第07讲 抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点 （解析版）

1、第7讲 抛物线中等腰三角形的存在性问题专题探究考点一 “两定一动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】如图，已知定点A、O，在x轴上找点P，使OAP为等腰三角形则P1、P2、P3、P4即为符合题意的点P解决策略：（有时也可用两点间距离公式求值）即：当OA=OP时，以O点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点当OA=AP时，以A点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点 当AP=OP时，线段OA的中垂线与目标直线x轴的交点即为所求点【类题训练】1（2019秋云梦县期末）如图，已知抛物线yx2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（

2、2，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（2，0）代入抛物线的解析式即可求得答案；（2）先求得点B、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；（3）设P（2，t），然后表示出ACP的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等得出方程，求解即可【解答】解：（1）将点A（2，0）代入yx2+bx+4中，得，解得：b，抛物线的解析式为yx2+x+4；（2）当x0时，y4，点C的坐标为（0，4），当y0时，x2+x+40，解得：x12，x26，

3、点B的坐标为（6，0），设直线BC的解析式为ykx+n，将点B （6，0），点C （0，4）代入解析式ykx+n，得：，解得：，直线BC的解析式为yx+4；（3）抛物线yx2+x+4与x轴相交于A（2，0）、B（6，0）两点，抛物线的对称轴为x，假设存在点P，设P（2，t），则AC，AP，CP，ACP为等腰三角形，故可分三种情况：当ACAP时，解得：t2，点P的坐标为（2，2）或（2，2）；当ACCP时，解得：t0或t8，点P的坐标为（2，0）或（2，8），设直线AC的解析式为ymx+n，将点A（2，0）、C （0，4）代入得，解得：，直线AC的解析式为y2x+4，当x2时，y4+48，点（2

4、，8）在直线AC上，A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；当APCP时，解得：t，点P的坐标为（2，）；综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，2）或（2，0）或（2，）2（2021秋南昌期末）如图，二次函数yax2+bx+c的图象交x轴于A（2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由

5、【分析】（1）用待定系数法即得二次函数的解析式为yx2x+2；（2）过N作NDy轴，交AC于D，由A（2，0）、C（0，2）得直线AC的解析式为yx+2，设N（n，n2n+2），则D（n，n+2），可得NDn22n，即得SNACND|xCxA|（n+1）2+1，根据二次函数性质可得答案；（3）设M（t，0），可得BM2（t1）2，CM2t2+4，BC212+225，分三种情况：当BCCM时，t2+45，得M（1，0）；当BMBC时，（t1）25，得M（+1，0）或（+1，0）；当BMCM时，（t1）2t2+4，得M（，0）【解答】解：（1）由二次函数yax2+bx+c的图象交x轴于A（2，0）

6、，B（1，0），设二次函数的解析式为：ya（x+2）（x1），把C（0，2）代入得：2a（0+2）（01），解得a1，二次函数的解析式为y（x+2）（x1）x2x+2，答：二次函数的解析式为yx2x+2；（2）在直线AC上方的抛物线上存在点N，使NAC的面积最大，过N作NDy轴，交AC于D，如图：设直线AC的解析式为ykx+b，把A（2，0）、C（0，2）代入得：，解得：，直线AC的解析式为yx+2，设N（n，n2n+2），则D（n，n+2），ND（n2n+2）（n+2）n22n，SNACND|xCxA|（n22n）2n22n（n+1）2+1，10，当n1时，SNAC有最大值为1，此时N（1，

7、2），答：在直线AC上方的抛物线上存在点N（1，2），使NAC的面积最大为1；（3）在x轴上存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，设M（t，0），而B（1，0），C（0，2），BM2（t1）2，CM2t2+4，BC212+225，当BCCM时，t2+45，解得t1（与B重合，舍去）或t1，M（1，0）；当BMBC时，（t1）25，解得t+1或t+1，M（+1，0）或（+1，0）；当BMCM时，（t1）2t2+4，解得t，M（，0），综上所述，M坐标为（1，0）或（+1，0）或（+1，0）或（，0）3（2020佛山模拟）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（

8、3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）连接BC，过点P作PEAB交BC于点E，先求出BC解析式，设点P（m，m2+2m+3），则点E（m，m+3），利用面积的和差关系和二次函数的最值可求解

9、；（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），抛物线解析式为：yx2+2x+3；（2）如图，连接BC，过点P作PEAB交BC于点E，抛物线解析式为yx2+2x+3与y轴交于点C，点C（0，3）直线BC解析式为yx+3，设点P（m，m2+2m+3），则点E（m，m+3）四边形BDCP面积23+3（m2+2m+3+m3）（m）2+当m时，四边形BDCP面积的最大值为；（3）OCOB3，CBO45，若OBQB3，QBM45，QMAB，BQMQBM45，QMBM，OMOBBM3，t（s），若OQBQ，且QMAB，OMO

10、B，ts综上所述：当ts或s时，使得BOQ为等腰三角形4（2022河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：yax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EFx轴于点F，设EFm，问：当m为何值时，BFE与DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在

11、，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点T首先证明DCB90，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M（6，3）设P（5，m），分三种情形：当BPBM3时，当PBPM时，当BMPM时，分别构建方程求解即可【解答】解：（1）yax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），抛物线的解析式为yx2+2x+3，y（x1）2+4，抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点TC（0

12、，3），B（3，0），D（1，4），BC3，CD，BD2，BC2+CD2BD2，BCD90，CDCBBDCH，CH，EFx轴，DTx轴，EFDT，BEm，BFm，BFE与DEC的面积之和S（2m）+mm（m）2+，0，S有最小值，最小值为，此时m，m时，BFE与DEC的面积之和有最小值解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值求出四边形OCEF的面积的最大值即可（3）存在理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M（6，3）设P（5，m），当BPBM3时，22+m2（3）2，m，P1（5，），P2（5，），当PBPM时，22+m212+（m+3）2，解得，m1，

13、P3（5，1），当BMPM时，（3）212+（m+3）2，解得，m3，P4（5，3+），P5（5，3），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，），P3（5，1），P4（5，3+），P5（5，3）考点二 “一定两动”型等腰三角形存在性问题【知识点睛】如图，P、Q分别为AB、CB上一动点，当BPQ是等腰三角形时，有以下几种情况：BP=BQ BQ=PQ BP=PQ 解决策略： 即BQ=PQ可转化为: ;BP=PQ可转化为:特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形步骤如下：根据点的坐标，表示出三边的平方 根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程 分

14、别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在【类题训练】1（2021陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x1，且该抛物线与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A，B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OBOC（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据OBOC，可得C（0，3），由抛物线的对称轴为直线x1，可得A（1，0），利用待定系数法可得出答案；（2）设点M（m，m22m3）且m1，则MN2

15、（m1），当点M、N在x轴下方时，若QMN90，且MNMQ时，MNQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可，当点M、N在x轴上方时，若QMN90，且MNMQ时，MNQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可【解答】解：（1）B点的坐标为（3，0），且OBOC，C点的坐标为（0，3），抛物线的对称轴为直线x1，B点的坐标为（3，0），A点的坐标为（1，0），设抛物线的函数表达式为ya（x+1）（x3）（a0）将C（0，3）代人ya（x+1）（x3）中，解得：a1，抛物线的函数表达式为y（x+1）（x3）x22x3（2）MNx轴，且M、N在抛物线上，M、N关于直线x1对称，设点M（m，m22m3）且m1，则

16、MN2（m1），当点M、N在x轴下方时，若QMN90，且MNMQ时，MNQ为等腰直角三角形，MQMN，即MQx轴，2（m1）（m22m3），解得：m1，m2（舍去），点M为（，22），Q1（，0）由MQ1MN可得（22）xN，解得：xN2，点N为（2，22），故当MNQ290，MNNQ2时，点Q2的坐标为（2，0）当点M、N在x轴上方时，若QMN90，且MNMQ时，MNQ为等腰直角三角形，MQMN，即MQx轴，2（m1）m22m3，解得：m12+，m22（舍去），点M为（2+，2+2），点Q3为（2+，0），由MQ3MN，可得2+22+xN，解得xN，点N为（，2+2）当MNQ490，MNNQ

17、4时，点Q4的坐标为（，0）综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标分别为（，0）或（2，0）或（2+，0）或（，0）2（2021秋铅山县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式；（2）若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MNx轴交BC于点N当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；如图2，连接BM，当BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标【分析】（1）把A，C代入抛物线，求得b，c即可；（2）先求出BC的解析式，再设M（m，m26m+5），则N（m，m+5），表示出MN的长，再配方即可；设

18、出M，N的坐标，再表示出MN和BN，再分三种情况：MNBN或MNBM或BMBN，分别计算即可【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，c5，1+b+50，解得b6，抛物线解析式为yx26x+5；（2）令y0，即x26x+50，解得：x11，x25，B（5，0），直线BC的解析式为：yx+5，设M（m，m26m+5），则N（m，m+5），MN（m+5）（m26m+5），当时，MN的最大值为，线段MN的长度最大时，当M的坐标为，线段MN的长度最大为；点M在抛物线yx26x+5上，点N在直线yx+5上，设M（m，m26m+5），则N（m，m+5），MNm2+5m，B

19、N，OBOC，MNBOCB45，i当MNBN时，m2+5m，解得：m，m5（舍去），M（，），ii当BMMN时，则NBMMNB45，NMB90，则m26m+50，解得m1或m5（舍去），M（1，0），iii当BMBN时，BMNBNM45，NBM90，（m26m+5）m+5，解得m2或m5（舍），M（2，3），当BMN是等腰三角形时，点M的坐标为（，）或（1，0）或（2，3）3（2021秋大连期末）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3（a，b是常数，a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x1（1）填空：b2a（用含a的代数式表示）；（2）当1x0时，抛物线上的点到x轴的最

20、大距离为5，求a的值；（3）若点A的坐标为（1，0），点E的坐标为（x，0）（其中x0），点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x即可解决问题；（2）分别算出x1和x0对应的函数值即可求得a的值；（3）分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx3对称轴为直线x1，对称轴为直线x，b2a，故答案为：2a；（2）当x0时，y3，此时点（0，3）到x轴的距离小于5，当x1时，ya+2a33a3.3a35，解得a；（3）存在，CE

21、Q是以CQ为斜边的等腰直角三角形，设Q（x，x22x3），如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，CEQ90，QEN+CEM90，QEN+NQE90，EQNCEM，CMEQNE90，ECEQ，ENQCME（AAS），CMENx22x3，NQEM3，x+x22x33，解得x或x（舍去），OECM，E（，0）；如图，点A（1，0）与点B关于直线x1对称，B点的坐标为（3，0）点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0）；如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：EMCQNE（AAS），CMENx22x3，N

22、QEM3，x+3x22x3，解得x，x（舍去），OECM，E（，0），综上所述，点E的坐标为（，0）或（0，0）或（，0）【课后综合练习】1（2022春北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：yx2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MNy轴交线段DE于点N，连接ON，记EMD的面积为S1，EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2

23、）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足PECEFO直接写出P点坐标；是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论【解答】解：（1）点在抛物线C1：yx2+bx