统计学 第四章 数据的概括性度量课件

1、统计学第四章 数据的概括性度量集中趋势各测度值的计算方法集中趋势各测度值的特点及应用场合离散程度各测度值的计算方法离散程度各测度值的特点及应用场合偏态与峰态的测度方法用Excel计算描述统计量并进行分析学习目标本章学习目标4.1 集中趋势的度量4.1 集中趋势的度量分类数据：众数M0数值型数据：平均数顺序数据：中位数Me和分位数众数、中位数和平均数的比较12344.1.1 分类数据：众数集中趋势一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据

2、4.1.1 分类数据：众数（例题）不同品牌饮料的频数分析饮料品牌频数百分比%果汁612矿泉水1020绿茶1122碳酸饮料1530其他816合计50100分类变量变量值众数饮料品牌就是分类变量不同类型的饮料频数就是变量值碳酸饮料的人数最多，为15人，因此众数为“碳酸饮料”4.1.1 分类数据：众数（例题）甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数甲城市户数百分比%非常不满意2412不满意10820一般9322满意4530非常不满意3016合计300100分类变量变量值众数回答类别就是分类变量甲城市户数的频数就是变量值不满意的人数最多，为108人，因此众数为“碳酸饮料”4.1.2 分类数

3、据：中位数和分位数中位数定义排序后处于中间位置上的值50%50%Me不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即：中位数特征4.1.2 分类数据：中位数和分位数中位数位置中位数确定N为奇数N为偶数甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数甲城市户数累计频数非常不满意2424不满意108132一般93225满意45270非常不满意30300合计300100中位数位置中位数的位置：(300+1)/2150.5从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中中位数为Me=一般4.1.2 分类数据：中位数和分位数排序660750780

4、85096010801250150016302000位置1234567891-例：9个家庭的人均月收入数据数据位置中位数4.1.2 分类数据：中位数和分位数（例）4.1.2 分类数据：四分位数25%25%QL25%25%QMQU四分卫数是排序处于25%和75%位置上的值，不受极端值的影响原始数据15007507801080850960200012501630排序75078085096010801250150016302000位置123456789数据QL位置4.1.2 分类数据：四分位数QU位置4.1 集中趋势的度量分类数据：众数M0数值型数据：平均数顺序数据：中位数Me和分位数众数、中位数和

5、平均数的比较1234也称为均值集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响有简单平均数和加权平均数之分根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为x4.1.3 数值型数据：平均数平均数特征设一组数据为：x1 ，x2 ， ，xn (总体数据xN) 数据设定样本平均数总体平均数4.1.3 数值型数据：简单平均数设各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为：f1 ， f2 ， ，fk数据设定样本平均数总体平均数4.1.3 数值型数据：加权平均数某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mi fi

6、14015014545801501601559139516017016516264017018017527472518019018520370019020019517331520021020510205021022021581720220230225490023024023551175合计120222004.1.3 数值型数据：加权平均数加权平均数的计算4.1.3 数值型数据：几何平均数一位投资者购持有一种股票，连续4年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率 例题答案几何平均数算数平均数4.1 集中趋势的度量分类数据：众数M0数值型数据：平均数

7、顺序数据：中位数Me和分位数众数、中位数和平均数的比较1234众数中位数平均数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用4.1 众数、中位数、平均数的特点和应用4.2 离散程度的度量4.2 离中趋势数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值4.2 离散程度的度量分类数据：异众比率数值型数据：平均数顺序数据：四分位差相对离散程度：离散系数12344.2.1 异众比率(varia

8、tion ratio)对分类数据离散程度的测度非众数组的频数占总频数的比例计算公式为 用于衡量众数的代表性4.2.1 异众比率 (例题分析)解：在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 果汁 矿泉水 绿茶 其他 碳酸饮料61011 8 150.120.200.220.160.301220221630合计5011004.2.2 离散程度的度量分类数据：异众比率数值型数据：平均数顺序数据：四分位差相对离散程度：离散系数1234对顺序数据离散程度的测度也

9、称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差Qd = QU QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性4.2.2 四分位差(quartile deviation)解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3四分位差为 Qd = QU - QL = 3 2 = 1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计3004.2.2 四分位差(例题分析)4.2

10、.3 离散程度的度量分类数据：异众比率数值型数据：方差和标准差顺序数据：四分位差相对离散程度：离散系数12344.2.3 极差(Range）一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布计算公式为：R = max(xi) - min(xi)4.2.3 平均差(mean deviation)各变量值与其平均数离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据组距分组数据4.2.3 平均差(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140150150 160160 170170 1

11、80180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计12020404.2.3 平均差(例题分析)含义：每一天的销售量平均数相比，平均相差17台习题答案4.2.3 方差和标准差(variance and standard deviation)数据离散程度的最常用测度值反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为2()；根据样本数

12、据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!4.2.3 样本方差和标准差 (sample variance and standard deviation)自由度是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k4.2.

13、3 自由度(degree of freedom)4.2.3 自由度(degree of freedom)样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值为什么样本方差的自由度为什么是n-1呢？因为在计算离差平方和时，必须先求出样本均值x ，而x则是附件给离差平方和的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方

14、差2时，它是2的无偏估计量4.2.3 样本标准差 (例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计120554004.2.3 样本标准差(例题分析)含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台习题4.2.3 总体方

15、差和标准差(Population variance and Standard deviation)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式4.2.3 标准分数也称标准化值对某一个值在一组数据中相对位置的度量可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)用于对变量的标准化处理计算公式为4.2.3 标准分数(性质)z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1 z分数4.2.3 标准分数 (例题分析)9个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号人均月收入（元） 标准化值

16、z 1234567891500 750 7801080 850 960200012501630 0.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.556 1.853 0.116 0.9964.2.3 经验法则经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 4.2.3 切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality )如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用切比雪夫不等式提供的是“

17、下界”，也就是“所占比例至少是多少”对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数对于k=2，3，4，该不等式的含义是至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内4.2.3 切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality )4.2.3.4 离散程度的度量分类数据：异众比率数值型数据：方差和标准差顺序数据：四分位差相对离散程度：离散系数12344.2.4 离散系数(coefficien

18、t of variation)标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响用于对不同组别数据离散程度的比较计算公式为【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度习题样题某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.04.2.4 离散系数 (例题分析)4.2.4 离散系数(例题分析)结论： 计算结果表明，v1 0为右偏分布3. 偏态系数 0为左偏分布偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-1-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低 4.3 偏态与峰态的度量4.3偏态系数(coefficient of skewness)根据原始数据计算根据分组数据计算4.3 偏态系数(例题分析) 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组(台) 组中值(Mi)频数 fi140 150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 2401451