”； 第2个运算 * 称为“乘法”。 上节回顾 定义1:设是含2个二元运算的代数系统 环的性质：是环，则对a,b,c A，有：(1) a = a = （环中的加法幺元是

9、乘法零元）(2) a (- b) = (- a) b = - (a b)(3) (- a) (- b) = a b(4) a (b - c) = a b - a c(5) (b - c) a = b a - c a其中： 是加法幺元，- a 是 a 的加法逆元， a -1 是 a 的乘法逆元，a + (- b)记为 a b上节回顾 环的性质：是环，则对a,b,c A， 定义2: 是环：(1) 若是交换半群，则称是交换环；(2) 若是含幺半群，则是含幺环；(4) 若A中存在两个非零元素a和b，使ab= ，则称a和b为零因子，而称是含零因子环；否则称是无零因子环。 上节回顾 定义2: 是环：(1)

10、 若A, 定义3: 是代数系统，若满足 (1) 是阿贝尔群（交换群） (2) 是可交换独异点，且无零因子 (3) 运算对运算+是可分配的 则称为整环。（即：可交换的含幺元的无零因子环） 上节回顾无零因子环交换环含幺环整环环几种环之间的继承关系： 定义3: 是代数系统，若满足 是代数系统，满足： 是阿贝尔群 是阿贝尔群（即是可交换独异点） 运算对运算+是可分配的整环与域的关联是代数系统，满足是阿贝尔群是可交换独异点，且无零因子运算对运算+是可分配的整环域整环和域可认为是Twins，略有不同。定理5-9.3：域一定是整环。 定理5-9.4：有限整环一定是域。 是代数系统，满足：整环与域的关联 定理

11、5-9.3：域一定是整环。 域证明：设是域， 则是阿贝尔群，e A , e为乘法幺元，可交换，是可交换独异点。整环是：可交换的含幺元的无零因子环只需证满足无零因子条件，即只需证满足乘法消去律。设e是乘法幺元，对于a,b,cA，且a ，若有ab = ac，则 b = e b = a-1 a b = a-1 (a c) = e c = c满足乘法消去律 是整环。 定理5-9.3：域一定是整环。 域证明：设A,+, 定理5-9.4：有限整环必是域。 域证明：设是有限整环，加法幺元 是的零元，并且是可交换独异点,具有乘法幺元e，且e ， 也是可交换独异点,只需证中每个元素都有逆元。对于ai,aj,c A，且ai,aj,c ，且ai aj时，aic ajc，如：A=a1, a2, ai, , c, ai+1, ai+2, , an，c与ai,aj,各不相同。A c=a1 c, a2 c, ai c, c, c c, ai+1 c, ai+2 c, , an c A有限，且运算封闭 A c