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1、第三节 多元复合函数的求导法则高等数学 06-03-01第三节 多元复合函数的求导法则高等数学 复合函数 设 z=f(u,v)，其中 u=u(x,y)，v=v(x,y)，则称函数z=fu(x,y),v(x,y)为 x,y 的复合函数。高等数学 06-03-02复合函数高等数学 高等数学 06-03-03定理 如果函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，在点 (x,y) 有连续的偏导数，且函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 也有连续的偏导数，则复合函数z=fu(x,y),v(x,y)在点 (x,y) 有对 x 及对 y 的连续偏导数，且高等数学 xzuvyxy高等数学 06-03-0

2、4xzuvyxy高等数学 链法则 求 z 对 x 的偏导数，就看图中从 z 到 x 有几条线，沿每条线如同一元复合函数那样求导，然后相加即得，此过程称为多元函数的链法则。高等数学 06-03-05xzuvyxy链法则高等数学 例 已知函数 z=u2v2，而 u=2xy，v=x2y，求 z 对 x 及 y 的偏导数。高等数学 06-03-06xzuvyxy例 已知函数 z=u2v2，而 u=2xy，v=x全微分形式的不变性 无论把函数 z 看作自变量 x、y 的函数，或看作中间变量 u、v 的函数，它们的全微分的形式是一样的，这叫做多元函数的（一阶）全微分形式的不变性。高等数学 06-03-07

3、全微分形式的不变性高等数学 推广 设 z=f(u,v,w)，而 u=u(x,y)，v=v(x,y)，w=w(x,y)，则有高等数学 06-03-08推广高等数学 高等数学 06-03-09课堂讨论题 设函数 ，而 ， ，求 z 对 x 及 y 的偏导数。xzuvyxy高等数学 全导数 若复合函数的中间变量有多个，但自变量只有一个，此时的导数称为全导数。uzvtt高等数学 06-03-10如 z=f(u,v)，而 u=u(t)，v=v(t)，则全导数uzvtt高等数学 uzvttt例 设 z=uvsint，而 u=et，v=cost，求函数的全导数。高等数学 06-03-11uzvttt例 设

4、z=uvsint，而 u=et，高等数学 06-03-12课堂讨论题 设函数 ，而 ， ，求函数的全导数。xzytt高等数学 例 直圆锥的高以 10cm/s 的速度递减，底半径以 5cm/s 的速度递增，求当高为 100cm，底半径为 50cm那一瞬间，圆锥体积的变化率。高等数学 06-03-13例 直圆锥的高以 10cm/s 的速度递减，底半径以 例 设 ezxyz=0，求 z 对 x 及 y 的偏导数。高等数学 06-03-14例 设 ezxyz=0，求 z 对 x 及 y 的偏小结：多元复合复合函数 多元复合函数求导的链法则 全微分形式的不变性 全导数高等数学 06-03-15作业：P188 习题六 21 23 28小

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