新高考2023年版高考数学一轮总复习第10章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识梳理双基自测考点突破互动探究名师讲坛素养提升知识梳理双基自测知识点一分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N_种不同的方法知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法m1m2mnm1m2mn分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类

2、”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.()(4)正十二边形共有54条对角线()(5)用0，1，2，3，4这5个数字可以组成30个三位偶数()题组二走进教材2(选择性必修3P37T1(3)安排6名歌手演出顺序时

3、，要求某歌手不第一个出场，也不是最后一个出场，则不同的安排法种数为_.4803(选择性必修3P27T17改编)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24种B48种C72种D96种C解析区域ABECD涂法432(与A同色)12与A不同色11不同的涂色方法共有4321(21)72(种)，故选C题组三走向高考4(2017天津)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)1 0805(2021全国高考)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰

4、、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A 60种B 120种C 240种D 480种C考点突破互动探究(1)(2021辽宁葫芦岛期末)在6张奖券中，有一、二等奖各一张，其余4张无奖，将这6张奖券分配给3个人，每人2张，则不同的获奖情况有()A24种B18种C12种D9种例1D考点一分类加法计数原理自主练透(2)(2022陕西汉中质检)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，则分别种在不同土质的3块地上，其中黄瓜必须种植，不同的方法有()种()A24B12C18D20C分类标准是运用分类加法计数原理的难点所

5、在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏变式训练1(2022山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为()A70B60C50D40C(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24B18C12D9例2B考点二分步乘法计数原理师生共研(2)有六名同学报名参加三个智力项目

6、，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法解析(1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6318(条)，故选B(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)120引申1本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解析每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报

7、名方法共有36729(种)引申2本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解析每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种)引申3本例(1)中若去掉“先到F处与小红会合”，则最短路径的条数为_.35(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确

8、保连续，逐步完成变式训练2(1)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)(2)(2022西南四省名校联考)某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序()A144B192C216D32436C角度1与数字有关的问题(2020天津和平区二模)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有()A512B192C240D1

9、08例3D考点三两个计数原理的综合应用多维探究引申(1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为_个，其中比2 310大的四位偶数的个数为_个252156109角度2与涂色有关的问题将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A48种B72种C96种D108种例4B角度3与几何有关的问题(2018上海)九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A4B8C12

10、D16例5D解析根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E和D1一样，有248，当A1ACC为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有84416，故选D引申本例中若去掉“以AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个数为_个以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_个解析矩形在棱柱底面上的阳马有24个；矩形为棱柱侧面的阳马有24个；矩形为棱柱对角面的阳马有24个；故共有72个72348利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1弄清完成一件事是做什么2确定是先分类后分步，还是先分步后分类3弄清分步、分类的标准是什么4利用两个计数原理求解

11、注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中0不能排在数的首位变式训练3(1)(角度1)(2021四川眉山诊断)如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)现给图中ABE，BCF，CDG，DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数是()A48B54C72D108C(2)(角度2)(2020四川成都青羊区模拟)由数字0，1，2，3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个()A10B11C12D13(3

12、)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60B48C36D24BB解析(1)根据题意，分3步进行分析：对于“赵爽弦图”ABCD，有4种选法，对于AEB，有3种选法，对于AHD，有2种选法，对于DCG和BCF，若DCG与AEB选的颜色相同，此时有2种选法，若DCG与AEB选的颜色不相同，此时有1种选法，则DCG和BCF有213种选法，则有432372种涂色方法：故选C(2)千位数字为3时满足题意的数字个数为：3！6.千位数字为2时，只有2 013不满足题意，则满足题意

13、的数字的个数为3！15，综上可得：比2 019大的有6511个(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.名师讲坛素养提升巧用图表法、间接法求解计数问题(1)将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是_.例6135(2)(2021吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发，沿着正四面体ABCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是

14、随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有()A6条B7条C8条D9条B(3)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有_种63(2)根据已知，可作出下图，如图知，不同的爬行线路有7条，故选B(3)(间接法)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26163(种)可能情况(1)当问题中涉及到的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题；(2)当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数变式训练4(1)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A4种B6种C10种D16种(2)(2021江苏宿迁市联考)有5名学生志愿者