N机械工程测试第02章信号分析基础课件2

1、第二章作业：2.9, 2.15, 2.16要求：1） 2.9, 2.16采用手算2）2.15采用MATLAB处理。要求给出 源程序以及上机实验结果3）作业上交时间：下周二参考资料：谷源涛，应启珩，郑君里. 信号与系统-MATLAB综合实验.高等教育出版社，2008.第二章作业：2.9, 2.15, 2.16要求：解：根据式(2.26)有 例3 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为 ，脉冲宽度为 ，如图所示。 2.3 周期信号的频域分析 解：根据式(2.26)有 例3 求周期矩形脉冲的频谱，设周(2.36)(2.38)(2.39)(2.37)定义 则式（2.36）变为可得到周期矩形脉冲信

2、号的傅里叶级数展开式为由于 ，代入上式得2.3 周期信号的频域分析 (2.36)(2.38)(2.39)(2.37)定义 则式（图2.17 周期矩形脉冲的频谱2.3 周期信号的频域分析 图2.17 周期矩形脉冲的频谱2.3 周期信号的频域分析 通常将 这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽，用符号 表示：(2.40) 考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。2.3 周期信号的频域分析 通常将 这段频图2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系 脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉宽减小时，由式(2.39)可知，信号频谱幅值也越小。

3、2.3 周期信号的频域分析 图2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系 脉冲宽度愈窄，信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：图2.19 信号周期与频谱的关系 周期愈大，信号谱线的间隔便愈小。若周期无限增大，亦即趋于无限大，原来的周期信号变成非周期信号此时，谱线变得越来越密集，最终谱线间隔趋近于零，整个谱线便成为一条连续的频谱。由式(2.39)可知，当周期增大而脉宽不变时，各频率分量幅值相应变小。2.3 周期信号的频域分析 信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：图2.1周期矩形脉冲信号特点周期增大时，谱线变密，幅度减小；脉宽减小时，带宽增加，幅度减小。周期脉宽（脉冲宽度）带宽谱

4、线密度幅度决定2.3 周期信号的频域分析 周期矩形脉冲信号特点周期增大时，谱线变密，幅度减小；周期脉2.4 非周期信号的频域描述2.4.1 傅里叶变换2.4 非周期信号的频域描述2.4.1 傅里叶变换 设 为 区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式(2-1)式中(2-2)将式(2-2)代入式(2-1)得(2-3)2.4.1 傅里叶变换 设 为 区间上的一个周期函 当 时，区间 变成 ，频率间隔 变为无穷小量，离散频率 变成连续频率 。 由式(2-3)得到(2-4)将式(2-4)中括号中的积分记为：(2-5)它是变量 的函数。2.4.1 傅里叶变换 当 时，区间 变成 则(2-4)式可

5、写为：(2-6) 将 称为 的傅里叶变换，而将 称为 的逆傅里叶变换，记为：(2-7)2.4.1 傅里叶变换则(2-4)式可写为：(2-6) 将 称为 (2.8)(2.9)(2.10) 若将上述变换公式中的角频率 用频率 来替代，则由于 ，式（2-5）和（2-6）分别变为的物理意义与相同，仅单位不同。是复数，因而可以写成： 从式(2.9)可知，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中 是谐波 的系数，决定着信号的振幅和相位。2.4.1 傅里叶变换(2.8)(2.9)(2.10) 若将上述变换公式中的信号的幅值谱密度，相位谱密度，实谱密度，虚谱密度反映了信号的特定性质，利用各种不同

6、谱图分析的信号的性质就称为谱分析“谱”是什么意思？“谱”就是符号，图形的意思。对什么的图形，符号？对频率的图形符号。2.4.1 傅里叶变换(能量谱，有理谱)信号的幅值谱密度，相位谱密度，实谱密度，虚谱密度反映了信号的非周期函数 存在有傅里叶变换的充要条件： 1）在区间 上绝对可积，即 2.4.1 傅里叶变换2）为能量有限信号：3）在满足狄里赫利条件非周期函数 存在有傅里叶变换的充要条件： 例4 求图示单边指数函数的频谱。图2.21 单边指数函数 解：由式(2.8)有于是2.4.1 傅里叶变换例4 求图示单边指数函数的频谱。图2.21 单边指数幅频谱相频谱图2.22 单边指数函数的频谱2.4.1

7、 傅里叶变换幅频谱相频谱图2.22 单边指数函数的频谱2.4.1 傅里叶例5 图所示为一矩形脉冲(又称窗函数或门函数)，用符号 表示：图 矩形脉冲函数(1)求该函数的频谱。解：2.4.1 傅里叶变换例5 图所示为一矩形脉冲(又称窗函数或门函数)，用符号图2.24 矩形脉冲函数的频谱其幅频谱和相频谱分别为 ：(2)(3) 可以看到，窗函数 的频谱 是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个 弧度。(4) 矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用 表示矩形脉冲函数则有： 2.4.1 傅里叶变换图2.24 矩形脉冲函数的频谱其幅频谱和相频谱分别为 ：(22.4.2 傅立

8、叶变换的性质线性尺度变换性 奇偶性时移性频移性（亦称调制性）卷积 时域微分和积分 频域微分和积分2.4.2 傅立叶变换的性质1. 线性如果有则和2.4.3 傅立叶变换的性质证明：根据傅里叶变换的定义进行证明1. 线性如果有则和2.4.3 傅立叶变换的性质证明：根据例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简2 时移性如果有则例 求下图所示矩形脉冲函数的频谱。2.4.3 傅立叶变换的性质2 时移性如果有则例 求下图所示矩形脉冲函数的频谱。2. 解：该函数的表达式可写为 可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至 点位置

9、所形成。幅频谱和相频谱分别为则2.4.3 傅立叶变换的性质解：该函数的表达式可写为 可视为一个中心位于坐标原3. 频移性(亦称调制性) 如果有则 常数。 时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于 处，另一半位于 处。2.4.3 傅立叶变换的性质3. 频移性(亦称调制性) 如果有则 常数。 图2.33 的频谱 2.4.3 傅立叶变换的性质傅里叶变换的频移特性图2.33 4. 时间比例特性（尺度变换性）如果有则对于实常数 ，有 若信号 在时间轴上被压缩至原信号的 ，则其频谱函数在频率轴上将展宽 倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的 。（尺度变换性或时频

10、展缩性） 信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。 2.4.3 傅立叶变换的性质4. 时间比例特性（尺度变换性）如果有则对于实常数 ，窗函数的尺度变换2.4.3 傅立叶变换的性质窗函数的尺度变换2.4.3 傅立叶变换的性质5. 卷积频域卷积如果有则时域卷积如果有则式中 表示 与 的卷积。2.4.3 傅立叶变换的性质5. 卷积频域卷积如果有则时域卷积如果有则式中 证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知，代入上式得2.4.3 傅立叶变换的性质证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有2.4.3 傅立叶变 卷积的图解 2.4.3 傅立叶变换的性质 卷积的图解 2.4.3 傅立叶变

11、换的性质2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换1. 单位脉冲函数 在时间内激发有一矩形脉冲p(t)的幅值为1/，面积为1。当0时，该矩形脉冲p(t)的极限便称为单位脉冲函数或函数。性质：(1)(2)2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换1. 单位脉冲函数 由函数的两条性质式(2.96)和(2.97) ，可得其中x(t)在t=t0时是连续的。 单位脉冲函数(t)的傅里叶变换 ：即：图2.37 (t)及其傅里叶变换 2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换由函数的两条性质式(2.96)和(2.97) ，可得图2.2 时移单位脉冲函数(t-t0)的傅里叶变换对： 3 常数1的傅里叶变换对： 2.4.3 一些

12、特殊函数的傅里叶变换2 时移单位脉冲函数(t-t0)的傅里叶变换对： 3 常数N机械工程测试第02章信号分析基础课件24 余弦函数余弦函数的频谱：正弦函数的频谱：欧拉公式：2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换4 余弦函数余弦函数的频谱：欧拉公式：2.4.3 一正余弦信号的傅里叶变换2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换正余弦信号的傅里叶变换2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变5 周期函数 周期函数x(t)的傅里叶级数形式： 一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于x(t)各谐波频率上的单位脉冲函数组成。x(t)的傅立叶变换为：式中(a)2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换5 周期函数 周期函数x(t

13、)的傅里叶级数形式： 例 求单位脉冲序列 的傅里叶变换解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式 于是有对式(b)两边作傅里叶变换得 根据式(a)可得 亦即(b)例 求单位脉冲序列 一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的)一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为0=2/T，且各脉冲分别位于各谐波频率n0=n2/T上，n=0, 1, 2, 。图 周期脉冲序列函数及其频谱 一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的)一个周期脉冲序2.5 随机信号描述2.5.1概述2.5.2 随机过程的主要特征参数2.5.3 功率谱分析2.5.4相关分析2.5 随机信号描述2.5.1概述2.5.1 概述 随机信号特点：

14、- 具有不能被预测的瞬时值；- 不能用解析的时域模型来加以描述；- 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。2.5.1 概述 随机信号特点：- 具有不能被预测的 描述随机信号必须采用概率统计的方法： - 样本函数：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察，记作 ； - 样本记录：在有限时间区间上的样本函数。 - 随机过程：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为 2.5.1 概述 描述随机信号必须采用概率统计的方法： - 样本随机过程与样本函数随机过程的集合平均统计特征不是沿某单个样本计算，而是在集合中某时刻t 对所有样本函数的观测值取平均。按单个样本的时间历程进行平均的计算称为时间平均

15、随机过程与样本函数随机过程的集合平均统计特征不是沿某单个样本-均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。-均值：-均方值：对随机过程常用的统计特征参数： 这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。分类：平稳随机过程； 非平稳过程。2.5.1 概述-均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱 平稳随机过程 ： 过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。 2.5.1 概述对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为各态历经过程。

16、工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的许多都具有各态历经性。 平稳随机过程 ： 过程的统计特性不 均值 表示信号的常值分量。2.5.2 随机过程的主要特征参数对于一个各态历经过程 ，其均值 定义为1、均值 变量 的数学期望值； 样本函数 ； 观测的时间。 均值 表示信号的常值分量。2.5.2 随机过程的主随机信号的均方值 定义为 变量 的数学期望值。 均方值描述信号的能量或强度。 的平方根称均方根值 。2、均方值2.5.2 随机过程的主要特征参数随机信号的均方值 定义为 变量 的 方差 表示随机信号的波动分量，方差的平方根 称为标准偏差。随机信号的方差 定义为3、方差 、 、 之间的关系

17、为2.5.2 随机过程的主要特征参数 方差 表示随机信号的波动分量，方差的平方根 称随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：2.5.2 随机4、概率密度函数- 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间 内的概率对 比值的极限值。- 概率密度函数 则定义为：2.5.2 随机过程的主要特征参数4、概率密度函数- 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值4、概率密度函数2.5.2 随机过程的主要特征参数4、概率密度函数2.5.2 随机过程的主要特征参数4、概率密度函数 概率密度可以直接用来判断设备的运行状态。图示为某一

18、高速滚动轴承工作时振动加速度信号的幅值概率密度函数图，其中蓝线为正常轴承的，红线为故障轴承的。由于磨损、腐蚀等故障的出现，轴承振幅增大，谐波增多，反映到概率密度上则使之变得陡峭，同时两旁展宽。因此，比较不同工况下的振动信号图，就可以大致判断设备运行状态是否发生变化。 2.5.2 随机过程的主要特征参数4、概率密度函数 概率密度可以直接用来判断设备的运行状概率密度函数与概率分布函数间的关系式中 为 值小于或等于 的总时间。- 概率分布函数 表示随机信号的瞬时值低于某一给定值 的概率，即5、概率分布函数2.5.2 随机过程的主要特征参数概率密度函数与概率分布函数间的关系式中 为 值小1、自功率谱密

19、度函数 2、互功率谱密度函数 3、自谱和互谱的估计4、工程应用 2.5.2 功率谱分析1、自功率谱密度函数 2.5.2 功率谱分析1、自功率谱密度函数2.5.4 功率谱分析1）随机信号是功率信号，对其做截断处理2）对截断信号进行傅里叶变换1、自功率谱密度函数2.5.4 功率谱分析1）随机信号是功3） 求截断信号的平均功率是实数，故有：（*）3） 求截断信号的平均功率是实数，故有：（*）（*）对公示两边取极限，则有：令：描述了随机信号的平均功率在各个不同不同频率上的分布称为自功率谱密度函数（*）对公示两边取极限，则有：令：描述了随机信号的平均功率在4) 单边谱，双边谱 根据信号功率（或能量）在频

20、域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、宽带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附近，宽带过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。 4) 单边谱，双边谱 根据信号功率（或能量）在频5) 互功率谱密度函数2.5.4 功率谱分析互功率谱密度函数采用两个随机信号的截断信号来定义为双边谱，与类似，的单边谱为5) 互功率谱密度函数2.5.4 功率谱分析互功率谱密 也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含非负频率的单边互谱 ，由此规定 自谱是 f 的实函数，而互谱则为 f 的复函数，实部Cxy(f) 称为共谱，虚部 Qxy( f ) 称为重谱.2.5.4 功率谱分析 也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含写为幅频和相频的形式：2.5.4 功率谱分析互谱密度函数为复数，表示出了两信号之间的幅值与相位关系写为幅频和相频的形式：2.5.4 功率谱分析互谱密度函数为6) 自谱和互谱的估计互谱的估计为定义功率谱亦即自谱的估计值2.5.4 功率谱分析6) 自谱和互谱的估计