因式分解常用方法

1、关于因式分解常用方法第1页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四复习回顾口答：第2页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四问题：630可以被哪些整数整除？ 解决这个问题，需要对630进行分解质因数630 = 23257类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题新课引入第3页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四试试看(将下列多项式写成几个整式的乘积)回忆前面整式的乘法第4页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多

2、项式 ，也叫做把这个多项式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解与整式乘法是逆变形第5页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四 依照定义，判断下列变形是不是因式分解（把多项式化成几个整式的积）第6页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四创设情景 学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。abcm第7页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四abcm方法一：S = m ( a + b + c )方法二：S = ma + mb + mcmm第8页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四方

3、法一：S = m ( a + b + c )方法二：S = ma + mb + mcm ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )第9页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。这种方法叫做提公因式法。提公因

4、式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。第10页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四8a3b212ab3c 的公因式是什么？最大公约数相同字母最低指数公因式4ab2一看系数二看字母三看指数观察方向第11页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc).第12页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.分析:

5、( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.解:2a(b+c) 3(b+c)=(b+c)(2a-3).第13页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四做一做 按照提公因式法因式分解。第14页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四 公式法利用完全平方公式因式分解利用平方差公式因式分解第15页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四公式回顾平方差公式：完全平方公式：立方和公式：立方差公式：考试不会涉及选学，不做统一要求，维度A第16页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四复习回顾还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？平方差公式：完全平方公

6、式：计算：第17页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四= (999+1)(9991)此处运用了什么公式?新课引入试计算：9992 112= 1000998 = 998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2 ;（2）y2 4 2522 52= (x+2)(x2)= (y+5)(y5) 这些计算过程中都逆用了平方差公式即：第18页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _

7、100 x2 9y2 =_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)第19页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四= y2 4x2 = (y+2x)(y2x)= (x2)2 12 = (x2+1) (x21)（1） 4x2 + y2解：原式（2） x4 1解：原式(x21)= ( 4x2 y2 ) = (2x+y)(2xy)(x+1)(x1)因式分解一定要分解彻底 !例如：1第20页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四（3） 6x3 54xy2解：原式 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y

8、)（4） (x+p)2 (xq)2 解：原式= (x+p)+(xq) (x+p)(xq) = (2x+pq)(p+q)YXYXYX例如：2第21页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四做一做 利用平方差公式因式分解。第22页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四 公式法利用完全平方公式进行因式分解第23页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四复习回顾还记得前面学的完全平方公式吗？计算：第24页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四新课引入试计算：9992 + 1998 + 129991= (999+1)2 = 106此处运用了什么

9、公式?完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。即：第25页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)2第26页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平

10、方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。第27页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 4x2 8xy + 4y2= (4x+3)2= (4x24xy+y2)= (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2例如第28页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四做一做 用完全平方公式进行因式分解。第29页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四做一做 用恰当的方法进行因式分解。备选方法：提公因式法平方差公式完全平方公式第30页，共40

11、页，2022年，5月20日，4点52分，星期四 因式分解十字相乘法第31页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(mn)+13(nm)2）4(x+y)+4(x3y)复习回顾第32页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。复习回顾第33页，共40页，202

12、2年，5月20日，4点52分，星期四常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导复习回顾第34页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程不要与(x+

13、y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆复习回顾第35页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四公式法随堂练习：1）(a210a+25)(a225)2）x3+3x2+3x+1二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。复习回顾第36页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四三、十字相乘法试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。第37页，共40页，2022年，5月20日，4点52分，星期四= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124+ 3= 76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+ 15= 1113255+ 63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)第38页，共40页，2022年，5月20