培优专题13 旋转综合的4大几何变换-解析版

1、 21/21培优专题13 旋转综合的4大几何变换（本专题难度较大，部分解题方法需要后面学习内容，根据情况选做）类型一：线段问题1（2021重庆市綦江区赶水中学三模）如图，在等腰和等腰中，为的中点，为的中点，连接，(1)若，求的长度；(2)若将绕点旋转到如图所示的位置，请证明，；(3)如图，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可；（2）延长至，使，连接，先证明，从而证得，进一步命题得证；（3）取的中点，连接，将逆时针旋转至，连接，可证得，进而得出

2、点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果（1）解：在等腰中，点为的中点，在等腰中，在中，；（2）证明：如图， 延长至，使，连接，点是的中点，在和中，在和中，是等腰直角三角形，；（3）如图， 取的中点，连接，将逆时针旋转至，连接，点是的中点，点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，作于，在中，即的最大值【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形2（2022湖南永州市剑桥学校八年级期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB5cm，BC

3、2cm，BCD120，CE 平分BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ(1)求证：是等边三角形；(2)如图，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；【答案】(1)见解析(2)（2）cm【分析】（1）根据旋转的性质，证明PCEQCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到PBQ的周长为2+CP，然后垂线段

4、最短可由直角三角形的性质求解即可；（1）证明：绕点 C 逆时针旋转 60，使 CE 与 CB 重合，得到，PCEQCB，CP=CQ，PCE =QCB，CPQ是等腰三角形，BCD=120，CE平分BCD，DCEBCEBCD60，PCQ=PCEECQBCQECQBCEBCD60，即PCQ60，PCQ为等边三角形.（2）存在CE平分BCD，BCE=，在平行四边形ABCD 中，ABCD，ABC=180120=60，BCE为等边三角形，BE=CB=2cm，CBE60，绕点 C 逆时针旋转 60，使 CE 与 CB 重合，得到，PCEQCB，EP=BQ，PBQ的周长PBBQPQ=PB+EP+PQ=BE+P

5、Q=2+CP，CPAB时，PBQ周长最小，当CPAB时，CPB90，BCP180CPBCBE30，PBBC1cm，CPcm，PBQ周长最小为（2）cm【点睛】此题主要考查了旋转图形变化的应用、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、30角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键类型二：面积问题3（2021辽宁丹东八年级期末）如图在中，点D，E分别在边上，连接，点M，P，N分别为的中点，连接，(1)图1中，线段与的数量关系是_；位置关系是_(2)将绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接，判断的形状，并说明理由(3)将绕点A在平面内自由旋转，若，请

6、直接写出面积的最大值【答案】(1)PMPN，PMPN(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PMCE得出DPM=DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出ABDACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出BD最大时，PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=10，即可得出结论（1）解：点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PN=BD，点P，M是CD，DE的中点，PMCE，PM=CE，AB=A

7、C，AD=AE，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90，PMPN，故答案为：PM=PN，PMPN；（2）解：PMN是等腰直角三角形证明：由旋转性质可知BADCAE又ABAC，ADAEBADCAEBDCE，ABDACE点P，M分别是DC，DE的中点PM是DCE的中位线PMCE且PMCE同理PNBD且PNBDPMPN，MPDECD，PNCDBCMPDECDACDACEACDABDDPNPNCPCNDBCPCNMPNMPDDPNACDABDDBCPCNABCACB90PMN是等腰直角

8、三角形（3）解：由（2）知，PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，PM最大时，PMN面积最大，点D在BA的延长线上，BD=AB+AD=11，PM=5，SPMN最大=PM2=()2=【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，PMN的面积最大4（2022山东潍坊市寒亭区教学研究室八年级期末）如图1，在中，点，分别在边，上，连接，点，分别为，的中点(1)观察猜想：图1中，线段与的数量

9、关系是_，位置关系是_；(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值【答案】(1)，(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大值是，即可得出结论（1）解：点分别是，的中点，点是，的中点，故答案为：，（2）解：是等腰直角三角形理由如下：，即，由三角形的中位线得，是

10、等腰三角形，是等腰直角三角形（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，则面积为，最大时，面积最大，如图，点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，则当点在的延长线上时，最大，最大值为，所以面积的最大值为【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键类型三：角度问题5（2022山东聊城八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F(1)证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等

11、；(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可；（2）通过证明AOFCOE（ASA）即可得证；（3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解（1）证明：如图，平行四边形ABCD中，ADBC，AFBE，旋转角为90时，AOF90，ABAC，BAC90，BACAOF，ABEF，四边形ABEF是平行四边形（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ADBC，OAFO

12、CE，AOFCOE，AOFCOE（ASA）AFCE在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等（3）当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形理由如下：由（2）知：AFCE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DFBE，DFBE，四边形BEDF是平行四边形如图：ABAC，AB1，BC，四边形ABCD是平行四边形，AOAC1，AOAB，ABAC，AOB45AC绕点O顺时针旋转45度，AOF45，BOF90，EFBD四边形BEDF是菱形【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键6（2022河北唐山八年级期末）

13、如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为_，旋转角_；(2)如图2，G为的中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，为或【分析】（1）根据矩形的性质可知点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，可知点到边的距离为1；根据旋转的性质得，即可判定 ，然后根据平行线的性质即可得到 ； （2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS” 可判断，则；（3

14、）根据正方形的性质得CB=CD，而，则 和为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 和为钝角三角 形时，可计算出=135，当 和为锐角三角形时，可计算得到=315（1）解：由题意可知，当点恰好落在边上时，点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，点到边的距离为：1，CE=1，在中，故答案为：1，30；（2）证明：G为中点，长方形绕点C顺时针旋转至，在和中，；（3）能，理由如下：四边形ABCD为正方形，CB=CD， ，和为腰相等的两等腰三角形， 当时，当和为钝角三角形时，则旋转角=，当和为锐角三角形时， ，则=，即旋转角的值为135或315时，和全等【点睛】此题属于四边形的综合题，考查

15、了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键类型四：其它问题7（2022四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图1，在ABC中，点DE、分别在边AB、AC上，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，连接MQ、PM(1)求证：；(2)当时，求PMQ的度数；(3)将ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置，若，判断ADE的形状，并说明理由【答案】(1)见解析(2)(3)ADE是等边三角形，理由见解析【分析】（1）利用三角形中位线定理解决问题；（2）证明PMQ =B+ACB，可得结论；（3）证明BADCAE(SAS)， A

16、BD=ACE，再证明PMQ =ABC+ACB= 120，推出BAC = 60，可得结论（1）证明：，P，M分别为DE，DC的中点，M，Q分别为DC，CB的中点，；（2）解：点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点， ；（3）解：ADE是等边三角形，理由如下：由旋转的性质可知，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），P，M为DE，DC的中点M，Q为DC，BC的中点，又，ADE是等边三角形【点睛】本题是几何旋转变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型8（2022江苏淮安二

17、模）二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为(1)二次函数的表达式为_，点的坐标为_；(2)如图，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；(3)如图，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，当的面积为时，求点的坐标(4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、的对应点分别是点、若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3)点的坐标为或(4)点的横坐标为【分析】（1）由于二次函数的图像与轴交于，两点，把，两点坐标代入，求出，的值即可得出拋物线解析式，由配方法可求出点的坐标；

18、（2）由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得，解方程可得出答案；（3）设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则，解得，求出，由面积公式可求出的值，则可得出答案；（4）设，根据，可确定点向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点重合，再根据将绕点沿逆时针方向旋转后得到，可确定点向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点重合，从而得到，再根据点在抛物线上，可得到，最后解方程求出的值即可(1)解：二次函数的图像与轴交于，两点，解得：，二次函数的解析式为，故答案为：；(2)如图1，如图2，连接，设是的垂直平分线，二次函数的图像与轴交于点，且对称轴，点是该二次函数图像的对称轴上一个动点，设，又，由勾股定理可得：，解得：，点的坐标为或(3)如图3，设交抛物线的对称轴