重力学：第三章 大地水准面

1、第三章 大地水准面 3.1 布隆斯公式和重力异常3.2 大地水准面上扰动位的求解3.3 垂线偏差3.4 大地水准面高度3.5 大地水准面形状重力位重力正常重力位正常重力扰动位重力异常？引言 地球的自然表面是相当复杂的，以前的许多学者都不去直接研究它，而是研究大地水准面的形状。这是因为地球表面上有70左右的地区是被海水覆盖。前面已经讲过，所谓大地水准面就是与“平均”海水面相重合的一个重力等位面；而另一方面，在大地测量学中，不管是那一种测量仪器的安置，总是以铅垂线，即水准面的法线为依据，并且以“平均”的海水面作为起算面的。所以研究大地水准面形状也是大地测量的任务之一。引言 在十九世纪以前，由于当时

2、大地测量的精度不高，同时测量区域也不大，很少有学者专门去研究地球的重力场，同时还把大地水准面当作是一个旋转椭球体，也就是说在大地水准面上的重力方向就是旋转椭球面的法线方向。地球表面离开大地水准面的高度就是离开旋转椭球体的高度。 随着大地测量精度的提高，就越来越清晰地表明，大地水准面并不是一个旋转椭球面，它相对于旋转椭球体有着最大达100米的起伏，并且两者的法线也不重合，所以大地水准面是一个较复杂的曲面。研究大地水准面的形状，除了要研究与大地水准面非常接近的一个平均椭球体以外，还要研究大地水准面相对于旋转椭球面的起伏以及两者法线之间的偏差。引言 解决上述问题的方法，主要是以地球(正确的说是大地水

3、准面内)的质量所产生的重力位与旋转椭球体(正常地球)所产生的正常位之差扰动位为根据，去推求大地水准面相对于椭球体的起伏和倾斜。扰动位是根据边值问题解算出来的，这就是所谓的斯托克司问题。 根据斯托克司问题的要求，当这样求大地水准面形状时，在大地水准面外部不得有质量存在，所以必须将地球的质量加以调整，也就是要去掉大地水准面以外的质量（去掉其引力效应），这就是重力测量结果的校正问题。 由于这样获得的是调整了地球质量以后的大地水准面形状，所以这里称为调整后的地球形状的确定问题。3.1.0 大地水准面和参考椭球面的差异 参考椭球面U0=CU=C1大地水准面W0p0pN3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.

4、1 布隆斯 (H. Bruns) 公式 由重力位定义，空间重力位有 由于实际大地水准面与标准椭球面不可能完全重合，设 p 点为大地水准面上的点，其在椭球面上的（铅锤）投影为p0，两点间的距离为N。令椭球面上正常重力位为U0=C，则 p 及 p0点处的重力位可表示成参考椭球面U0=CU=C1大地水准面W0=Cp0pNn3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.1 布隆斯 (H. Bruns) 公式用正常重力位垂向一阶导数可以近似表示 p 点的正常重力，即显然参考椭球面U0=CU=C1大地水准面W0=Cp0pNn3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.1 布隆斯 (H. Bruns) 公式 对于W(p) 和

5、 U(p0)，我们有事先的假定，即在确定正常重力位时，其在地球椭球面上的重力位数值（U(p0)=C）应与大地水准面上的实际重力位值（W(p)=C）十分逼近。这里姑且认为两者相等，即有因所以 布隆斯公式。布隆斯公式告诉我们，大地水准面的差异为扰动位与正常重力值之比。3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.1 布隆斯 (H. Bruns) 公式由于 随纬度变化，而前面讨论的两个等位面逼近有平均的意义，所以，一般布隆斯公式中正常重力为平均正常重力，其形式为 布隆斯公式建立了扰动位与大地水准面起伏之间的关系，是重力学的基本公式之一。3.1 布隆斯公式和重力异常 实际上，重力异常就是指实际重力与正常重力的差

6、异。 讨论正常重力时，我们是通过重力位的讨论，引出正常重力的概念。讨论异常，我们仍可以通过重力位引出重力异常的概念。 如果从扰动位对其等位面内法向求导，自然可以得到重力异常，但如何用一个直观、明了的概念描述重力异常？如何建立重力异常与大地水准面及参考椭球面之间的关系？ 3.1.2 重力异常“重力异常”可以不同的含义 ，但都是相对正常重力而言的。对于扰动位，其梯度可称为重力异常矢量，即数值上，有被称为重力异常值，根据前面的知识，有 3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.2 重力异常 若 由于考虑了扁度二阶极小（2）的正常重力中已经包含了4阶带函数，所以，这里的n=2*,n=4* 表示其中包含2阶、

7、4阶带函数中因地球质量分布差异的部分，如赤道地区的大陆物质。3.1 布隆斯公式和重力异常3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.2 重力异常纯重力异常混合重力异常（重力异常） PPNP0P0Np地球等位面椭球等位面大地水准面地球椭球面PP0=PP03.1 布隆斯公式和重力异常3.1.2 重力异常利用地球等位面相对于椭球等位面的关系：有顾及布隆斯公式和混合重力异常公式，上式变成 重力扰动与重力异常关系式 与大地水准面相对于地球椭球面的关系类比3.1 布隆斯公式和重力异常3.1.2 重力异常将重力异常公式 代入得这就是重力基本微分方程。 该方程建立了实测重力异常与扰动位之间的关系，是重力学基本公式之一

8、。由边值问题解出T，再应用布隆斯公式求N，从而确定大地水准面形状。第三章 大地水准面 3.1 布隆斯公式和重力异常3.2 大地水准面上扰动位的求解3.3 垂线偏差3.4 大地水准面高度3.5 大地水准面形状3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 1. 位理论的边值问题 位理论的边值问题可分内部和外部两种。 所谓位理论外部边值问题，就是在某一个区域的边界面上已知某些函数值，而这些函数值又能满足一定的条件，然后根据边界面上的这些已知数据和给定的条件求出在外部空间的函数。这个函数是调和的，并在无穷远处是正则的。 对于地球来说，就是根据给定边界面上的已知数据和某特定的条件求地球外部的引力位。 3. 2

9、大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 1. 位理论的边值问题 由于给定的边值条件不同，所以也有不同的边值问题，一般有下列三种： (1)第一边值问题狄义赫里 外部问题 在边界面上已知所求的调和函数之值V，根据这个边值条件求出在外部空间是调和的并在无穷远处是正则的函数。这样的边值问题称为狄义赫里问题。 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 1. 位理论的边值问题 (2)第二边值问题诺依曼外部问题 它的边值条件是在边界面上已知所求调和函数的法线导数 ，根据这个边值条件求出在外部空间是调和的并在无穷远处是正则的函数，这样的边值问题又称为诺依曼问

10、题。 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 1. 位理论的边值问题 (3)第三边值问题，它的边值条件是在边界面上已知其中, 是常参数。这样的边值问题称为混合边值问题。3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 位场边值问题可以用多种方法求解，如格林方法、球谐函数方法、解积分方程法、微分法等。 (1)高斯公式和格林公式 高斯公式P, Q, R为在 域中连续的函数 。3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 设有 且令又3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2

11、 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 上式可写成 第一格林公式令 u, v 互换可得到对应的表达式，将两者相减可得 第二格林公式3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 用格林方法解外部边值问题 设 为一个质量体，u = 1/r，r为质量体内部积分点到外部某点的距离，有 u 为调和函数，即 u = 0，且在无穷远处为零。 再假设质量体内部密度为 ，且连续，其引力位为 v ，即有 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 用格林方法解外部边值问题 第二格林公式两边可写成 （V为质量

12、体外部的位） 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 即有 格林基本定理（或公式） 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 若考虑质量体外部的问题，即有 将格林基本公式与其相减，可得 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 令 则3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 若构造函数u在边界 面上使得G=0，有如果已知质量体表面上的位v，上式就是狄义赫利边值问题（第一边值问题）外部问题

13、的解。3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 若构造函数u在边界 面上使得则有如果已知质量体表面上位的法向导数，上式就是诺依曼边值问题（第二边值问题）外部问题的解。3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 2. 边值问题的求解 若构造函数u在边界 面上使得则有 上式就是混合边值问题（第三边值问题）外部问题的解。3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 3. 积分形式泊松积分公式 若边界 面为一球面，其外部点p的坐标为(r, , )，且则有令 ，并在线段 r 上找一个点p，使 R2=

14、r r3. 2 大地水准面上扰动位的求解OppRMRllrr根据第一边值问题3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 3. 积分形式泊松积分公式 根据图上三角形各边的关系，有若M点在球面上，有 R=R ，并有 R2= rr ，则有OppRMRllrr3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 3. 积分形式泊松积分公式 证明G在球面上等于零：在球面上有即OppRMRllrr3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 3. 积分形式泊松积分公式考虑到 3. 2 大地水准面上扰动位的求解OppRMRllrr3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 3

15、. 积分形式泊松积分公式有3. 2 大地水准面上扰动位的求解OppRMRllrr3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 3. 积分形式泊松积分公式 OpRdlr3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 4. 微分形式 大地水准面参考椭球面ppN3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 4. 微分形式考虑到球体情况，将n用 r 代替，则有 3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 5. 扰动位的求解 定义辅助函数 在球面上的E为 且3. 2 大地水准面上扰动位的求解3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 5.

16、扰动位的求解 根据泊松积分公式，有 3. 2 大地水准面上扰动位的求解上式两边同乘在 R r 对r 进行积分OpRdlr（参见重力与固体潮教程，p135）3.2.2 大地水准面上扰动位的求解 5. 扰动位的求解 考虑到球面扰动位T0 ，则其中斯托克斯函数上式称为Stokes公式或Stokes积分，由英国Stokes于1849年导出。4. 1 大地水准面上扰动位的求解第三章 大地水准面 3.1 布隆斯公式3.2 大地水准面上扰动位的求解3.3 垂线偏差3.4大地水准面高度3.5 大地水准面形状3.3.1 垂线偏差的概念 垂线偏差大地水准面内法线与对应的椭球面内法线之夹角。 3. 3垂线偏差大地水

17、准面大地水准面海洋大陆椭球面椭球面真垂线，与椭球面正交指向真天顶垂线，与大地水准面正交指向视天顶3.3.1 垂线偏差的概念 垂线偏差有正负之分。设g在北向分量为gx ,东向分量为gy，垂线偏差在子午圈方向（XOZ平面）上的分量为，在卯酉方向上（YOZ平面）的分量为。 定义：当gx(或gy)大于零时， (或)为负，反之为正。可见，当g相对 偏向 NE： 0, 0 ; SW： 0, 0, 0 ; SE： 0 . ZPgygxY (E) (N)Xg3. 3垂线偏差3.3.1 垂线偏差的概念 由图可见，有ZPgygxY (E) (N)Xg3. 3垂线偏差3.3.2 垂线偏差与扰动位的关系 设实际大地水

18、准面上有即3. 3垂线偏差3.3.2 垂线偏差与扰动位的关系 3. 3垂线偏差3.3.2 垂线偏差与扰动位的关系 3. 3垂线偏差3.3.2 垂线偏差与扰动位的关系 3. 3垂线偏差第三章 大地水准面形状 3.1 布隆斯公式3.2 大地水准面上扰动位的求解3.3 垂线偏差3.4大地水准面高度3.5 大地水准面形状3.4.1 大地水准面高程异常的积分表达 3.4 大地水准面高度3.4.2 布隆斯公式的球谐展开 由布隆斯公式即有3.4大地水准面高度3.4.2 布隆斯公式的球谐展开 由于大地水准面与椭球面十分接近，在大地水准面上有(R/r)n+11.即有3.4大地水准面高度局部或地区全球 GPS观测点距离 WGS84 椭球面高度 (h) 和大地水准面高