12等差数列、等比数列的性质运用

1、SfflSt学祓v/wwjlni4，com难点 12 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解、aTyiit决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.难点磁场()等差数列a 的前n项的和为30，前2m项的和为100,求它的前3m项的n和为.案例探究例1已知函数例1已知函数f(x)=(x 2).iyOl(1)求fx)的反函数f-1(x);(2)设 a1=1, =f-(a )(n = N*),求 a ;

2、_1 a+1m设S =a12+a22+a 2,b =S 1 S是否存在最小正整数m,使得对任意n = N*,有b n 12n n n+1nn 25成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力, 属级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单 调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题总4酋1MQ/ 总黑错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列丄为桥梁求a，不易突破.一 TOC o 1-5 h z a 2nn1 n

3、111技巧与方法：(2)问由式子I 1解：(1)设 y=，I 1解：(1)设 y=，丁xv 2,.x= 4 +,x 2 - 4y2a . a 2a 2 a 2a 2n+1、 nn+1nn求得a,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.一n学絞学絞v/wwjlni40)1 1 1 1 V = ：4 +,-= 4，a V a 2 a 2 a 2n+1nn+1nYK丄是公差为4的等差数列，a 2n空;1 11 a 2 a 2n n v4n - 3n1I1 a 2 a 2n n v4n - 3n1I TOC o 1-5 h z 1m25I?-(3)b =S . S =a 2=，

4、由 b I?-n n+1n n+1 4n +1n 254n +12525设g(n)=, V g(n)=在n = N*上是减函数，4n +14n +1m/. g(n)的最大值是g(l)=5,.m5,存在最小正整数m=6，使对任意n = N*有by5成立.一25例2设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和 的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最 厂.丄A力 、v大？ (lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之 间的联系以及运算、分析能力.属级题目.知识依托：本

5、题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出a;进而n利用对数的运算性质明确数列lga 为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.一n错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易 出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列 中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另 外，等差数列S是n的二次函数，也可由函数解析式求最值.一n解法一：设公比为q,项数为2m,mUN*，依题意有a - (q2m -1) a q - (q2m -1)1= 1q

6、-1q 2 -1、(a1q) - (a1q3) = 9( a” 2 + a”3)金如融学皎化简得q 化简得q +12 = 9(1 + q),解得1q =-3a = 108 i 1设数列lgan前n项和为Sn，则_Sn=lga1+lga1q2+lga1qn-1=lga1n Sn=lga1+lga1q2+lga1qn-1=lga1n q1+2+(n-1)_1 1=nlga1+ n(n 1) lgq=n(2lg2+lg3) n(n 1)lg3lg37=() n2+(2lg2+ -lg3) n- th hf $72lg2 + -lg3可见，当n=一2一时，S最大.一lg3n72lg2 + 2lg3 4

7、 x 0.3 + 7 x 0.4 而飞lg3细a!2 x 0.4=5,故lga的前5项和最大一解法二：接前,a = 1081 1 11，于是 lga =lg 108(：；)-叮=lg108+(n1)lg,q =3331 fv1.1o1数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lga”20,得2lg2(n4)lg33？2lg2 + 4lg3 2x0.3 + 4x0.4 5 5三 0,.nW=5.5.lg30.4由于n = N *，可见数列lga”的前5项和最大._0.4锦囊妙计1等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有

8、意识去应用.6 WWTfcJ/ -Vi2在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果kJ歼灭难点训练、选择题S】.( )等比数列a 的首项a1=1,前n项和为S ,若10n 1 n SS53132，则 lim Sn 等于nmg学較v/wwjlni4，conna.2B. -2C.2D.2二、填空题2.伙*知已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0log (ab)v

9、1,则a.2B. -2C.2D.2二、填空题2.伙*知已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且00,Si3 012 1 224解之得公差d的取值范围为一 7S = 13a + d a2a3a12a13，因此,在S1，S2，,S12中Sk为最大值.*4的条件为：ak20且ak V0,即kk+1a? + (k 一 3)d 0 a3 + (k 一 2)d 0Va3=12,A玉1fckd 3d_12，VdV0,A2匕 VkW3匕 kd aa1a13，因此，若在1WkW12中有自然数k,使得ak2O,121213k且ak+1V0,则Sk是S1，S2，, S12中的最大值由等差数列性质得，

10、当m、n、p、qN *，且21m+n=p+q 时，a +a =a +a .所以有：2a =a +a=S“0,.a 0,.a TOC o 1-5 h z m n p q71131313776112 6126三一a70,故在S,，S2,S12中S6最大.712126m A?kJkKA?才nd解法三：依题意得：S = na + (n 1)d = n(12 2d) + (n2 n)n 122d124d24124=-n (5 )2 (5 )2, d 0,.n (5 )2 最小时，S 最大;22d8d2dn24124124VVdV3,.6V (5 )V6.5从而，在正整数中，当n=6 时，n(5 )72d

11、2d2最小，所以s6最大.6j/o点评：该题的第(1 )问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易第(2)问 难度较高，为求Sn中的最大值Sk，1WkW 12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是a尹0 且ak1V0,思路之三是可视S为n的二次函数，借助配方法可求解它考查了等价转化的数 k+1nj/o学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之17，即(a1+4d)217，即(a1+4d)2=a1(a+16d)n a1d=2d2, i；!VdH0,Aa1=2d,数列 a 的公比 q=1bn6.解:(1)由题意知a52=a1 a1 Krfa5aia

12、 + 4d 小1=3,a1从而得解.(2)T =C1 b,(2)T =C1 b,+C2 b2+ +C n b =C1 (2 30 1)+C 2 (2 31 1)+ +C n (2 3 1 n n 1 n 2n n nnf2 21)= (C1 +C2 32+C n 3n) (C1 +C2+C n )= (1+3)1 一 (21)=3 n nnn n一 rn 3214“一2“+,33=a 3n-1 TOC o 1-5 h z b +1乂 a =a, +(b 1)d=ab 1 n 721b + 1厂a1.Va1=2狞O厂a1.Va1=2狞Obn=23n-11.J、 1/1、2 3 4 = J、 1/

13、1、2 3 4 = 2 ,1 ”、 丄 一3 1 + ()n1 ( )n244 4 n 2 n+T3叶厶+ 3 limn = lim= lim4 n + b4 n + 2 3n1 1nT8nT8nT8n7.解:Tan为等差数列，b”为等比数列,.a2+a4=2a3，b2 b4=b32, 已知 a2+a4=b3，b2 b4=a3, Ab3=23，a3=b32,1 1得 b =2b 2, Vb HO,.ba = ,a =.3 3 3 3 2 3 413由 a=1,a3=，知a 的公差 d=-,13 4 n8金殆融学較.10 X 955.S n=10a +d= .10 1 2 81J 金殆融学較.10 X 955.S n=10a +d= .10 1 2 81J 2由b1=1,b3=2,知化的公比q=2或纟=一，当q 少时/二吧 一 q10)= 31 (2 + V2)；2101 - q 32当q 一返时,厂=空一型=卫(2-问.2101 - q 328.证明：(1) V a”是等差数列，.2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2