2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

1、20092009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 页（共8页）即(b+c)2-a2+(c+a)2-b2+(a+2=8,bccaab10分即(b+a“2-4*(c+a)2-b2-4*(a+b)2-c2=0,bccaab(b-c)2-a2(c-a)2-b2(a+b)2-c2小即+=0，bccaab15分即(bc+a)(bca)十(ca+b)(cab)十(a+b+c)(a+bc)caabbc即-a(bca)b(ca+b)+c(a+b+c)=0，abc即(b-c+a)2aba2b2+c2二0，即(bc+a)c2(ab)2二0，abcabc即-)(c+ab)(ca+b)=0，abc所以b-

2、c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，即b+a=c或c+a=b或c+b=a.20分因此，以fa,；b，弋C为三边长可构成一个直角三角形.25分322a322b322c1证法2结合式，由式可得+bccaab41变形，得10242(a2+b2+c2)二abc410分又由式得(a+b+c)2=1024，即a2+b2+c2=1024-2(ab+bc+ca),代入式，得1024210242(ab+bc+ca)二1abc,4即abc=16(ab+bc+ca)一4096.15分(a16)(b16)(c16)二abc16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)163=4096+256x32163二0，

3、20分所以a=16或b=16或c=16.结合式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a.因此，以鶯a八:b,c为三边长可构成一个直角三角形.25分第二试（B）一.（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二.（本题满分25分）已知ABC中，ZACB=90,AB边上的高线CH与厶ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F求证：EFAB.解因为BN是ZABC的平分线，所以ZABN=ZCBN.又因为CH丄AB,所以ZCQN二ZBQH二90ZABN二90。一ZCBN二ZCNB,TOC o 1-5 h z因此CQ=NC.10分又F是QN的中点，所以CF丄QN,

4、所以ZCFB二90。=ZCHB，因此C、F、H、B四点共圆.15分又ZFBH=ZFBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.20分同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF丄CH.又AB丄CH,所以EFAB.25分（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三.（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32b+cac+aba+bc1+二一bccaab4是否存在以Ua，弋b,Jc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.b+cac+aba+b

5、c解法1将两式相乘，得（+）（a+b+c）-8，bccaab即(b+c)2-a2即(b+c)2-a2+(c+a)2-b2+(a+2=g,bccaab10分(b+c)2a2即4+(c+a)2b2ca-4+(a+妙一c2ab(bc)2a2(ca)2b2(a+b)2c2即+=0，15分bccaab即(b-c+a)(b-c-a)+(c-a+b)(c-a-b)+(a+b+c)(a+b-c)bccaab即Ia(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)=0，abc即(b-c+a)2aba2b2+c2二0，即(b一c+a)c2(ab)2二0，abcabc(bc+a)即(c+ab)(ca+b)=0，20

6、分abc所以b一c+a=0或c+a一b=0或c一a+b=0，即b+a=c或c+a=b或c+b=a.因此，以a为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.25分亠人-亠亠32-2a32-2b32-2c1解法2结合式，由式可得+二,bccaab41变形，得1024-2(a2+b2+c2)=abc10分4又由式得(a+b+c)2=1024，即a2+b2+c2=1024-2(ab+be+ca),1代入式，得1024-21024-2(ab+bc+ca)=abc,4即abc=16(ab+bc+ca)-4096.15分(a16)(b16)(c16)二abc16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)163=-4096+25