第8章 有限脉冲响应滤波器的设计

1、第7章 有限脉冲响应滤波器的设计 2022/10/112本章将介绍数字滤波器的一种主要类型：有限脉冲响应滤波器，或称FIR滤波器。本章内容包括：在回顾非递归滤波器的差分方程、脉冲响应、传输函数及频率响应的基础上，说明FIR滤波器的特点、设计方法和线性相位条件。定义FIR窗，并给出选择窗类型和滤波器阶数的方法。列出窗函数法低通滤波器设计步骤，以及如何设计带通、带阻和高通FIR滤波器。给出频率采样法设计滤波器的基本原理，选择过渡点数和滤波器阶数的方法。最后讨论等波纹FIR滤波器的设计，并对FIR和IIR滤波器作全面比较。2022/10/113目 录7.1 有限脉冲响应滤波器基础7.2 线性相位FI

2、R数字滤波器的条件和特点7.3 利用窗函数法设计FIR滤波器7.4 用频率采样法设计FIR滤波器7.5 用等波纹逼近法设计FIR滤波器设计7.6 IIR和FIR数字滤波器的比较2022/10/1147.1 有限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器的设计结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。但是它也有明显的缺点，就是相位的非线性；若需线性相位，则要采用全通网络进行相位校正。因为图像处理以及数据传输都要求信道具有线性相位特性。而有限脉冲响应(FIR)数字滤波器就可以做成具有严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性。2022/10/115FIR

3、滤波器的特点FIR滤波器的脉冲响应h(n)是有限长的(0nN-1)，其z变换为 是z-1的(N-1)阶多项式，在有限z平面(0n1) 7-417-42结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同为8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗设计的低通滤波器，阻带中最大旁瓣比通带增益低55dB。如图7-19所示。2022/10/11465.布莱克曼窗(Blackman Window)(二阶升余弦窗)为了更进一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，得到布莱克曼窗其频谱的幅度函数为7-437-44其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同

4、的WR()函数，使旁瓣再进一步抵消。 2022/10/1147图7-18给出了当N=51时五种窗函数的幅度谱。可以看出，随着旁瓣的减小，主瓣宽度相应增加了。图7-19则是利用这五种窗函数对同一技术指标(N=51，截止频率c=0.5)设计的FIR滤波器的幅度响应。 (a)矩形窗 (a)矩形窗图7-18各种窗函数的幅度频谱 图7-19理想低通加窗后的幅度响应2022/10/1148图7-18各种窗函数的幅度频谱 图7-19理想低通加窗后的幅度响应(b)巴特列特窗 (b) 巴特列特窗(c)汉宁窗 (c)汉宁窗 2022/10/1149图7-18各种窗函数的幅度频谱 图7-19理想低通加窗后的幅度响应

5、(d)哈明窗 (d)哈明窗(e)布莱克曼窗 (e)布莱克曼窗 2022/10/1150用窗函数法设计低通FIR滤波器现在把用窗函数设计FIR数字滤波器的步骤归纳如下给出希望设计的滤波器的频率响应函数Hd(ej)；若所给指标为边界频率和通带、阻带衰减，可选理想滤波器作逼近函数。计算以下积分，求出hd(n) 7-47为保证线性相位，取=(N-1)/2根据阻带衰减指标，选择窗函数的形状，可查表7-42022/10/1151根据允许的过渡带宽度，选定N值。由=A/N可得7-48式中，A取决于所选定的窗函数，也可查表7-4得到。将hd(n)与窗函数相乘得FIR数字滤波器的脉冲响应h(n) h(n)= h

6、d(n)w(n) 7-49计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标由H(ej)计算幅度响应H()和相位响应()。7-502022/10/1152在实际设计中，有许多具体问题要处理。尽管窗函数法由于有明显的优点而受到重视，但是，以下两个原因使它的应用受到限制。其一，很难准确控制滤波器的通带边缘；其二，若Hd(ej)不能用简单函数表示，则计算式(7-47)的积分非常困难。第一个问题只有通过多次设计来解决。理想低通滤波器的截止频率c，由于窗函数主瓣的作用而产生过滤带。出现了通带截止频率1和阻带截止频率2。在1和2处的衰减是否满足通带和阻带的要求，也就是1和2是否就是所需要的通带和阻

7、带的截止频率，这是不一定的。为了得到满意的结果，不得不假设不同的c进行多次设计。 2022/10/1153第二个问题的解决办法是用求和来代替积分。由式(7-47)知若以Hd(ej)ejn在 的M个点上的值之和代替上式中的积分，则有 上式表明 实际上等效于 序列的M点IDFT。根据频率取样的讨论可知，与hd(n)有如下的关系 7-517-52因此，当MN时， 在窗口范围内能很好地逼近hd(n)。 2022/10/1154例7-3 设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为s=21.5104(rad/sec)，模拟低通通带截止频率为p=21.5103(rad/sec)，阻带起始频率为st=2

8、3103(rad/sec)，阻带衰减不小于-50dB。幅度特性如图7-20所示。 图7-20 要求的模拟低通滤波器的特性2022/10/1155解：本题要求设计一个数字的FIR低通滤波器, 来模仿模拟滤波器，达到模拟滤波器的指标。所以在设计前要先将模拟的边界频率转为数字边界频率，转换公式为 计算对应的数字频率 通带截止频率为 阻带起始频率为 阻带衰减相当于2=50dB设Hd(ej)为理想线性相位低通滤波器 2022/10/1156首先由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率c 其对应的数字频率为由此可得其中，为线性相位所必须的移位，根据7-1节的讨论知道应满足=(N-1)/2。202

9、2/10/1157由阻带衰减2来确定窗形状，由过渡带宽确定N 由于2=50dB，查表7-3可选哈明窗，其阻带最小衰减-50dB满足要求。所要求的过渡带宽(数字频域)=st-p=0.2,因哈明窗过渡带宽满足=6.6/N，所以取N=41，则由哈明窗表达式w(n)确定FIR滤波器的h(n)。哈明窗为2022/10/1158所以由h(n)求H(ej)检验各项指标是否满足要求，如不满足要求要改变N，或改变窗形状(或两者都改变)来重新计算 H(ej)的图形已画在图7-21上，满足设计要求。 2022/10/1159图7-21 例7-3设计出的线性相位FIR低通滤波器幅频特性2022/10/1160线性相位

10、FIR高通、带通和带阻滤波器的设计 数字高通、带通和带阻滤波器的定义参看第六章图6-2。利用奇对称单位脉冲响应的特点(见表7-2)还可以设计90移相位(或称离散希尔伯特变换器)以及幅度响应与成线性关系的线性差分器。1.线性相位FIR高通滤波器的设计按指标要求的理想线性相位高通滤波器的频率响应为7-53其中=(N-1)/2，它的单位脉冲响应为2022/10/11617-54选定窗w(n)即可得所需线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应选用哪一种窗函数和阻带衰减有关，而时域窗的点数N则和过渡带宽有关 h(n)= hd(n) w(n)2022/10/1162但是由表7-2看出，无固定相移时只能采用偶

11、对称单位脉冲响应，另外，对高通滤波器来说N只能取奇数，因为N为偶数H()在=处为0，不能做为高通滤波器。求出h(n)后，可求H(ej)，以此检验是否满足指标要求，否则要重新设计，这和低通滤波器的讨论一样。 2线性相位FIR带通滤波器的设计理想线性相位带通滤波器的频率响应为7-55其中=(N-1)/2。此滤波器的单位脉冲响应hd(n)为2022/10/11637-56这里，当1=0，2=c时，即为理想线性相位低通滤波器。当2=，1=c时，即为理想线性相位高通滤波器。后续设计步骤与FIR低通滤波器相同。3.线性相位FIR数字带阻滤波器的设计2022/10/1164带阻滤波器的设计与带通滤波器的设计

12、步骤完全相同，只是理想频率特性有所不同。7-57其中=(N-1)/2。同样可得7-582022/10/1165线性相位FIR带阻滤波器只能采用偶对称单位脉冲响应，N等于奇数来设计，道理与讨论高通滤波器是一样的。由理想滤波器的低通公式、高通公式、带通公式以及带阻公式可以看出 一个高通滤波器相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器 一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止频率为2，另一个截止频率为1，即 7-592022/10/1166一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器(截止频率为1)加上一个高通滤波器(截止频率为2)，即7-60上述关系也可作为高通、带通和阻带滤波器的设计方法窗函数法的

13、特点 采用窗函数法，设计简单，方便，也实用，但要求用计算机；且边界频率不易控制。窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。但一般技术指标是在频域给出的。因此，下面介绍的频率采样法更为直接，尤其对于Hd(ej)公式比较复杂，或Hd(ej)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率采样设计法更为方便、有效。2022/10/11677.4 利用频率采样法设计FIR滤波器用频率采样法设计滤波器的基本原理 待设计的滤波器的传输函数用Hd(ej)表示，可按下列思路进行设计：对它在=0到2之间等间隔采样N点，得到Hd(k) 对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n) 式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位取样

14、响应。7-627-612022/10/1168由h(n)求系统函数H(z)7-63以上是用频率采样法设计滤波器的基本原理。 另外在第三章3.4节学习了频率域采样定理，曾得到利用频率域采样值恢复原信号的z变换公式(3-6061)式,式中X(k)和X(z)在这里应改为Hd(k)和H(z)，将插值公式重写如下 7-64此式就是直接利用频率采样值Hd(k)形成滤波器的系统函数，式(7-63) 和(7-64)都属于用频率采样法设计的滤波器， (7-63)式适合FIR直接型网络结构，(7-64)式适合频率采样结构。 2022/10/1169实际滤波器的传输函数 ，与理想的传输函数Hd(ej)间存在误差，如

15、图7-28，需要讨论逼近误差问题及其改进措施。 图7-28 频率采样的响应2022/10/1170用频率采样法设计线性相位滤波器的条件 这里只讨论第一类线性相位问题，第二类线性相位问题可按类似方法处理。FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)= h(N1n)，参看表7-2中情况1和情况2，已推导出其传输函数应满足的条件是 且Hg()=0 7-657-667-677-68对Hd(ej)进行N点等间隔采样得到Hd(k)，则Hd(k)也必须具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)经过IDFT得到的h(n)具有偶对称性，达到线性相位的要求 2022/10/117

16、1在=02之间等间隔采样N点将=k代入(7-65)(7-68)式中，并写成k的函数 N=奇数 N=奇数，且 (7-69)(7-72)就是频率采样值满足线性相位的条件,说明N等于奇数时Hg(k)对(N1)/2偶对称，N等于偶数时, Hg(k)对N/2奇对称，且Hg(N/2)=0。 7-697-707-717-722022/10/1172设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c，采样点数N，Hg(k)和(k)用下面公式计算 N=奇数时 N=偶数时 7-737-742022/10/1173上面公式中的kc是小于等于cN/(2)的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里N只能取奇数。 逼近误差

17、及其改进措施1.产生误差的原因从图7-28可看出，实际的H(ej)与理想的Hd(ej)相比，误差主要体现在一是通带和阻带出现波动，二是过渡带加宽，与窗函数设计法情况类似，产生误差的原因可从时域和频域两方面进行分析。 从时域分析：如果Hd(ej)有间断点，那么相应单位取样响应hd(n)应是无限长的。这样，由于时域混叠，引起所设计的h(n)和hd(n)有偏差。为此，希望在频域的采样点数N加大。N愈大，设计出的滤波器愈逼近待设计的滤波器Hd(ej)。 2022/10/1174从频域分析 在采样点=2k，k=0,1,2,N-1,(-2k/N)=1，因此，采样点处H (ejk) (k=2k/N)与H(k

18、)相等，逼近误差为0。在采样点之间，H(ej)由有限项的H(k)(-2k/N)之和形成。其误差和Hd(ej)特性的平滑程度有关，特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻衰减减小，往往不能满足技术要求。 2022/10/11752.减小误差的方法 最直观的想法是增加采样点数，即加大N值，由于过渡带就等于采样间隔(参看图7-28)，即 7-76所以加大N，可使过渡带变窄，但增加要适当，否则会增加滤波器体积与成本。但是，增加N并不会改善滤波器的阻带衰减特性，因为Hd(ej)是理想矩形, 无论怎样增多频率采样的点数，在通、阻带

19、交界处，幅值总是从1突变到0，会引起较大的起伏振荡。 为使逼近误差更小，和窗口法的平滑截断一样，通过在理想频率响应的不连续点的边缘上加一些过渡的抽样点，减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。 2022/10/1176一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。如在低通设计中，不加过渡点时，阻带最小衰减为-20dB，加三个过渡点(最优设计)则可达-80dB到-95dB左右。加过渡点的示意如图7-29所示。 (a) (b) (c)增加过度点，可使阻带衰减明显提高，但付出的代价是过渡带加宽，可通过下式加大N来调整。 图7-29 理想低通滤波器增加过渡点m=0，1，2，3 7

20、-772022/10/1177频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器 低通滤波器的设计步骤可参阅7.4.1的基本原理，此外，设计关键是 (1)根据阻带衰减要求，确定过渡点数，并优化过渡点值; (2)根据过渡带要求，确定采样点数N，由式(7-77) 7-78频率采样法的特点 频率采样法设计滤波器最大的优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性的滤波器。但边界频率不易控制。如果增加采样点数N，对确定边界频率有好处，但会增加滤波器的成本。因此，它适合于窄带滤波器的设计。2022/10/1178例7-6利用频率采样法设计线性相位低通滤波器， 要求截止频率 c=/2rad， 采样

21、点数N=33，选用 h(n)= h(N1n)情况。 解 用理想低通作为逼近滤波器。因N为奇数，按照(7-73)式 Hg(k)= Hg(33-k)=1， k=0，1，2，8 Hg(k)=0， k=9，10，23，24 (k)= - 32k/33， k=0，1，2，32 其中 ，取kc=8。 理想低通幅度特性采样情况如图7-31所示 2022/10/1179图7-31 例7-6对理想低通进行采样将采样得到的H(k)=Hg(k)ej(k)进行IDFT，得到h(n)，计算其频响，其幅度特性如图7-32(a)所示。 为加大阻带衰减，可增加一个过渡点，在k=9处，令Hg(9) = 0.5，结果得到的滤波器

22、幅度特性如图7-32(b)所示 如果改变Hg(9)=0.3904,其幅度特性如图7-32(c)所示，阻带最小衰减可达40dB。因此，这种用加宽过渡带换取阻带衰减的方法是很有效的。 2022/10/1180图7-32 例7-6的幅度特性 (c) (b)(a)2022/10/11817.5 用等波纹逼近法设计FIR滤波器设计 加权切比雪夫等波纹逼近 1.切比雪夫最佳一致逼近准则 设所要求的滤波器的幅度函数为Hd()，用线性相位四种FIR滤波器之一的幅度函数Hg()做逼近函数，设逼近误差的加权函数为W()，则加权逼近误差函数定义为 E()= W() Hd()- Hg() 7-79由于不同频带中误差函

23、数Hd()-Hg()的最大值不一样，故不同频带中W()值可以不同，使得在各频带上的加权误差E()要求一致(即最大值一样)。设计过程中W()为已知函数。 2022/10/1182为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)= h(N1n)，N=奇数情况，由表7-2情况1可知 将Hg()代入(7-79)式，则 7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题是选择M+1个系数a(n)，使加权误差E()的最大值为最小，即 式中A表示所研究的频带，这里指通带或阻带。 2022/10/1183式(7-80)，是一个由M次多项式，根据上面提出的

24、准则逼近一连续函数的问题。切比雪夫理论指出这个多项式存在且唯一，并指出构造该多项式的方法是“交错点组定理”。该定理提出最佳一致逼近的充要条件是E()在A上至少呈现M+2个“交错”，使得 按照该准则设计的滤波器通带或组带具有等波动性质 2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位FIR滤波器 2022/10/1184设希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器，其幅度特性为 图7-36低通滤波器的最佳逼近 式中p为通带截止频率，s为阻带截止频率，如图7-36所示，1为通带波纹峰值，2为阻带波纹峰值。设单位脉冲响应长度为N。如果知道了A上的M+2个交错点频率：0，1，,M+1，按照(7-80)式，并根据交错点组

25、准则，可写出 2022/10/1185将式(7-81)写成矩阵形式 7-817-822022/10/1186解上式，可以惟一地求出a(n)，n=0，1，2，M，以及加权误差最大绝对值。由a(n)可以求出滤波器的h(n)。但实际上这些交错点组的频率0,1,M是不知道的，且直接求解(7-82)式也是比较困难的。数值分析中的雷米兹(Remez)算法靠一次次迭代求得一组交错点组频率，而且每一次迭代的过程中避免直接求解(7-82)式。 (1)在频域等间隔取M+2个频率0，1，M+1作为交错点组的初始值。按下式计算值 7-832022/10/1187式中 7-84一般初始值i并不是最佳的极值频率，也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg()，即 7-85式中 k=