专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）

1、专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）A2BC4D【解析】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.2已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）ABCD【解析】由题意可设双曲线方程为，由得，则，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C3过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|（

2、 ）A2B2C3D4【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，解得k1.所以x1x210.所以|AB|4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直线AB的斜率k1.则直线AB的方程

3、为yx2.由消去y并整理，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|4.故选：D4已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）ABC10D【解析】双曲线：的一条渐近线方程是，即，左焦点，双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，故选:C5已知双曲线C : (a0，b0)， 过点P(3，6) 的直线与C相交于A， B两点， 且AB的中点为N(12，15)， 则双曲线C的离心率为（ ）A2B3CD【解析】设，由已知可得，相减化简可得，又AB的中点N(12,15)，直线AB过点P(3,6)， ， ， ， 离心率，故选：C.6已知双

4、曲线C：，经过点M(2，1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为（ ）A8xy150B8xy170C4xy90D4xy70【解析】设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2，1)是线段AB的中点，所以x1x24，y1y22.所以16(x1x2)2(y1y2)0，所以kAB8，故直线l的方程为y18(x2)，即8xy150.故选：A7已知双曲线左右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线的于，两点，若的周长为25，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【解析】设，因为垂直x轴，所以，又A、B

5、在双曲线C上，所以，又，所以，所以，所以的周长为=，所以或（舍）所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：A8设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为ABCD【解析】为双曲线的一条渐近线，故设双曲线方程为，则右焦点的坐标为，因为在上，且，则右焦点的坐标为到直线的距离，故，故选：二、多选题9双曲线的方程为，分别为左右焦点，为双曲线上一点，且，直线：与交于A，两点，则（ ）A或B的离心率为C的渐近线与圆相切D满足的直线有3条【解析】由双曲线的方程为，则在双曲线中 选项A，当点在右支上时，由，所以点在左支上，则，所以选项A不正确.选项B.双曲线的离心率为，所以

6、选项B不正确.选项C.双曲线的渐近线方程为 圆的半径为1，圆心为到渐近线的距离为 所以的渐近线与圆相切，故选项C正确.选项D. 由直线：恒过点，即直线：过双曲线的右焦点.若直线与双曲线的右支相交于A，两点，当轴时，由，所以此时满足条件的直线有2条.若直线与双曲线的左、右支各有一个交点，此时 则满足条件的直线即为，故此时只有一条直线满足条件.综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D正确故选：CD10已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（ ）A曲线与椭圆有公共焦点B曲线的离心率为，渐近线方程为C的最小值为1D满足的直线有且仅有4条【解析】对于A：由知双曲线的焦点在轴上，由知椭圆的焦点

7、在轴上，所以焦点不相同，故选项A不正确；对于B：由双曲线可得，所以，所以双曲线的离心率为，渐进线方程为，即，故选项B正确；对于C：当，两点位于双曲线的异支时，直线的斜率为时最小，此时，两点分别为双曲线的左右顶点，此时，当，两点位于双曲线的同支时，直线的斜率不存在时最小，直线的方程为代入可得，所以，所以的最小值为1，故选项C正确；对于D：由选项C知，当，两点位于双曲线的异支时，此时只有一条，当，两点位于双曲线的同支时，根据对称性可知，此时存在两条直线使得，所以满足的直线有且仅有条.故选项D不正确；故选：BC.11已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三

8、角形，则下列结论一定正确的是（ ）A双曲线C的离心率为B的面积为C的内心在直线上D内切圆半径为【解析】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，则，所以，所以的内心在直线上，故C正确；为等边三角形,若在同一支，由对称性知轴，.,；, 设的内切圆半径为r，则，解得；若分别在左右两支，则，则，解得，离心率，设的内切圆半径为r，则，解得；所以结论一定正确的是BC.故选：BC.12已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，下列判断正确的是（ ）ABC的离心率等于D的渐近线方程为【解析】，即为中点，为中点，A错误，B正确；由知：，又，即，解得：，C正确；，的渐近

9、线方程为，D正确.故选：BCD.三、填空题13过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为_.【解析】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，两式相减可得：，因为为的中点，则，所以直线的方程为，即为故答案为：14已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，且，则_.【解析】依题意，设，不妨设，设，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得，由于，所以，所以.故答案为：15已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，则双曲线的标准方程为_【解析】由双曲线定义得又，解得：，为以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，解得：，故双曲线标准方程为：16已知双

10、曲线：的左右焦点分别为，直线与交于，两点，当最小时，四边形的面积为_.【解析】设，由，得，由韦达定理得，所以，当时，有最小值，设到直线的距离分别为，所以四边形的面积为四、解答题17已知点，动点满足条件记动点的轨迹为（1）求的方程；（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45的直线与曲线交于，两点，求【解析】（1）因为，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为：；（2）不妨设焦点，则直线：由消去得：设，则，所以18已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即的距离为，

11、即，离心率，又，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.19已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）（1）若，求直线l的方程；（2）设直线的斜率分别为，证明：为定值【解析】（1）设直线方程为，由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则，由点P在x轴上方，则直线l方程为（2）由方程可得，设，则，所以 ,所以要证为定值，只需证为定值，由（1）可知，为定值20已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点

12、，且交点分别是，的面积为，求实数的值.【解析】（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，所以可设双曲线的方程是，则，解得.所以双曲线的方程是.（2）由消去整理，得.由题意知解得且.设，则，.因为与双曲线的交点分别在左右两支上，所以，所以，所以，则.所以，即，解得或，又，所以.21直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且（1）求与满足的关系；（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值【解析】（1）设点A,B,联立消得,由得代入化简可得和满足的关系为:;（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得代入可解得为定值;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:,令(t3)化简可得,由t3可得当,t=3时.22已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；（1）求曲线的方程；（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值【解析】（1）由e=知，曲线E是以F1（，0），F2（，0）为焦点的双曲线，且c=，解得，b2=21=1，故双曲线E的方程是x2y2=1 （2）由消去整理得设A（x1，y1）