二次函数背景下直角三角形存在性问题（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册（人教版）

1、22.30 二次函数背景下直角三角形存在性问题（专项练习）1如图，二次函数 yx2bxc图像经过原点和点A（2，0），直线 AB与抛物线交于点B，且BAO45（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线 AB上是否存在点D，使得BCD 为直角三角形若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由 2如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A(1，0)，B(0，2)，二次函数yx2+bx2的图象经过C点(1)求二次函数的解析式；(2)平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标；(3)将ABC以A

2、C所在直线为对称轴翻折180，得到ABC，那么在二次函数图象上是否存在点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由如图，二次函数的图象经过点，直线与轴交于点为二次函数图象上任一点求这个二次函数的解析式；若点是直线上方抛物线上一点，过分别作和轴的垂线，交直线于不同的两点在的左侧)，求周长的最大值；是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由 4在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛

3、物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； 如图所示，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴的交点为点A(3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，连接AC （1）求这个二次函数的解析式； （2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由. （3）在抛物线上是否存在点E，使得ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请直接

4、写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由. 6已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为yax23ax4a（a0）（1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；（3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由 7如图，在平面直角坐标中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（2，0），C（0，4）（1）求二次函数yax2+bx+c的表达式；（2）点P在

5、第一象限的抛物线上，且能够使ACP得面积最大，求点P的坐标；（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由 8如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若点P为抛物线上的一点，且，求点P的坐标；（3）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由 9如图，二次函数y=a(x2-2mx-3m2)（其中a，m为常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C(0，-3)，点D在二次函

6、数图象上，且CDAB，连AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分DAE（1）当a=1时，求点D的坐标；（2）证明：无论a、m取何值，点E在同一直线上运动；（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标，如果不存在，请说明理由 10二次函数y=ax2bxc图象的一部分如图所示已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C.（1）试求a，b所满足的关系式；（2）当AMC的面积为ABC面积的52倍时，求a的值；（3

7、）是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由 11如图，已知二次函数（）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为.（1）求二次函数的解析式；（2）点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若，四边形的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）探索：线段上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 12二次函数的图象的一部分如图所示已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)（1）试求a，b所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC

8、面积的倍时，求a的值；（3）是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由 13如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90至AC（1）点C的坐标为（ ， ）；（2）若二次函数的图象经过点C求二次函数的关系式；当-1x4时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由如图所示，矩形ABCO是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的点O在

9、x轴的正半轴上，点B的坐标为(1，3)(1)如果二次函数yax2+bx+c（a0)的图象经过O，O两点，且图象顶点M的纵坐标为l，求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P，使得POM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标和POM的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边CO所在直线的解析式 15如图，已知关于x的二次函数yx2+bx+c（c0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OBOC3，顶点为M（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D若ODm，PCD的面积为S，求S

10、关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由 16如图，已知二次函数的图象经过A（3，0），B（0，1），C（2，2）三点.（1）求二次函数的解析式；（2）设点D（，m ）在二次函数的图象上，将ACB绕点C按顺时针方向旋转至FCE，使得射线CE与轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线CF与线段OA交于点F求证：BE2FO；（3）是否存在点H（n，2），使得点A、D、H构成的ADH是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（直接回答，不必说明理由） 定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这

11、个三角形为“近直角三角形”（1）若是“近直角三角形”，则 度；（2）如图，在中，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”，若存在，求出所有点的位置；若不存在，请说明理由 参考答案1（1）y=，（1，-1）；（2）（2，0）或（，）【解析】试题分析：（1）将点A和点O的坐标代入抛物线的解析式可求得b=-2，c=0，从而得到抛物线的解析式，由抛物线的对称性可知点C的横坐标为1，将x=1代入抛物线的解析式可求得y=-1，故此可求得点C的坐标；（2）由BAO=45可知直线AB的一次项系数为-1，从而可求得直线AB的解析式为y=-x+2当ADC=90时依据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直

12、线CD的解析式为y=x-2，将y=-x+2与y=x-2联立可求得点D的坐标为（2，0）；当BCD=90时将y=-x+2与y=联立得求得点B的坐标为（-1，3），然后依据待定系数法求得直线BC的解析式为直线BC的解析式为y=-2x+1，依据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD的解析式为y=x，将y=-x+2与y=x联立可求得点D的坐标为（，）试题解析：（1）将（0，0）、（2，0）代入函数的解析式得：，解得二次函数的解析式为y=点（0，0）与（2，0）关于x=1对称，抛物线的对称轴为x=1将x=1代入得：y=-1点C的坐标为（1，-1）；（2）BAO=45，直线AB的一次项系数

13、为-1设直线AB的解析式为y=-x+b，将（2，0）代入得：-2+b=0，解得b=2直线AB的解析式为y=-x+2如图1所示：当ADC=90时ADC=90，CDAB直线CD与直线AB的一次项系数的乘以为-1直线CD的一次项系数为1设直线CD的解析式为y=x+b将C（1，-1）代入得：1+b=-1解得b=-2，直线CD的解析式为y=x-2将y=-x+2与y=x-2联立得解得点D的坐标为（2，0）如图2所示：当BCD=90时将y=-x+2与y=联立得，解得或，点B的坐标为（-1，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将（-1，3）、（1，-1）代入得，解得直线BC的解析式为y=-2x+1CDBC，

14、直线CD的一次项系数为设直线CD的解析式为y=x+c，将点C的坐标代入得1+c=-1解得：c=直线CD的解析式为y=x将y=-x+2与y=x联立得解得点D的坐标为（，）由图形可知CBD=90的情况不存在综上所述，点D的坐标为（2，0）或（，）考点：二次函数综合题2(1)yx2-x2；(2)直线l与x轴的交点坐标为(1，0)或(3，0)；(3)点P的坐标为：(，)或(1，1)或(，)【分析】（1）过点C作CDx轴于点D，根据AOBCDA求出CD、OD得出C（3，1），再代入抛物线即可.（2）先求出SABC，求出直线BC的解析式为，同理求得直线AC、AB的解析式，设直线l与x轴交点坐标为（x，0）

15、，设直线l与BC、AC分别交于点F、E，根据，得出，求出x即可，设直线l与BC、AB分别交于点F、E，根据，得出 求出x即可.（3）延长CB交抛物线于点P3，过点B作BP1BC，交抛物线于点P1、P2，设直线BP1的解析式为：，过点B作BMx轴于点M，根据AOBAMB求出B的坐标，得出直线BP1的解析式为：，再根据得出P1、P2的坐标，根据 得出P3的坐标【详解】解：（1）如图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BAC=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，BOA=ADC=90，在AOB和CDA中， AOBCDA（AAS）CD=OA=

16、1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线，解得：b=，抛物线的解析式为：.（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，AB=，. 设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1）， ，解得k=，b=2，.同理求得直线AC的解析式为：，直线AB的解析式为：y=-2x+2，设直线l与x轴交点坐标为（x，0）如图2：设直线l与BC、AC分别交于点F、E，则EF=.CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x由题意得：，即：，解得x1=，x2=（不合题意，舍去），如图3：设直线l与BC、AB分别交于点F、E，则EF= BEF中，EF边上的高h=x由题意得：.

17、即：.解得x1=1，x2=-1（不合题意，舍去）当直线l与x轴交点坐标为（1，0）或（，0）时，恰好将ABC的面积分为1：2的两部分，（3）存在如图4，延长CB交抛物线于点P3，过点B作BP1BC，交抛物线于点P1、P2，则CBBP1，设直线BP1的解析式为：，过点B作BMx轴于点M，在AOB和AMB中， ，AOBAMB（AAS），BM=BO=2，AM=AO=1，B的坐标为（2，-2），b=，直线BP1的解析式为：y=由 得 或 ，P1的坐标是（-1，-1），P2的坐标是 ，ACB=ACB=45，BCP3=90，由 得： （舍去），或 ，P3的坐标是 ，P点坐标是P1（-1，-1），P2，P3

18、.【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系3；最大周长为；或或【分析】（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；（2）先求解的解析式，证明 得到 利用的坐标表示的长度，利用三角函数求解的长度，建立周长与的横坐标之间的函数关系式，利用函数的最值求周长的最大值，（3）分情况讨论：以为直角顶点，利用 可直接得到答案，以为直角顶点时，利用求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式可得答案【详解】解：（1） 设抛物线为： 把代入 （2）设直线为 解得： 轴，轴， 设

19、 的周长 当时，周长最大最大周长为： （3）如图，当时， 为抛物线与轴的交点， 当时，与轴交于点， 设的解析式为： 解得： 为 解得： 或 综上：以为直角边的直角三角形时，点坐标为或或【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数求图形周长的最值问题，直角三角形的存在性问题，同时考查三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键4（1）；（2）存在，点P，使PAC的面积最大；（3）存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（1，1），Q4（2，1）【分析】（1）直接把点A（3，0），B（1，0）代入二次函数yax2+bx+2求

20、出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则nm2m+2，连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N根据三角形的面积公式得出PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1Dy轴于点D，过点Q2作Q2Ex轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出Q1CDCBO，CBOBQ2E，故可得出各点坐标【详解】（1）抛物线yax2+bx+2过点A（3，0），B（1，0）， 二次函数的关系解析式为yx2x+2；（2）存

21、在如图1所示，设点P坐标为（m，n），则nm2m+2连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N则PMm2m+2，PNm，AO3当x0时，y00+22，OC2，SPACSPAO+SPCOSACOAOPM+COPNAOCO3（m2m+2）+2（m）32m23ma10函数SPACm23m有最大值当m时，SPAC有最大值nm2m+2（）2（）+2，存在点P（，），使PAC的面积最大（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点过Q1点作Q1Dy轴于点D，过点Q2作Q2Ex轴于点E，1+290，2+390，3+490，13，24，在Q

22、1CD与CBO中，Q1CDCBO，Q1DOC2，CDOB1，ODOC+CD3，Q1（2，3）；同理可得Q4（2，1）；同理可证CBOBQ2E，BEOC2，Q2EOB1，OEOB+BE1+23，Q2（3，1），同理，Q3（1，1），存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（1，1），Q4（2，1）【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大5（1）y=-x2+2x+3；（2）抛物线上存在点D，使得ACD的面积最大，此时点D

23、的坐标为( ， )且ACD面积的最大值 ；（3）在抛物线上存在点E，使得ACE是以AC为直角边的直角三角形 点E的坐标是(1，4)或(-2，-5).【分析】(1)因为点A(3，0)，点C(0,3)在抛物线y=x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；(2)过点D作DHx轴，设D(t，-t2+2t+3)，先利用图象上点的特征表示出SACD=S梯形OCDH+SAHD-SAOC=，再利用顶点坐标求最值即可；(3)分两种情况讨论：过点A作AE1AC，交抛物线于点E1，交y轴于点F，连接E1C，求出点F的坐标，再求直线AE的解析式为yx3，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可；过点C作CECA，交抛物线

24、于点E2、交x轴于点M，连接AE2，求出直线CM的解析式为yx3，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可.【详解】（1）解：二次函数y=-x2+bx+c与x轴的交点为点A(3，0)与y轴交于点C(0，3) 解之得 这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3（2）解：如图，设D(t，-t2+2t+3)，过点D作DHx轴，垂足为H， 则SACD=S梯形OCDH+SAHD-SAOC= (-t2+2t+3+3)+ (3-t)(-t2+2t+3)- 33= = 0当t= 时，ACD的面积有最大值 此时-t2+2t+3= 抛物线上存在点D，使得ACD的面积最大，此时点D的坐标为( ， )且ACD面积的最大

25、值 （3）在抛物线上存在点E，使得ACE是以AC为直角边的直角三角形 点E的坐标是(1，4)或(-2，-5). 理由如下：有两种情况：如图， 过点A作AE1AC，交抛物线于点E1、交y轴于点F，连接E1C COAO3， CAO45， FAO45，AOOF3 点F的坐标为（0，3）设直线AE的解析式为ykxb， 将（0，3），（3，0）代入ykxb得： 解得 直线AE的解析式为yx3， 由 解得或 点E1的坐标为（2，5）如图，过点C作CECA，交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2 CAO45， CMA45，OMOC3 点M的坐标为（3，0）,设直线CM的解析式为ykxb， 将（0，3），

26、（-3，0）代入ykxb得： 解得直线CM的解析式为yx3 由 解得：或 点E2的坐标为（1，4） 综上，在抛物线上存在点E1（2，5）、E2（1，4），使ACE1、ACE2是以AC为直角边的直角三角形【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，二次函数中的直角三角形问题.观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键6A（-1,0）(0,2)或（3,2）【解析】解：（1）因为一次函数y=的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，且二次函数的关系式为y=ax2-3ax-4a(a0).=a(x-4）(x+1)因为第一个交点过点B，则利用根与系数的关系可知A（-1,0）（2）若二次函数图

27、象的顶点，在一次函数图象的下方即点（3/2,-7a/4）使得y,代入可知a的范围是（3）因为图像过点C（0,2），则说明了-4a=2,a=-1/2C此时二次函数确定了，y=-1/2x2-3/2x-2(a0).设D(X,Y)7（1）yx2+x+4；（2）P（3，5）；（3）点Q坐标为（2，）或（2，）或（2，1）或（2，4）【分析】（1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式；（2）设P(m，m2+m+4)，先求出AC的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出PE的长，从而求得用m表示的PCA的面积，最后根据二次函数的特点，求出最值；（3）设设点Q的坐标为（2，m），根据平面直角坐标系中任意两点

28、之间的距离公式求出AQ2、PQ2和AP2，存在3种情况，一种是QAP=90，第二种是AQP=90，第三种是QPA=90时，利用勾股定理分别求解即可【详解】解：（1）把A(6，0)，B(2，0)，C(0，4)的坐标代入yax2+bx+c，抛物线的解析式为yx2+x+4 （2）作PEOC交AC于E设P(m，m2+m+4)设直线AC的解析式为ykx+d将点A和点C的坐标代入，得解得：直线AC的解析式为yx+4， E(m，m+4)，PEm2+2m， SPAC(m2+2m)6m2+6m(m3)2+9， 10，m3时，PAC的面积最大，P(3，5)（3）A(6，0)，P(3，5)，抛物线yx2+x+4的对

29、称轴为直线x=2可设点Q的坐标为（2，m）AQ2=PQ2=AP2=当QAP=90时，则AQ2AP2= PQ2即34=解得：m=Q(2，)当AQP=90时，则AQ2PQ2= AP2即=34解得：m1=1，m2=4Q(2，1)或(2，4)当QPA=90时，则AP2PQ2= AQ2即34=解得：m=Q(2，)综上所述，满足条件的点Q坐标为(2，)或(2，)或(2，1)或(2，4)【点拨】本题考查二次函数的综合，第（3）问中，题干仅告知了APQ是直角三角形，未确定哪个角是直角，故存在多解情况8（1）；（2）P、；（3）存在，E，、【分析】（1）根据题意，设二次函数的一般式解析式，再代入、，转化为解三元

30、一次方程组即可解得一般式解析式，再利用配方法将一般式解析式化为顶点式解析式即可；（2）先解得，再结合三角形面积公式及绝对值的几何意义解题即可（3）当是直角三角形时，分三种情况讨论：或或，分别结合勾股定理解题即可【详解】解：（1）设二次函数的表达式为将、分别代入得解得：二次函数表达式为顶点坐标为；（2）当时，解得，；当时，解得，点p的坐标为、；（3）存在，符合条件的点E共有4个，坐标分别为，、，理由如下：抛物线的对称轴为，设得，当时，；当时，；当时，此时或，综上所述，符合条件的点E共有4个，坐标分别为，、【点拨】本题考查待定系数法解二次函数的解析式、化二次函数的一般式解析式为顶点式解析式、直角三

31、角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键9（1）D(2，3)；（2）证明见解析；（3）P(3m，0)或(5m，0).【解析】试题分析：（1）根据题意将a=1，C（0，3）代入y=a（x22mx3m2），进而求出m的值，即可得出答案；（2）首先根据题意表示出A，B，C，D，进而联立，求出E点坐标即可得出答案；（3）由（2）得：F（m，4）、E（4m，5）、A（m，0）、D（2m，3），再利用PF，AD，AE的关系得出答案解：（1）当a=1时，y=a（x22mx3m2）=x22mx3m2，与y轴交于点C（0，3），3m2=3，解得：m=1，m0

32、，m=1，抛物线解析式为：y=x22x3=（x1）2+4，故抛物线顶点坐标为：D（2，3）；（2）作D关于AB对称的点D必在AE上，当y=0，则0=a（x22mx3m2），解得：x1=m，x2=3m，当x=0，y=3am2，可得：A（m，0）、B（3m，0），C（0，3am2），D（2m，3am2）D（2m，3am2），抛物线过点C，3am2=3，则am2=1，直线AD的解析式为：y=x+1，联立，整理得x23mx4m2=0解得x1=4m，x2=m（舍去）E（4m，5）E在y=5上运动；（3）由（2）得：F（m，4）、E（4m，5）、A（m，0）、D（2m，3）设P（b，0）PF2=（mb）2

33、+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25（mb）2+16+9m2+9=25m2+25，解得：b1=3m，b2=5mP（3m，0）或（5m，0）考点：二次函数综合题10 （1）ab=1；（2）a=415；（3）不存在.【解析】【分析】（1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a，b，c关系式整理就得到a，b的关系（2）利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出AMC的面积，根据SAMC=52SABC，就可以得到关于a的方程，解得a的值；（3）本题应分A【详解】（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax2bxc得： a+b+c=0c=1 ，可得：

34、ab=1 （2）(2)a+b=1，b=a1代入函数的解析式得到：y=ax2(a+1)x+1，顶点M的纵坐标为4a-(a+1)24a=因为SAMC=5由同底可知：-(a-1)24a 整理得：a28a1=0，得：a=415 由图象可知：a0，因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=a+12a0, -1a0, a=415舍去，从而a=415 （3） 由图可知，A为直角顶点不可能； 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意； 若设B为直角顶点，则可知-15，得：令85，可得：ax2-a+1得：AC=1-1a,BC=1(1-1a解得：a=-1，由1a0，不合题意所以不存在综上所述：不存

35、在.【点拨】本题是二次函数与三角形综合题，注意数形结合思想在解题中的应用.11（1）；（2）的取值范围是；（3）符合条件的点的坐标为【解析】【分析】（1）将，代入即可进行求解；（2）先求出二次函数的顶点坐标，令，得，得到，根据，的坐标求出直线的解析式，得到，再根据梯形的面积公式列出S的关系式；（3）先求出，根据直角三角形的性质分类讨论即可求解.【详解】解（1）将，代入中，（2），所以令，得，所以设直线的解析式为，将，代入，得，得，所以所以，的取值范围是（3）由以为直角顶点，舍去以为直角顶点，所以以为直角顶点，无解综上，符合条件的点的坐标为【点拨】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函

36、数的图像与性质、待定系数法确定函数关系式及直角三角形勾股定理的性质，注意用分类讨论方法.12（1）；（2）a=，（3）不存在，理由见解析【分析】（1）把点A（1,0）和点B（0,1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a,b,c关系式,整理就得到a,b的关系；（2）利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出AMC的面积,根据SAMCSABC,就可以得到关于a的方程，解得a的值；（3）本题应分A是直角顶点，B是直角顶点，C是直角顶点三种情况进行讨论【详解】解 ：(1)将A（1,0）,B（0,l）代入得 ，可得，（2）由(1)可知，顶点M的纵坐标为，因为，由同底可知：,整理得：，解得a=，由

37、图象可知，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x=90，C=50，C+2A=90 ，A=20； （2）存在这样的点E，作平分交于，BE平分，点E即为所求，又，作，又平分，在中，则，即，解得：，即；作，交延长线于，作，交于，点即为所求，又AB=AB，设，根据勾股定理结合和列方程得：，解得：，即，综上或【点拨】此题利用新定义考查直角三角形边上的动点问题，利用三角形全等结合勾股定理求直角三角形的边，有一定难度，理解题意是关键 第一学期期末测试卷九 年 级 数 学（卷二） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2已知m，n是关于x的

38、一元二次方程x23xa0的两个解，若(m1)(n1)6，则a的值为( )A10 B4 C4 D103有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌(除所写文字不同，其余均相同)，其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张小明参与游戏，如果只随机抽取1张，那么小明抽到好人牌的概率是( )A.eq f(1,9) B.eq f(2,9) C.eq f(1,3) D.eq f(2,3)4在同一坐标系中，一次函数ymxn2与二次函数yx2m的图象可能是( )5如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在eq o(MN,sup8()上，且不与M，N重合

39、，当P点在eq o(MN,sup8()上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )A变大 B变小 C不变 D不能确定,第5题图),第7题图),第8题图),第9题图)6随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程正确的是( )A20(12x)28.8 B28.8(1x)220C20(1x)228.8 D2020(1x)20(1x)228.87如图，在平面直角坐标系中，将ABC向右平移3个单位长度后得A1B1C1，再将A1B1C1绕点O旋转180后得到A2B2C2，则下列说法正确

40、的是( )AA1的坐标为(3，1) BS四边形ABB1A13 CB2C2eq r(2) DAC2O458如图，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧eq o(AMB,sup8()上一点，则APB的度数为( )A45 B30 C75 D609如图，已知AB是O的直径，AD切O于点A，点C是eq o(EB,sup8()的中点，则下列结论：OCAE；ECBC；DAEABE；ACOE，其中正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个10二次函数ya(x4)24(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方，在6x7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A1 B1 C2 D2二、填空题(每小题3分

41、，共24分)11.如图，ABC中，BAC33，将ABC绕点A按顺时针方向旋转50，对应得到ABC，则BAC的度数为_ _,第11题图),第14题图),第15题图),第17题图),第18题图)12若实数a，b满足(4a4b)(4a4b2)80，则ab_ 13若|b1|eq r(a4)0，且一元二次方程kx2axb0有两个实数根，则k的取值范围是_.14如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，MON90，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_15(2016聊城)如图，已知圆锥的高为eq r(3)，高所在直线与母线的夹角为30，则圆锥的侧面积

42、为_16公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s20t5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行_m才能停下来17如图，在平面直角坐标系中，P的圆心是(2，a)(a2)，半径为2，函数yx的图象被P截得的弦AB的长为2eq r(3)，则a的值是_18如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为直线x1，给出以下结论：abc0；4bcy2；当3x1时，y0，其中正确的结论是_(填序号)三、解答题(共66分)19(6分)先化简，再求值：eq f(x2x,x1)eq f(x21,x22x1)，其中x满足x23x20.20(7

43、分)(2016梅州)关于x的一元二次方程x2(2k1)xk210有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1x2x1x2，求k的值21(7分)如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A(6，12)，B(6，0)，C(0，6)，D(6，6)以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90.(1)画出旋转后的小旗ACDB；(2)写出点A，C，D的坐标；(3)求出线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积22(8分)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个

44、扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图)小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去，否则小亮去(1)用画树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；(2)你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平23(8分)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系yat25tc，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的

45、时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？24(9分)(2016云南)如图，AB为O的直径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AEDC，垂足为E，F是AE与O的交点，AC平分BAE.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AE6，D30，求图中阴影部分的面积25(9分)已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，

46、DC(或它们的延长线)于E，F.当MBN绕点B旋转到AECF时(如图甲)，易证AECFEF.当MBN绕点B旋转到AECF时，在图乙和图丙这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明26(12分)如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线yeq f(1,4)x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2.(1)求这条直线的解析式及点B的坐标；(2)在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN3MP的长度最大？最大值是多少？期末检测题一、选择题1D 2C 3D 4. D 5. C 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 二、填空题11_17_ 12_eq f(1,2)或1_ 13_k4且k0_ .14_eq f(1,4)_152_. 16._2