高等数学i6-4偏导数和全微分_第1页
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1、 对一元函数：导数描述了函数在处的瞬时变化率，它的几何意义就是函数曲线上点处的切线的斜率。 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数 为例，我们分别讨论：相对于以及相对于的瞬时变化率偏导数6-4 偏导数与全微分1. 一阶偏导数(偏微商)的定义定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，若 存在，则称此极限为若存在，则称此极限为函数在点处对 的偏导数，记作函数在点处对 的偏导数，记作或或如果函数在区域 D 内每一点处对 和对 的的偏导数都存在，那么我们就说函数在 D 内可导，它在 D 内的偏导数仍是和的二元函数，称为偏导函数，简称偏导数，记为或求偏导方法：只需将其它变量视为常

2、数，按一元函数求导则可。连续偏导数存在。连续偏导数存在。连续，可导对比一元函数，我们有：可导连续，但函数在该点处并不连续.xyzO.偏导数的几何意义 ,(00tan)0b=yyxfxx平面上在偏导数的几何意义说明了: 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.2. 高阶偏导数 由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶等高阶偏导数。的二阶偏导数有四个:或或或或及称为混合偏导数 若函数 的两个混合偏导数和 在区域D内连续,则在该

3、区域内这两个二阶偏导数必相等, 即:定理13. 全微分如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。设二元函数为 全增量：称 为函数在点 处的全增量。 关于x的偏增量：称 为函数在点 处关于x的偏增量。 关于y的偏增量：称 为函数在点 处关于y的偏增量。 定义为函数在 处的全微分,记为：设 在点 的某个邻域内有定义, 其中 只与点 有关而与自变量的改变量 无关,则称 在 处可微，并称- 全增量 的线性主要部分当 在区域 内每一点都可微时,称函数在 可微.若 的全增量可写成 (6. 3)定理2若 在 处可微,定理3若 在 处可微,则它在 处的两个偏导数存在,且 若 在区域D 内可微,则在D内任一点的全微分可写成证则 在 处必连续.证或写成 若 的偏导数 与 在点 的某个邻域内存在, 且这两个偏导数在处连续,则 在点 处可微.证定理4 (可微的充分条件)推论若 是 中的一个区域, 而也即 在区域 中有连续的一阶偏导数, 则 在 内可微. 初等函数在其定义域内是连续的,所以对于初等函数, 只要偏导数存在就一定可微. 全微分、偏导数、连续性之间的关系 全微分存在连续可微偏导数连续偏导数存在一元函

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