专题5导数的应用含参函数的单调性讨论

1、专题5导数的应用含参函数的单一性议论“含参数函数的单一性议论问题”是最近几年来高考考察的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单一性议论经常出此刻研究函数的单一性、极值以及最值中，所以在高考复习中更应惹起我们的重视一、思想方法：f(x)0 xAf(x)0 xCxD时f(x)0D时f(x)0D时f(x)0B.f(x)增区间为和A,B.D.f(x)增区间为C,D和.(x)在区间D上为增函数(x)在区间D上为减函数(x)在区间D上为常函数议论函数的单一区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的议论二、典例解说典例1议论f(x)xa的单一性，求其单一区间x解：f

2、(x)xa的定义域为(,0)(0,)xf(x)1ax2a(x0)(它与g(x)x2a同号)x2x2I）当a0时，f(x)0(x0)恒建立，此时f(x)在(,0)和(0,)都是单一增函数，即f(x)的增区间是(,0)和(0,);II)当a0时f(x)0(x0)xa或xaf(x)0(x0)ax0或0 xa此时f(x)在(,a)和(a,)都是单一增函数，f(x)在(a,0)和(0,a)都是单一减函数，即f(x)的增区间为(,a)和(a,);f(x)的减区间为(a,0)和(0,a).步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于议论正负），、先议论只有一种单一区间的（导函数同号的）

3、状况，4、再议论有增有减的状况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单一区间不要归并变式练习1议论f(x)xalnx的单一性，求其单一区间解：f(x)f(x)1I）当a0时，此时f(x)xalnx的定义域为(0,)axa(x0)(它与g(x)xa同号)xxf(x)0(x0)恒建立，在(0,)为单一增函数，即f(x)的增区间为(0,)，不存在减区间;II)当时f(x)0(x0)xa;a0f(x)0(x0)0 xa此时f(x)在(a,)为单一增函数，f(x)在(0,a)是单一减函数，即f(x)的增区间为(a,);f(x)的减区间为(0,a)典例2议论f(x)axlnx的

4、单一性解：f(x)axlnx的定义域为(0,)f(x)a1ax1(x0)(它与g(x)ax1同号)xxI）当a0时，f(x)0(x0)恒建立（此时f(x)0 x1没存心a义）此时f(x)在(0,)为单一增函数，即f(x)的增区间为(0,)II）当a0时，f(x)0(x0)恒建立，（此时f(x)0 x1不在定义域内，没存心义）a此时f(x)在(0,)为单一增函数，即f(x)的增区间为(0,)III)当a0时,令f(x)0 x1a于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化状况以下表：(联合g(x)图象定号)x(0,1)1(1,)aaaf(x)0f(x)增减所以，此时f(x)在(0,1)为单一增函数

5、，f(x)在(1,)是单一减函数，aa即f(x)的增区间为(0,1);f(x)的减区间为(1,)aa小结：导函数正负的相应区间也能够由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出f(x)的零点，再其分区间而后定f(x)在相应区间内的符号一般先议论f(x)0无解状况，再议论解f(x)0过程产生增根的状况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实质上不在定义域内的），即依据f(x)零点个数从少到多，相应原函数单一区间个数从少到多议论，最后区间（最好联合导函数的图象）确立相应单一性变式练习2议论f(x)1ax2lnx的单一性2解：f(x)1ax2lnx的

6、定义域为(0,)2f(x)ax1ax21(x0),它与g(x)ax21同号.xx令f(x)0ax210(x0)，当a0时，无解；当a0时,x1a(另一根不在定义域aa内舍去)i)当a0时，f(x)0(x0)恒建立（此时f(x)0 x21没存心义）a此时f(x)在(0,)为单一增函数，即f(x)的增区间为(0,)ii)当a0时，f(x)0(x0)恒建立，(此时方程ax210鉴别式0,方程无解)此时f(x)在(0,)为单一增函数，即f(x)的增区间为(0,)当a0时,当x变化时，f(x),f(x)的变化状况以下表：(联合g(x)图象定号)x(0,1)1(1,)aaaf(x)0f(x)增减所以，此时

7、f(x)在(0,1)为单一增函数，f(x)在(1,)是单一减函数，aa即f(x)的增区间为(0,1);f(x)的减区间为(1,)aa小结：一般最后要综合议论状况，归并同类的，如i),ii)可归并为一类结果关于二次型函数（如g(x)ax21）议论正负一般先依据二次项系数分三种种类议论典例3解：f(x)f(x)当a求f(x)a2x3ax2x1的单一区间a2x3ax2x1的定义域为R，3a2x22ax1(3ax1)(ax1)0时，f(x)10f(x)在R上单一递减，f(x)减区间为R，无增区间II)当a0时3a20，f(x)是张口向上的二次函数，令f(x)0得x11,x21(a0),所以可知（联合f

8、(x)的图象）3aai)当a0时，x1x2f(x)0 x11;f(x)011或x3ax3aaa所以此时，f(x)的增区间为(,1)和(1,)；f(x)的减区间为(1,1)a3aa3aii)当a0时，x1x2f(x)0 x1或x1;3aaf(x)0113axa所以此时，f(x)的增区间为(,1)和(1,)；f(x)的减区间为(1,1)3aa3aa小结：求函数单一区间可化为导函数的正负议论（即分议论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式议论，当二次函数张口定且有两根时，一般要注意议论两根大小（分大、小、等三种状况）。含参二次不等式解时要先看可否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看张口及

9、两根大小，注意联合图象确立相应区间正负变式练习3求f(x)1x33解：f(x)的定义域为R，f(x)1ax2x1的单一区间2x2ax1f(x)是张口向上的二次函数，a24I)当02a2时，f(x)0恒建立所以此时f(x)在R上单一递加，f(x)增区间为R，无减区间II)当0a2或a2时令f(x)0得x1aa24,x2aa24,x1x222所以可知（联合f(x)的图象）f(x)与f(x)随x变化状况以下表x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)x1,x2代f(x)00f(x)增减增所以此时，f(x)的增区间为(,aa24)和(aa24,)；22f(x)的减区间为(aa24,aa24)22小结

10、：三次函数的导函数是常有二次函数，当二次函数张口准时对其正负进行议论的，要依据鉴别式议论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单一的较简单应先议论；而后再议论有两不等根的，联合导函数图象列变化表，注意用根的符号替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0不影响单一性只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种状况总结：求单一区间要确立定义域，确立导函数符号的重点是看分子相应函数，所以议论点有：第一是种类（一次与二次的根个数明显不一样)；第二有没有根（二次的看鉴别式），第三是有根能否为增根（在不在定义根内；第四有根确实定谁大；第

11、五看区间内导函数的正负号（二次函数要看张口）确记要数形联合，多半考题不会所有议论点都要议论的，题中常常有特别条件，许多议论点会同时确立（即知一个就同时确立另一个）鉴别式与张口的议论点先谁都能够，但从简单优先原则下可先依据鉴别式议论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单一函数较简单导数的应用含参函数的单一性议论班级姓名1.已知函数f(x)lnxa，求f(x)的单一区间.x解：函数的定义域为（0，+），fx1axaxx2x2,令fx0得：xa若a即a，则fx0,fx在(0,)上单一递加；00若a即a，则由fx0得x-a,由fx得x0,故在单一递加.若0,即时

12、，由得，a1x1；由得，0 xa1或x1故在单一递减，在单一递加.若,即时，由得，1xa1；由得，0 x1或xa1故在单一递减，在单一递加.综上所述，当a1，单一增区为(1,),减区间是(0,1);当时，的减区间是，增区间是；当时，在定义域上递加，单一增区为（不存在减区间）;当时，的减区间是，在增区间是.3.已知函数f(x)ax33x23x1,aR,议论函数f(x)的单一性.解：因为f(x)ax33x23x1,aR，所以f/(x)3(ax22x1)(1)当a0时，f/(x)3(2x1)，当x1,时，f/(x)0；当x1,时，f/(x)0；22所以函数f(x)在(,1上单一递加，在1,)上单一递

13、减；22(2)当a0时，f/(x)3(ax22x1)的图像张口向上，36(1a)I)当a1时，36(1a)0,时，f/(x)0，所以函数f(x)在R上递增；II)当0a1时，36(1a)0,时，方程f/(x)0的两个根分别为x111a,x211ax2,aa,且x1所以函数f(x)在(,11a)，(11a,)上单一递加，aa在(11a,11a)上单一递减；aa(3)当a0时，f/(x)3(ax22x1)的图像张口向下，且36(1a)0方程f/(x)0的两个根分别为x111a,x211a,且aax1x2,所以函数f(x)在(,11a)，(11a,)上单一递减，aa在(11a,11a)上单一递加。a

14、a综上所述，当a0时，所以函数f(x)在(11a,11a)上单一递加，aa在(11a11a)上单一递减；,a)，(a,当a0时，f(x)在(,1上单一递加，在1,)上单一递减；22当0a1时，所以函数f(x)在(11a11a)上单一递,a)，(a,增，在(11a,11a)上单一递减；aa当a1时，函数f(x)在R上递加；已知函数.议论的单一性.解：因为f(x)lnxax1a)x1的定义域为(0,所以f(x)1aa1ax2x1ax(0,)，xx2x2令h(x)ax2x1a,x(0,)，则f(x)与g(x)同号法一：依据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与张口相关，所以可先分种类议论：当a0时

15、，因为1101，h(x)张口向下,联合其图象易知ax(0,1)，h(x)0,此时f(x)0，函数f(x)单一递减；x(1,)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递加.当a0时，h(x)张口向上,但x2能否在定义域需要议论：因110a0或a1所以ai)当a1时，因为1101，h(x)张口向上,联合其图象易知ax(0,1)，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递加.x(1,)时，h(x)0,此时f(x)0，函数f(x)单一递减；ii)当0a1时，g(x)张口向上且x1,x2(0,)，但两根大小需要议论：a)1时，x1x2,h(x)0恒建立，当a2此时f(x)0，函数f(x)在（

16、0，+）上单一递减；b)当0a11110，g(x)张口向上且在（0，）有两根2时，ax(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递减；x(1,11)时h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递加；ax(11,)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递减；ac)当1a1时，0111，g(x)张口向上且在（0，）有两根2ax(0,11)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递减；ax(11,1)时h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递加；ax(1,)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递减；小结：此法是把单一区间议论化归为导函数符号议论，

17、而确立导函数符号的分子是常有二次型的，一般要先议论二次项系数，确立种类及张口；而后因为定义域限制议论其根能否在定义域内，再议论两根大小注，联合g(x)的图象确立其在相应区间的符号，得出导函数符号。议论重点与解含参不等式的议论相应。法二：110a0或a1ai)当a0时，因为1a101，h(x)张口向下,联合其图象易知x(0,1)，h(x)0,此时f(x)0，函数f(x)单一递减；x(1,)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递加.ii)当a1时，因为1100)令g(x)2a(1a)x22(1a)x1,则f(x)与g(x)同号（1）当a1时，g(x)1,f(x)10,f(x)lnx在定

18、义域(0,)上为增函数x(2)当a1时,4(1a)28a(1a)12a216a44(3a1)(a1)当01a1时，g(x)张口向上，图象在x轴上方，所以g(x)03所以f(x)0，则f(x)在(0,)上单一递加当0a11,此季节f(x)0，解得或a3x11a,x21a2a(1a)2a(1a)因为2a(1a)00a1g(x)张口向上且0 x1x2，所以可进一步分类议论以下：i)当a1时，2a(1a)0g(x)张口向下，x20 x1x0，f(x)00 xx1;f(x)0 xx1则f(x)在(0,1a(3a1)(a1)上单一递加，2a(1a)在(1a(3a1)(a1),)上单一递减2a(1a)ii)当0a1时，f(x)00 xx1或xx2;f(x)0 x1xx23则f(x)在1a(3a1)(a1)，1a(3a1)(a1),)上单一(0,2a(1a)(2a(1a)递加，在(1a(3