平方根与立方根典型题

1、( ) 根 典 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根 算术平方根 立方根三说一、平根、算术平根、立根知识点概 1. 平方根、术平方的概念与性如果一个数 的平方等于 （即 a ），那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），记作： ，这里 a 是 的平方数，故 a 必是一个非负数 0 ；例 如 16 的平方根是4从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根只有一个 0，即为它本身。正数 a 的正的平方根叫做 的算术平方根，表示为 的算术平方根是 4 从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性： 0 ； 0

2、 。2. 平方根、术平方的区别与联区别：定义不同；个数不同；表示方法不同；取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数， 即非负数。联系：它们之间具有包含关系；它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；0 的平根以及算术平方根均为 03. 立方根定义与质22 2 2 2 如果一个数 x 立方等于 （即 x 方根），记作： 。3a），那么这个数 就叫做 a 立方根（或三次立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是 ，负数的立方根是负数。二、解中常见的错剖析例 错解： 剖析：个正数有两个平方根，它们互为相反数， 平方根应有两个即3例 求 的算术平方根。错解： 29 9 算

3、术平方根是 剖析：题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求 9 的术平方根，因而导致误解，事实上本题 就是表示的 9 的算术平方根，而整个题目的意义是让求 9 的算 术平方根的算术平方根。 9 ，而 的术平方根为 ，故 的算术平方根应为 3 。仿此你能给出 的平方根的结果吗？3三、典例题的探索解析例 已知： M 算数平方根， N a 立方根，求M 的平方根。分析：算术平方根及立方根的意义可知 a a 2 联立解方程组，得： a ， 代入已知条件得： M 9 ， 0所以 M 9 3故 MN 平方根是 3 。例 已知 y 3，4 x y 求 x 算术平方根与立方根。分析：已知得 x y 32 9

4、 4 x 联立解方程组，得： x ， 所以 x y 5因而 x 的算术平方根与立方根分别为 3 。42 22 2例 若一个正数 的两个平方根分别为 x a的值。分析：平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方 程 x 解得 x 从而 a 评注：题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出 a解法可谓简捷明了，令人耳目一新。事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学 思想方法，应引起同学们高度重视。例 比较 a、1a、 a 的小。1 1分析：比较 、 、 a 大小，必须搞清 a 的取值范围，由 知 a 0 ， 知a aa 0 ，综合得 a 0 此时仍无法比

5、较，为此可将 a 的取值分别为 ； a 三种情况进行讨论，各个击破。当 时，取 a 0.01则1 1100、 a ，显然有 a a a a当 时， a 1a 5当 时，仿取特殊值可得 a a 1a评注：题的解答用到了分类讨论的思想，所谓分类思想就是根据问题的需要将涉及的对象按一定的标准分成若干类，然后再逐类讨论求解的思维方法。分类要遵循三 条原则：标准统一；任何两种情况不重复；每一种情况都不能遗漏。例 已知有理数 满足 2004 a ，求 2004 2 的值。分析：察表达式 2005 的隐含条件，被开方数应为非负数即 a 亦即 ，原已知式可化为： 2005 a 2005 2005 200420

6、05例 若 、 合关系式3 2 x y m y 2005 x 试求 m 值。分析：察等式的右边的两个表达式的被开方数互为相反数，再结合只有非负数才 有算术平方根，因而必有 6所以 y 。原已知式可化为：3 y 2 x 再变形得： 2 *将 y 代入（*得：6015 4010 0由算术平方根的非负性，再根据“干个非负数的和为零，则其中每一个非负数均 为零”可得 y 4010 y 解这个方程组得： m 2008评注：住题目中隐含的算术平方根具有双重非负性： 0 ； 0 解决此类问题的关键。例 9.有理数 、c 在数轴对应点如下图所示，化简b 。分析：据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的数大可知： 0， ，a 再结合算术平方根应为非负数，因而7原式 a评注：例借助以形（数轴）辅数（确 ， ， 的符号）的方法解题的，是数形结合思想的具体体现。所谓数形结合思想就是在已知条件下建立数和形之间的关系，以形辅数，以数定形，利用数、形的相互关系来解题的思维方法。例 10.借助计算器计算下列各题：（1 11 （2 22（3 111111 （4 仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律你能解释这一规律吗分析：用计算器计算得：（1 11 （2 1111 （3 111111 222 333（4 11111111 33338 观察上述各式的结果，容易猜想其中的规