广东省汕头市潮南区2026年初中学业水平模拟考试数学试卷附答案

初中学业水平模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．下列实数中，最小的数是（）A． B．0 C． D．2．已知直线经过点，则的值等于（）A．5 B． C．7 D．3．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．A． B．C． D．4．把分解因式，结果正确的是（）A． B．C． D．5．下列等式一定成立的是（）A． B．C． D．6．从“我命由我不由天”这句话中随机选取一个汉字，选取“我”字的概率是（）A． B． C． D．7．如图，在中，，点在直线上．若，，则的度数为（）A． B． C． D．8．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值6 D．有最小值69．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（）A．2 B．1 C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．11．在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作个.12．已知a，b在数轴上位置如图，化简．13．使函数有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，则函数的定义域为．14．已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是度.15．如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．计算：．17．如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；（2）在边上找一点，使得．18．某数学兴趣小组想要利用所学的知识测量某栋大楼的高度，记录如下：课题测量大楼的高度活动方案方案一方案二测量方案示意图实施方案1、选取与大楼底部位于同一水平地面的处；2、在处，测量大楼顶部的仰角；3、沿着方向走至处，测量大楼顶部处的仰角；4、测量、之间的距离．1、选取大楼旁的建筑物；2、在处，测量大楼顶部处的仰角；3、在处，测量大楼底部处的俯角；4、测量大楼与建筑物之间的距离．测量数据，，，，备注1、图上所有点均在同一平面；2、，，，1、图上所有点均在同一平面；2、，，，，，请选择其中一个方案及其测量数据求出大楼的高度．（结果精确到）四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）（1）求抽查学生总数．（2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？20．为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根，①求共有几种购买方案；②比较哪一种购买方案更省钱．21．综合与实践【主题】运动场设计【素材】某中学为迎接运动会，计划翻新校园田径场，原场地为半圆式跑道（如图），直道长度米，弯道为半圆形，最内侧跑道（第1道）弯道半径米，共8条跑道，每条跑道宽1.22米．（其中跑道半径按内径计算，）【实践探究】（1）计算验证第1道跑道是否符合标准跑道要求（第一圈跑道不能小于）．（结果保留2位小数）（2）体育组发现：当所有跑道起点、终点均为同一条直线时（如图），第6道运动员跑完2圈时，电子计步器显示实际跑动距离为．请结合跑道结构图解释此现象．五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，等边的边长为6，为边上一点，于点．【初步感知】（1）如图1，若，求的长．【深入探究】（2）如图2，线段的垂直平分线交于点，点为的中点，连接，求证：．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若，求与之间的关系．

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：∵负数小于0和正数，∴4个数中最小的数为，故选：C．【分析】实数比较大小，根据正数大于0，0大于负数即可得到答案．2．【答案】D【解析】【解答】解：∵直线经过点，∴，解得：；故选：D．【分析】利用待定系数法把点的坐标代入函数解析式求解即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.是中心对称图形，故此选项符合题意；故答案为：D【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.4．【答案】A【解析】【解答】解：，故选：A．【分析】直接提公因式即可．5．【答案】B【解析】【解答】解：A、2m和3n不是同类项，无法合并，A选项不符合题意；

B、（m3）2=m6，B选项符合题意；

C、m2·m3=m5，C选项不符合题意；

D、（m-n）2=m2-2mn+n2，D选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】2m和3n不是同类项，无法计算，故A选项不成立；由幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘得m2·m3=m5，故B选项成立；由同底数幂的乘法运算法则，底数不变，指数相加得m2·m3=m5，故C选项不成立；由完全平方公式运算法则得（m-n）2=m2-2mn+n2，故D选项不成立.据此即可得出正确答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵在“我命由我不由天”这7个字中，“我”字有2个，∴从这句话中随机选取一个汉字，选取“我”的概率是，故选：B．【分析】简单事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．7．【答案】B【解析】【解答】解：如图，，，，，，，故选：B．【分析】由两直线平行内错相等可把转化到的位置上，再由两锐角互余即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：，，二次函数有最小值为6，故选：D．【分析】由二次函数的图象和性质与系数的关系知，当二次项系数为正时，抛物线开口向上，有最小值，再化一般形式为顶点式即可．9．【答案】A【解析】【解答】解：∵，，，，，，，，∴根据运算法则可知个运算一循环，∴，∴，故选：．【分析】根据运算法则可知个运算一循环，则可用2025除以4求余数即可．10．【答案】D【解析】【解答】连接BP，OMM为AP的中点，O为AB的中点，为的中位线，．当点P为BC延长线与⊙C交点时BP最大，即OM最大，直线与双曲线交于A、B两点，，解得，．，，圆的半径为1，，，故选：D．【分析】连接BP，OM，由于正比例函数的图象与反比例函数的图象都是中心对称图形，则O是AB中点，则OM是的中位线，当CB取最大值时，OM最大，显然当PB经过圆心C时最大，此时先联立直线与双曲线求得A、B两点的坐标，再利用两点距离公式求出BC的长，则PB的最大值等于BC与1的和即可．11．【答案】-3【解析】【解答】解：∵甲队进3个球，记作+3个，

∴甲队失2个球，记作-3个.故答案为：-3.【分析】根据相反意义的量的定义“在现实生活中存在着各种各样的量，其中有一种量，他们的属性相同，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫作相反意义的量”并结合题意即可求解.12．【答案】b【解析】【解答】解：从数轴上可以得出：，∴，∴．故答案为：b．【分析】观察数据知，再根据化简并去括号合并同类项即可．13．【答案】且【解析】【解答】解：由二次根式的性质和分式的性质得，解得，故答案为：且．【分析】二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零．14．【答案】90【解析】【解答】解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据题意得2π•1＝，解得n＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°。故答案为：90。【分析】设圆锥的母线为a，根据圆锥的母线、底面圆的半径、高线围成一个直角三角形，故用勾股定理即可算出a的值，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长即可建立方程，求解即可。15．【答案】【解析】【解答】解：在直线下方，作，且，连接，，设与的交点为G，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值，故当点E与点G重合时，取得最小值，过点A作于点M，交的延长线于点M，根据题意，得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【分析】如图所示，在直线下方，作，且，连接，则利用SAS可证明，所以EF=CD，则CD+AE转化EF+AE，显然当A、E、F三点共线时和最小，此时可过点A作BF的垂线段AM，由平角的概念和三角形内角和定理可得，再分别解和即可．16．【答案】解：原式【解析】【分析】实数的混合运算，先计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再加减即可．17．【答案】（1）解：∵点是边的中点，∴，

∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，

∴（2）解：∵以为直径的经过点，

∴，即，

又∵，

∴是线段的垂直平分线，

∴，

∴，平分，即，

如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，

∴，

∴，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴．【解析】【分析】（1）由于三角形中线平分三角形面积，故画直线AD即可；

（2）先由圆周角定理可得，又，则是线段的垂直平分线，则AB=AC，再连接交于点，连接并延长交于点，则EB=EC，由等边对等角可得，因为是公共角，则可证，则．（1）解：∵点是边的中点，∴，∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，∴（2）解：∵以为直径的经过点，∴，即，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，平分，即，如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴．18．【答案】解：选择方案一：设大楼的高度，，，为直角三角形，且，，在中，，，，．大楼的高度约为.【解析】【分析】设大楼的高度，分别解和可用含x的代数式表示出BC和BD，再利用CD的值建立方程并解方程即可.19．【答案】（1）解：抽查学生总数为：（人）；（2）解：读5册的学生人数为：（人），

∴所抽查学生读课外书册数的平均数为（册）；（3）解：这个游戏不公平，理由如下：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有种，

∴借给七年级的同学的概率，借给八年级的同学的概率，

∵，

∴这个游戏不公平．【解析】【分析】（1）观察条形统计图与扇形统计图可由读6册的学生除以所占百分比即可；（2）先求出读册的学生人数，再由平均数的计算公式计算即可；（3）可利用画出树状图的方法分别求出两种事件的概率，然后再比较即可．20．【答案】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，则根据题意有，

，

①×2-②有6y=24，解得y=4.

将y=4代入①式，解得x=7.

故购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元.（2）解：设购买m根跳绳，n个毽子，则根据题意有，

，

结合①、②式有3m≤84，即m≤28.

再结合③式，有25＜m≤28，即m=26，或27，或28.

因此，共有3种购买方案：

方案①购买26根跳绳，以及28个毽子，总费用26×7+28x4=294元；

方案②购买27根跳绳，以及27个毽子，总费用27x7+27x4=297元；

方案③购买28根跳绳，以及26个毽子，总费用28x7+26x4=300元.

所以选择方案①，更省钱.【解析】【分析】（1）根据等量关系“跳绳数量x跳绳单价+毽子数量x毽子单价=总费用”列出二元一次方程组并求解即可；

（2）根据题意解出关于m的不等式组，然后结合m是正整数的条件，推算出m可能的取值情况，以及设计出对应的购买方案，根据方案的费用选择最省钱的.21．【答案】（1）解：第1道跑道周长：，所以第1道跑道不符合标准跑道要求．（2）解：第6道弯道半径，第6道每圈弯道周长：，跑2圈需跑2圈弯道，总跑的距离为，与题目中吻合．【解析】【分析】（1）观察图形知，第1道跑道周长为，代入求值即可解答；（2）先求出第6道弯道半径，再根据第6道每圈周长为，求解即可．（1）解：第1道跑道周长：，所以第1道跑道不符合标准跑道要求．（2）解：第6道弯道半径，第6道每圈弯道周长：，跑2圈需跑2圈弯道，总跑的距离为，与题目中吻合．22．【答案】（1）解：取AB中点E，连接CE，如图所示：

∵点A（﹣2，0），点B（8，0），

∴AB=10，

∴EA=EB=AB=5，E为圆心，

∴EC=5，EO=EA-AO=3，

∴在Rt△COE中，OC2=CE2-OE2=16，

∴OC=4，C（0，4），

根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），

将C（0，4）代入得：4=a×2×（-8），

∴a=，

∴，

∴ac==﹣1；（2）解：ac的值是定值，定值为﹣1；

理由：如（1）图，取AB中点E，连接CE，

由题意得点A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），E（，0），

∵AB=，

∴EA=EB=AB=，

∵E为AB得中点，

∴E为圆心，

∴EC=EA=，

又∵OE=，

∴在Rt△COE中，OC2=CE2-OE2，

∴OC2=（x2-x1）2-（x2+x1）2=-x2x1，∵x1x2=，

∴c2=-，ac2=-c，

∵c≠0，

∴ac=﹣1；（3）解：∵点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），C（0，4），∴D（6，4），即：CD∥AB，

当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=，CD=6，BP=8﹣m，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC，

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，

∴①，

∴，

∴m=2，

∴P2（2，0），

或②，

∴，

∴m=﹣，

∴P1（﹣，0），

当点P在y轴上时，如图2，

∵CD∥AB，

∴，

∵，

∴

∴∠ABD=∠BCO，

∵CD∥AB，

∴∠BDC+∠ABC=180°，

∵∠BCO+∠BCy=180°，

∴∠BDC=∠BCy，

设P（0，n），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=，CD=6，BD=，CP=n﹣4，

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，

∴①，

∴，

∴n=，

∴P3（0，）

或②，

∴，

∴n=16，

∴P4（0，）

综上所述：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．【解析】【分析】（1）先求出OC的长，即可得出点C的坐标，再用待定系数法，即可得出结论；（2）根据题意分别求出EA=EB=EC=，OE=，利用勾股定理得出OC2=-x2x1，再根据一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值；（3）根据题意，分为点P在x轴上或点P在y轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求P点的坐标.（1）设圆心为点M，∵A（﹣2，0），B（8，0），∴M（3，0），⊙M的半径为5，∴OC=，∴C（0，4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），∵点C在抛物线上，∴a×2×（﹣8）=4，∴a=﹣，∴y=﹣﹣（x+2）（x﹣8）=﹣﹣x2+x+4，∴a=﹣，b=4，∴ac=﹣1；（2）ac的值是定值，为﹣1，理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），∴OA=x1，OB=x2，OC=c，∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠OCB，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2=OA•OB，∴c2=﹣x1•x2，令y=0时，0=ax2+bx+c，∴x1•x2=，∴